高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率导学案

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课程标准：1.了解概率的含义.2.结合具体实例，理解古典概型.3.能计算古典概型中随机事件的概率．
教学重点：古典概型的定义及其概率公式．
教学难点：会用列举法计算随机事件所包含的样本点数及其发生的概率.
知识点"一 概率
对随机事件发生eq \(□,\s\up3(01))可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用eq \(□,\s\up3(02))P(A)表示．
知识点"二 古典概型的概念
如果试验具有以下两个特征：
(1)eq \(□,\s\up3(01))有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)eq \(□,\s\up3(02))等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
知识点"三 古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率eq \(□,\s\up3(01))P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ).
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
1．从集合的角度理解古典概型的概率公式
用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与基本事件的关系，有利于理解公式P(A)＝eq \f(k,n).如图所示．
把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，其中每一个结果就是I中的一个元素，把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合，则集合A是集合I的一个子集，故有P(A)＝eq \f(k,n).
2．求解古典概型问题的一般思路
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)．
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性．
(3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率．
P(A)＝eq \f(事件A包含的样本点个数,样本空间的样本点总数)＝eq \f(k,n).
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型．( )
(2)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( )
(3)若一个古典概型的样本点总数为n，则每一个样本点出现的可能性均为eq \f(1,n).( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2．做一做
(1)下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝eq \f(k,n).
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
(2)掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
(3)从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D．1
答案 (1)B (2)A (3)C
题型一 样本点的计数方法
例1 (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有样本点；
②求这个试验的样本点的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
[解析] (1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．
(2)①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
②这个试验包含的样本点的总数是8.
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
[答案] (1)C (2)见解析
样本点的两个探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，求样本点的总数．
解 把2个白球和2个黑球分别编号为1,2,3,4，所有可能结果如树状图所示，共24个样本点．
题型二 古典概型的判定
例2 袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．
(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？
[解] (1)因为样本点个数有限，而且每个样本点发生的可能性相同，所以是古典概型．
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点．这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．
判断一个试验是古典概型的依据
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——样本点的有限性和等可能性．
下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
答案 ③
解析 ①不属于．原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于．原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于．原因是显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于．原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于．原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.
题型三 古典概型的求法
例3 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A＝{三个数字中不含1或5}；
(2)事件B＝{三个数字中含1或5}．
[解] 这个试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，样本点总数n＝10，这10个样本点发生的可能性是相等的．
(1)因为事件A＝{(2,3,4)}，
所以事件A包含的样本点数m＝1.
所以P(A)＝eq \f(m,n)＝eq \f(1,10).
(2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，
所以事件B包含的样本点数m＝9.
所以P(B)＝eq \f(m,n)＝eq \f(9,10).
1.古典概型概率的求法步骤
(1)确定等可能样本点总数n；
(2)确定所求事件包含的样本点数m；
(3)P(A)＝eq \f(m,n).
2．使用古典概型概率公式的注意点
(1)首先确定是否为古典概型；
(2)A事件是什么，包含的样本点有哪些．
甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．
(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；
(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；
(3)这个游戏公平吗？请说明理由．
解 将所有的样本点列表如下：
由上表可知，该试验共有25个等可能发生的样本点，属于古典概型．
(1)事件A包含了(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，故P(A)＝eq \f(5,25)＝eq \f(1,5).
(2)事件B包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个样本点，
所以P(B)＝eq \f(16,25).
(3)这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为eq \f(13,25)，“和为奇数”的概率是eq \f(12,25)，二者不相等，所以游戏不公平.
题型四 较复杂的古典概型的概率计算
例4 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．
[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如上图所示，共24个等可能发生的样本点，属于古典概型．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝eq \f(1,24).
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝eq \f(9,24)＝eq \f(3,8).
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝eq \f(8,24)＝eq \f(1,3).
(1)当样本点个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．
(2)在求概率时，若样本点可以表示成有序数对的形式，则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，这个试验的样本空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18个样本点．由于每一个样本点被抽取的机会均等，因此这些样本点的发生是等可能的．
用M表示“A1被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，共6个样本点，因此P(M)＝eq \f(6,18)＝eq \f(1,3).
(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件eq \(N,\s\up6(－))表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于eq \(N,\s\up6(－))＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，共有3个样本点，而N∪eq \(N,\s\up6(－))＝Ω，且N∩eq \(N,\s\up6(－))＝∅，
故事件N包含的样本点个数为18－3＝15，
所以P(N)＝eq \f(15,18)＝eq \f(5,6).
1．若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(3,10)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 由题意知书架上共有10本书，其中外文书为英文书和日文书的和，即3＋2＝5(本)．所以由书架上抽出一本外文书的概率P＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2)，故选D.
2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
答案 C
解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，这个试验的样本空间Ω＝{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}，共10个样本点，这10个样本点发生的可能性是相等的．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的样本点有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个，故所求概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
3．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 因为甲、乙、丙三人在3天节日中，每人值班1天，所以样本空间Ω＝{甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲}，共6个样本点，而甲紧接着排在乙的前面值班的情况为{甲乙丙，丙甲乙}，共2个样本点．所以甲紧接着排在乙的前面值班的概率是eq \f(1,3).选C.
4．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 三张卡片的排列方法有BE1E2，BE2E1，E1BE2，E1E2B，E2E1B，E2BE1，共6种，这6种情况发生的可能性是相等的．其中恰好排成英文单词BEE的有2种，故恰好排成英文单词BEE的概率为eq \f(1,3).
5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1)共有多少个样本点？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个样本点．
(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故 P(A)＝eq \f(3,10).
故摸出2只球都是白球的概率为eq \f(3,10).甲乙
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)