备战高考2024年数学第一轮专题复习1.1 集合（精讲）（提升版）（解析版）

1.1  集合（精讲）（提升版）

考点一 集合的基本运算

【例1-1】（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）已知集合A＝，则A∩B＝（       ）

A．(0，2] B．(0，2) C．(1，2] D．(0，＋∞)

【答案】A

【解析】∵由，即，解得，所以集合，

由当时，，得，所以．故选：A.

【例1-2】（2022·河北保定·高三期末）设集合均为非空集合.（       ）

A．若，则                 B．若，则

C．若，则                 D．若，则

【答案】C

【解析】对于A,，，当时，结论不成立，则A错误；

对于B, ，当时，结论不成立，，则B错误；

对于C,因为，，所以，又，所以，则,则C正确;

对于D， ，当时，结论不成立,则D错误;故选:C.

【例1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则的元素个数为（       ）

A．2 B．1 C．0 D．无法确定

【答案】A

【解析】时，与圆相交有两个交点

时，∴直线与圆相交，有两个交点故选：A

【一隅三反】

1．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知全集，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，可得，即，则

由，可得或，则或

则，故故选：D

2．（2022·全国·模拟预测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，则，所以.\

由，得，则，则图中阴影部分表示的集合为.故选:B.

3．（2022·全国·高三专题练习）设集合，，，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，，，

对于集合，当时，，；

当时，，．，故选：B．

4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则中元素的个数为（   ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.

考点二 集合中的参数问题

【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）集合或，若，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

①当时，即无解，此时，满足题意．

②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．

当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．

故选：A．

【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.若，则实数（       ）

A．3 B． C．3或 D．或1

【答案】A

【解析】因为，所以直线与直线没有交点，

所以直线与直线互相平行，

所以，解得或，

当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足，

当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足，

所以的值为，故选：A.

【例2-3】（2022·全国·高三专题练习（理））设集合，集合若中恰含有一个整数 ，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】A={x|x＜﹣3或x＞1}， 函数y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的对称轴为x=a＞0，

而f（﹣3）=6a+8>0，f（﹣1）=2a>0，f（0）<0，故其中较小的零点为（-1，0）之间，另一个零点大于1，f（1）<0，要使A∩B恰有一个整数，即这个整数解为2，∴f（2）≤0且f（3）＞0，

即，解得： ，即≤a＜，则a的取值范围为．故答案为：A.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习（理））设集合，，若，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，由得，所以.故选：A.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，因为，所以，

当时，集合，满足；

当时，集合，

由，得或，解得或，

综上，实数的取值集合为.故选：D.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.若，则实数（       ）

A．-3 B． C． D．3

【答案】B

【解析】因为，所以直线与直线平行，

所以所以. 经检验，当时，两直线平行.故选：B.

4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知A={-1，2}，B={x|mx+1=0}，若A∪B=A，则实数m的取值所成的集合是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】∵A∪B=A,∴B⊆A,∴B=∅,{−1}或{2}.m=0时，B=∅，满足条件．m≠0时，−m+1=0，或2m+1=0，

解得m=1或−.综上可得：实数m的取值所成的集合是.本题选择D选项.

考点三 集合中的新定义

【例3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（       ）

A．若A，且，则

B．若A，且，则

C．若A，且，则

D．存在A，，使得

【答案】ABD

【解析】对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；

对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；

对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；

对于D选项，时，，，D正确；故选：ABD．

【一隅三反】

1．（2022·贵州）定义集合 且.己知集合，，，则中元素的个数为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】因为，，所以，

又因为，所以.故选：B.

2．（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为

A．77 B．49 C．45 D．30

【答案】C

【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．

3．（2022·全国·高三专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.

【答案】

【解析】当时，，此时满足，

当时，，此时集合只能是“蚕食”关系，

所以当集合有公共元素时，解得，

当集合有公共元素时，解得，

故的取值集合为.

故答案为：

4．（2022·全国·高三专题练习）若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.

【答案】

【解析】因为，；，；，；，；

这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．

所以满足条件的集合的个数为，故答案为：.

考点四 集合与其他知识的综合运用

【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知是虚数单位，集合（整数集）和的关系韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（   ）

A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷个

【答案】B

【解析】因为，，所以集合，

因为阴影部分所示的集合为，，

所以，阴影部分所示的集合的元素共有个，故选B．

【例4-2】（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若集合，集合，则______．

【答案】

【解析】由图可知周期，∴．

由得，∴，，

∵，∴k取0，，

∴，

∴，

∴．

∴，，

∴，∴．

故答案为：﹒

【一隅三反】

1．（2022·上海·高三专题练习）已知互异的复数满足，集合={,},则=　　（　　　　）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】D

【解析】由题意或，因为，，，因此．

选D.

2．（2022·福建福州·模拟预测）从集合的非空子集中任取两个不同的集合和，若，则不同的取法共有（       ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【解析】若集合仅有个元素，则集合有种取法；集合有种取法；此时共有种取法；

若集合中有个元素，则集合有种取法；集合有种取法；此时共有种取法；

若集合中有个元素，则集合为的非空真子集，有种取法；此时共有种取法；

综上所述：不同的取法共有种.

故选：C.

3．（2022·全国·高三专题练习）函数，则集合元素的个数有（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】D

【解析】当时，，解得，

当时，若，解得，

当时，若，解得，

当时，若，则，解得或.

又∵

∴或

∴或或或或.

∴集合元素的个数有5个.

故选：D．