选择性必修 第一册3.2 双曲线精练

这是一份选择性必修 第一册3.2 双曲线精练，共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题）
1. 已知 P 是双曲线 x29−y216=1 的右支上一点，M，N 分别是圆 x+52+y2=4 和 x−52+y2=1 上的点，则 ∣PM∣−∣PN∣ 的最大值为
A. 6B. 7C. 8D. 9

2. 双曲线 x23−y24=1 的实轴长为
A. 2B. 4C. 3D. 23

3. 已知双曲线 x2a2−y23=1a>0 的离心率为 2，则 a=
A. 1B. 52C. 62D. 2

4. 直线 y=2x 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线，则双曲线 C 的离心率
A. 5B. 52C. 3D. 32

5. 已知 a>b>0，曲线 C1 的方程为 x2a2+y2b2=1，曲线 C2 的方程为 x2a2−y2b2=1，C1 与 C2 的离心率之积为 223，则 C2 的渐近线方程为
A. 3x±y=0B. x±3y=0C. 3x±y=0D. x±3y=0

6. 已知 F1，F2 是双曲线 E:x2a2−y2b2=1 的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1=13，则 E 的离心率为
A. 2B. 32C. 3D. 2

7. 已知双曲线 x24−y2b2=1b>0，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为
A. x24−3y24=1B. x24−4y23=1C. x24−y24=1D. x24−y212=1

8. 已知双曲线 C：x2a2−y2b2=1（a>0,b>0），F1 为其左焦点，直线 l：x5+y4=1，若过 F1 和 0,−b 的直线与 l 平行，则双曲线的离心率为
A. 54B. 53C. 43D. 5

9. 过双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点且垂直于 x 轴的直线 l 与双曲线的两条渐近线围成面积为 33 的正三角形，则双曲线 C 的实轴长为
A. 2B. 33C. 4D. 43

10. 设点 F1，F2 分别是双曲线 C:x2a2−y22=1a>0 的左、右焦点，过点 F1 且与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点．若 △ABF2 的面积为 26，则该双曲线的渐近线方程为
A. y=±3xB. y=±33xC. y=±2xD. y=±22x

二、填空题（共6小题）
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2−y2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x−y+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为 ．

12. 已知双曲线 x24−y25=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线上，且 PF2⊥x 轴，则 F2 到直线 PF1 的距离为 ．

13. 双曲线 x22−y22=1 的渐近线方程为 ．

14. 已知过双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 右焦点且倾斜角为 45∘ 的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率 e 的取值范围是 ．

15. F1，F2 分别为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，点 P 在双曲线上，满足 PF1⋅PF2=0．若 △PF1F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为 3−12，则该双曲线的离心率为 ．

16. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，若 ∠MAN=60∘，则 C 的离心率为 ．

三、解答题（共5小题）
17. 直线的斜率随着倾斜角的变化是如何变化的?为什么?

18. 已知双曲线 x29−y216=1 的两个焦点分别为 F1，F2，点 P 为此双曲线上一点，∣PF1∣⋅∣PF2∣=32，求证：PF1⊥PF2．

19. 如图，双曲线 x2−y24=1 的左，右两个焦点为 F1，F2，第二象限内的一点 P 在双曲线上，且 ∠F1PF2=π3．
（1）求 PF1⋅PF2．
（2）求点 P 的坐标．

20. 已知 F1，F2 为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且 ∠PF1F2=30∘．求双曲线的渐近线方程．

21. 如图，已知 F1，F2 为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且 ∠PF1F2=30∘．求：
（1）双曲线的离心率；
（2）双曲线的渐近线方程．
答案
1. D
【解析】设双曲线的两个焦点分别是 F1−5,0 和 F25,0，
则这两个点正好是两圆的圆心，当且仅当点 P 与 M，F1 三点共线以及 P 与 N，F2 三点共线时所求的值最大，
此时 ∣PM∣−∣PN∣=∣PF1∣+2−∣PF2∣−1=9．
故选D．
2. D
【解析】根据题意，双曲线 x23−y24=1，其中 a=3，b=2，焦点在 x 轴上，
则该双曲线与 x 轴的交点为 3,0 与 −3,0，
则实轴长 2a=23．
3. A
【解析】因为双曲线 x2a2−y23=1a>0 的离心率为 2，
所以 e=ca=a2+b2a2=1+3a2=2，
解得：a2=1，
即 a=1（a 为正数）．
4. A
【解析】因为双曲线 C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线为 y=±bax，
所以 ba=2，
所以离心率 e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=5．
5. B
【解析】a>b>0，椭圆 C1 的方程为 x2a2+y2b2=1，C1 的离心率为：a2−b2a，
双曲线 C2 的方程为 x2a2−y2b2=1，C2 的离心率为：a2+b2a，
因为 C1 与 C2 的离心率之积为 223，
所以 a2−b2a⋅a2+b2a=223，
所以 ba2=13，即有 ba=33，
C2 的渐近线方程为：y=±bax，即 x±3y=0．
6. A
【解析】设 F1−c,0，将 x=−c 代入双曲线方程，得 c2a2−y2b2=1，
所以 y2b2=c2a2−1=b2a2，
所以 y=±b2a．
因为 sin∠MF1F1=13，
所以
tan∠MF2F1=MF2F1F2=b2a2c=b22ac=c2−a22ac=c2a−a2c=e2−12e=24,
所以 e2−22e−1=0，
所以 e=2．
7. D
【解析】根据圆和双曲线的对称性，可知四边形 ABCD 为矩形．
双曲线的渐近线方程为 y=±b2x，圆的方程为 x2+y2=4，
不妨设交点 A 在第一象限，
由 y=b2x，x2+y2=4 得 xA=44+b2，yA=2b4+b2，
故四边形 ABCD 的面积为 4xAyA=32b4+b2=2b，
解得 b2=12，
故所求的双曲线方程为 x24−y212=1．
8. B
【解析】由双曲线 C：x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）得其左焦点 F1−c,0，
直线 l：x5+y4=1 的斜率为 −45，
过 F1 和 0,−b 的直线斜率为 −bc，
又过 F1 和 0,−b 的直线与 l 平行，
所以 −bc=−45，可得 cb=54，
在双曲线中，b2=c2−a2，
可得 c2c2−a2=2516，
可得 c2a2=259，
所以双曲线的离心率 e=ca=53．
9. B
【解析】如图，设双曲线的两条渐近线为 l1，l2，直线 l 与 l1，l2 的交点分别为 A，B．
因为直线 AB 过双曲线 C 的右焦点，且 △OAB 是面积为 33 的正三角形，
所以 34×∣OA∣2=33，
所以 ∣OA∣=∣OB∣=∣AB∣=23，
所以 c=23×cs30∘=3．
又 ba=tan30∘=33，且 c2=a2+b2，
解得 a=332，
则双曲线 C 的实轴长为 2a=33．
故选B．
10. D
【解析】设 F1−c,0，A−c,y0，则 c2a2−y022=1，
所以 y022=c2a2−1=c2−a2a2=b2a2，
所以 y02=4a2，
所以 ∣AB∣=2y0=4a，
又 S△ABF2=26，
所以 12×2c×∣AB∣=12×2c×4a=4ca=26，
所以 ca=62，
所以 ba=b2a2−1=22，
所以该双曲线的渐近线方程为 y=±22x．
11. 22
12. 3013
13. y=±x
【解析】由题得：a=2，b=2，
渐近线方程为 y=±bax=±x，
综上所述，结论为：双曲线的渐近线方程为 y=±x．
14. 1,2
15. 3+1
【解析】因为 PF1⋅PF2=0，所以 PF1⊥PF2，即 △PF1F2 为直角三角形，所以 ∣PF1∣2+∣PF2∣2=∣F1F2∣2=4c2．又 ∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=2a，则 2∣PF1∣⋅∣PF2∣=∣PF1∣2+∣PF2∣2−∣PF1∣−∣PF2∣2=4c2−a2，所以 ∣PF1∣+∣PF2∣2=∣PF1∣−∣PF2∣2+4∣PF1∣⋅∣PF2∣=8c2−4a2．所以 △PF1F2 的内切圆半径 r=∣PF1∣+∣PF2∣−∣F1F2∣2=2c2−a2−c，外接圆半径 R=c，由题意得 2c2−a2−cc=3−12，整理得 ca2=4+23，所以该双曲线的离心率 e=3+1．
16. 233
【解析】双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右顶点为 Aa,0，
以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点．
若 ∠MAN=60∘，可得 A 到渐近线 bx+ay=0 的距离为：bcs30∘=32b，
可得：∣ab∣a2+b2=32b，即 ac=32，
可得离心率为：e=233．
17. 直线的斜率随着倾斜角的变化而变化的情况如表：
直线情况平行于x轴由左向右上升垂直于x轴由左向右下降α的大小α=0∘0∘<α<90∘α=90∘90∘<α<180∘k的取值范围k=0k>0不存在k<0k的增减性 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大
从表格可以看出，倾斜角等于 90∘ 的直线是一个分界线，当倾斜角从 0∘ 增大，接近 90∘ 时，斜率从 0 逐渐增大趋向于正无穷大；当倾斜角从 90∘ 增大，接近 180∘ 时，斜率从负无穷大逐渐增大趋向于 0．
18. 略．
19. （1） PF1⋅PF2=16．
（2） 点 P 的坐标为 −855,4155．
20. 如图，
设 F2c,0c>0，Pc,y0，则 c2a2−y02b2=1，
解得 y0=±b2a，所以 ∣PF2∣=b2a．
在直角三角形 PF2F1 中，∠PF1F2=30∘，
所以 ∣PF1∣=2∣PF2∣，
由双曲线定义可知 ∣PF1∣−∣PF2∣=2a，得 ∣PF2∣=2a．
因为 ∣PF2∣=b2a，所以 2a=b2a，即 b2=2a2，所以 ba=2 .
故所求双曲线的渐近线方程为 y=±2x．
21. （1） 因为 ∠PF2F1=90∘，∠PF1F2=30∘．
在 Rt△PF2F1 中，∣PF1∣=∣F1F2∣cs∠PF1F2=2ccs30∘=43c3，∣PF2∣=12∣PF1∣=23c3，
又 ∣PF1∣−∣PF2∣=2a，即 233c=2a，ca=3，
所以 e=ca=3．
（2） 对于双曲线，有 c2=a2+b2，
所以 b=c2−a2，
所以 ba=c2−a2a=ca2−1=3−1=2．
所以双曲线的渐近线方程为 y=±2x．