备战高考2024年数学第一轮专题复习6.4 求和方法（精练）（提升版）（解析版）

6.4 求和方法（精练）（提升版）

1．（2022·黑龙江）已知等差数列满足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和Sn．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为d，

则∴，∴．

（2），∴，

∵，又，∴数列为等比数列，且首项为2，公比为4，

∴．

2．（2021·四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知得，

则，

将代入并化简得，解得或(舍去).

所以.

（2）由（1）知，所以，

所以，即数列是首项为，公比为的等比数列.

所以.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.

(1)求；

(2)若，求的前项和.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)设等差数列的公差为，

由，且，，成等比数列可得，

解得，，

所以.

(2)由可得，

所以，

所以

.

1．（2022·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列的前项和为，求证：.

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】(1)解：因为，

所有，

当时，，，……，，

相加得，所以，

当时，也符合上式，

所以数列的通项公式；

(2)证明：由（1）得，

所以，

所以，

．

所以．

2．（2022·浙江台州·二模）在数列中，，且对任意的正整数，都有.

(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析，(2)

【解析】(1)解：（1）由，得.

又因为，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列.

故，即.

(2)由，

故

，

故

．

3．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，求证：．

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】(1)因为数列满足， 所以，所以，

所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则有，.

(2)，

所以，

因为，所以.

4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且．

(1)证明：数列为等差数列；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)当时，由，得或，

∵，∴，

由，得

当时，

由，得，

整理得，

∵，∴≠0，∴，

∴数列是首项为，公差为的等差数列；

(2)由（1）得，

，

∴．

5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足．

(1)证明：数列为等差数列；

(2)记为数列的前n项和，证明：．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】(1)设等比数列的公比为，因为，

故，解得或（舍），故，，

因为，故，

又，

故数列是公差为的等差数列.

(2)因为，

故，

又是单调增函数，且，

又当时，，故，即证.

6．（2022·安徽安庆·二模）已知数列的前n项和为，且满足，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前n项和.

【答案】(1)，(2)

【解析】(1)解：时，，解得.

当时，，故，

所以，

故.

符合上式

故的通项公式为，.

(2)解：结合（1）得

，

所以

.

1．（2022·广东·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

问题：已知数列的前n和为，若，且        ，求数列的前n项和．

【答案】选①，；选②，；选③，.

【解析】选①：当n≥2时，因为，

所以，

上面两式相减得．

当n＝1时，，满足上式，所以．

因为，

所以，

上面两式相减，得：，

所以．

选②：当时，因为，所以，

上面两式相减得，即，经检验，，

所以是公比为－1的等比数列，．

因为，

所以．

选③：由，

得：，

由累加法得：．

又，所以．

因为，

所以，

上面两式相减得，

所以．

2．（2022·广东肇庆·二模）已知数列满足，.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】(1)证明：由，得，

又，所以，故，

故是以为首项，以为公比的等比数列；

(2)解：由（1）得，得，

所以，设的前n项和为，

则，①

，②

由①-②，得

，则，

故.

3．（2022·广东韶关·一模）在①；②；③

这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)选①：，；选②：，；选③：，

(2)

【解析】(1)解：若选①：由，则，

可得

将上述个式子相加，整理的

又因为，所以.

若选②：，当时，，

当时，

所以，所以.

综上，

若选③：，当时，，

当时，由可得，所以，所以.

经检验当时也成立，所以；

设等差数列的公差为，

由题有，即，解得

从而

(2)

解：由（1）可得，

令的前项和是，则，

，

两式相减得，

，

整理得；

4．（2022·广东·模拟预测）已知数列满足，．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】(1)证明：由，得，

又，所以，故，

故是以为首项，以为公比的等比数列．

(2)由（1）得，得，

所以，设的前n项和为，

则，①

，②

由①-②，得

，则，

故．

5．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，都有．

(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；

(2)求使得不等式成立的最大正整数m．

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】(1)由，得，

所以是等比数列.

所以

从而

所以，．

(2)设

即，所以，，

于是，．

因为，且，

所以，使成立的最大正整数．

1．（2022·甘肃·一模）已知数列满足，．数列满足，，，．

(1)求数列及的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)，；(2)

【解析】(1)由得，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，

由可知数列是等差数列，首项，公差，

所以.

(2)

即

2．（2022·江苏南京·高三开学考试）设数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和为.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)解：设数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，a1=1

若a1，a2，a5成等比数列，可得a1a5=a22，

即有，解得或d=0（舍去）          

则.

(2)解：

可得前项和

.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)(2)当n为偶数时，；当n为奇数时，.

【解析】(1是正项等比数列，故，所以，又，设公比为q（q>0），即，即，解得：，则数列的通项公式为

(2)

则

当n为偶数时，；当n为奇数时，.

4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且.

(1)求数列的通项公式以及前n项和；

(2)若，求数列的前2n－1项和.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)依题意，，则，

故，解得d＝2，∴，

故，.

(2)依题意，得，

故，

故

5．（2022·河南·模拟预测（理））在等比数列中，，且，，成等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)若，证明：数列的前n项和.

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】(1)设数列的公比为q，

由，得，所以.

因为，，成等差数列，所以，

即，解得.

因此.

(2)因为，

所以

.

因为，，所以.

6．（2022·云南·一模（理））已知数列的前项和为，.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)∵，∴.∴.

∵数列的前项和为，∴.

∴.所以数列是首项为，公比为的等比数列.∴.

当时，由和得，解方程得.

∴.∴数列的通项公式为.

(2)由（1）知：.

∴.

∴.

∴

.

7．（2022·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.

(1)求的通项公式及其前项和；

(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；

(3)设求数列的前项的和.

【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)

【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，

由已知可得，即，解得，故，

.

(2)证明：因为，，则，

因为，故数列是以为首项和公比的等比数列，

因此，，因此，.

(3)解：设数列的前项和中，奇数项的和记为，偶数项的和记为.

当，，

则，

，

上式下式得

，

故.

当时，

，

所以，

，

因此，.

1．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列的通项公式为()，其前

项和为，则_______.

【答案】

【解析】

，

∴.故答案为：

2．（2020·河南郑州·三模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n满足则______．

【答案】

【解析】由得.

又因为,故.故.

故,…，.

累加可得.

故,故

故答案为：

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（       ）

A．100 B．105 C．110 D．115

【答案】D

【解析】因为函数满足，

①，

②，

由①②可得，，

所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知若等比数列满足则（       ）

A． B．1010 C．2019 D．2020

【答案】D

【解析】

等比数列满足

即2020

故选：D

3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

设，

则，

两式相加得，因此，.故选：B.

4．（2022·全国·高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则     

A．2016 B．2017 C．2018 D．2019

【答案】C

【解析】函数，函数的导数，，

由得，解得，而，故函数关于点对称，

，故设，

则，

两式相加得，则，故选C.

5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

由，得，

又也满足上式，所以，

则为常数，所以数列为等差数列；

所以，

.

则数列的前项和为，

记，则，

所以，因此.

故选：D．

6．（2022·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（       ）

A．98 B．99 C．100 D．101

【答案】C

【解析】由已知，数列通项，所以，

所以，所以.故选：C.