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备战高考2024年数学第一轮专题复习7.5 外接球(精讲)(提升版)(解析版)
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这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习7.5 外接球(精讲)(提升版)(解析版),共33页。试卷主要包含了汉堡模型,墙角模型,斗笠模型,麻花模型,L模型,怀表模型,矩形模型,内切球等内容,欢迎下载使用。
7.5 外接球(精讲)(提升版)
考点一 汉堡模型【例1】(2022·陕西)已知底面边长为1,侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知,正四棱柱的体对角线即为外接球的直径,故,解得,故球的体积为:.故选:D.【一隅三反】1.(2022·全国·高三专题练习)已知在三棱锥中,,,,平面,则三棱锥的外接球的表面积是( )A. B. C. D.【答案】A
【解析】在中,由余弦定理得:,,外接圆半径,又平面,三棱锥的外接球半径,则三棱锥的外接球的表面积.故选:A.2.(2022·全国·高三专题练习)已知在三棱锥中,平面,,则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因平面,平面,则,而,则,三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心,,连,则平面,取线段的中点,则球的球心在过E垂直于直线的垂面上,连,如图,则四边形是矩形,,因此,球的半径有:,所以三棱锥外接球的表面积.故选:C
3.(2023·山西大同·高三阶段练习)球内接直三棱柱,则球表面积为___________.【答案】【解析】设三角形ABC和三角形的外心分别为D,E.可知其外接球的球心O是线段DE的中点,连结OC,CD,设外接球的半径为R,三角形ABC的外接圆的半径r,可得,由正弦定理得,,而在三角形OCD中,可知,即,因此三棱柱外接球的表面积为.故答案为:考点二 墙角模型【例2】(2022·全国·高三专题练习)长方体的长,宽,高分别为3,,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的体积为( )A. B. C. D.【答案】A
【解析】球O的半径为,∴体积.故选:A【一隅三反】1.(2022·全国·高三专题练习)已知四棱锥P-ABCD中,平面ABCD,底面ABCD是矩形,,若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为,则四棱锥P-ABCD的体积为( )A.3 B.2 C. D.1【答案】D【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,则,即.由题意,易知,得,设,得,解得,所以四棱锥P-ABCD的体积为.故选:D2.(2022·全国·高三专题练习)已知三棱锥中,,底面,,,则该三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解:如图所示,将三棱锥放在长、宽、高分别为,,的长方体中,则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球,所以外接球的直径,
∴该球的体积为.故选:B3.(2022·海原县)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,且平面,,,,则球的表面积为___________.【答案】【解析】平面,平面,,,又,,,,,则可将三棱锥放入如下图所示的长方体中,则长方体的外接球即为三棱锥的外接球,球的半径,球的表面积.故答案为:.考点三 斗笠模型【例3】(2023·全国·高三专题练习)已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形,则球的表面积等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,是边长为的正三角形,如图所示:
取BC的中点D,点H为底面的中心,所以设外接球的半径为R,所以,利用勾股定理可得,解得则球的表面积为故选:B.【一隅三反】1(2022·全国·高三专题练习)已知圆台的母线长为2,母线与轴的夹角为60°,且上、下底面的面积之比为1:4,则该圆台外接球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】圆台上、下底面的面积之比为1:4,则半径比为1:2,设圆台上、下底面半径为,因母线与轴的夹角为60°,可得圆台高为1,则;设圆台外接球的半径为,球心到下底面的距离为,易得圆台两底面在球心同侧,则,且,解得,则该圆台外接球的表面积为.故选:C.
2.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上,若该球的表面积为,则该正三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【解析】因为,所以正三棱锥外接球半径,正三棱锥如图所示,设外接球圆心为,过向底面作垂线垂足为,因为是正三棱锥,所以是的中心,所以,,又因为,所以,所以,令,解得所以在递增,在递减,故当时,取最大值,.故答案为:.3.(2022·江西)正三棱锥P-ABC底面边长为2,M为AB的中点,且PM⊥PC,则三棱锥P-ABC外接球的体积为( )
A. B. C. D.【答案】C【解析】由图,设,则,而,因为PM⊥PC,所以由勾股定理得即解得,由对称性可知:三棱锥P-ABC外接球的球心在三棱锥P-ABC的高PD上,假设为O点,则,因为,所以,又由于点D是三角形ABC的外心,且三角形ABC为等边三角形,所以,在三角形ODC中,由勾股定理得,即, 解得,所以三棱锥P-ABC外接球的体积为.故选:C考点四 麻花模型【例4】(2022·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,,,,则三棱锥外接球的体积为( ) A. B. C. D.【答案】C
【解析】由题意,,,,将三棱锥放到长方体中,可得长方体的三条对角线分别为,2,,设长方体的长、宽、高分别为,则,,,解得,,.所以三棱锥外接球的半径.三棱锥外接球的体积.故选:C【一隅三反】1.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】三棱锥中,,,,构造长方体,使得面上的对角线长分别为4,5,,则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径,如图,设长方体的棱长分别为,,,则,,,则,因此三棱锥外接球的直径为,所以三棱锥外接球的表面积为.故选:A2.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥A-BCD中,,,二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2,则A-BCD的外接球的表面积是( )
A.12π B.13π C. D.【答案】B【解析】如图1,取中点,连接,则,,又,平面,所以平面,,所以,又,,,又由,,知为二面角的平面角,此角为钝角,所以,所以,因此四面体可以放置在一个长方体中,四面体的六条棱是长方体的六个面对角线,如图2,此长方体的外接球就是四面体的外接球,设长方体的棱长分别为,则,解得,所以外接球的直径为,,球表面积为.故选:B.
考点五 L模型【例5】(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥中,平面平面,,,则该三棱锥外接球的表面积是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示:其中D为AB的中点,O为外接圆的圆心,,∴O在CD上,且,.,D为AB的中点,,∵平面平面ABC,平面平面,平面ABC,平面PAB.又DA,DB,平面PAB,,,.在中,,D为AB的中点,..∴O即为三棱锥外接球的球心,且外接球半径,∴该三棱锥外接球的表面积.
故选:B【一隅三反】1(2022·江西高三)在三棱锥中,是等边三角形,平面平面,,则三棱锥的外接球体积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】中,,所以,,设是中点,则是外心,又是等边三角形,所以,而平面平面,平面平面,平面,所以平面,所以的外心即中三棱锥外接球的球心,所以球半径,球体积为.故选:C.
2.(2022·四川雅安市)在四面体ABCD中,已知平面平面,且,其外接球表面积为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】四面体ABCD中,取AB的中点E,连CE,DE,如图:因,则,有平面CDE,所以平面CDE⊥平面ABC,平面CDE⊥平面ABD,令正△ABD中心为O2,正△ABC中心为O1,在平面CDE内分别过O1,O2作直线CE,DE的垂线,两线交于点O,则有O1O⊥平面ABC,平面O2O⊥平面ABD,由球的截面小圆性质知,四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上,即点O是球心,连OA,O1A,OA即为球O的半径,因平面平面,则,而,即有四边形OO1EO2是正方形,则,中,,则,所求外接球的表面积.故选:B3.(2023·重庆九龙坡区)在三棱锥中,平面平面,,则三棱锥
的外接球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】如图,取中点,中点,连接,是等边三角形,则因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以,过作平面,则,因为,所以三棱锥的外接球的球心在上,设球心为,连接,设外接球半径为,由已知,,,,在直角梯形中,,,,所以球表面积为.故选:C.考点六 怀表模型【例6】(2022·全国·高三专题练习)在边长为6的菱形ABCD中,,现将沿BD折起到的位置,当三棱锥的体积最大时,三棱锥的外接球的表面积为( )A.60π B.45π C.30π D.20π【答案】A【解析】当三棱锥的体积最大值时,平面平面,如图,取的中点为,连接,则.
设分别为,外接圆的圆心,为三棱锥的外接球的球心,则在上,在上,且,且平面,平面.平面平面,平面平面,平面,平面,,同理四边形为平行四边形平面,平面,即四边形为矩形. 外接球半径 外接球的表面积为 故选:A. 【一隅三反】1.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥中,是边长为的等边三角形,,二面角是150°,则三棱锥外接球的表面积是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】如图,作平面ABC,垂足为E,连接BE,记,连接PD.
由题意可得D为AC的中点.在中,,D为AC的中点,因为,所以,则.因为二面角是150°,所以,所以,.因为是边长为的等边三角形,且D为AC的中点,所以.设为外接圆的圆心,则.设三棱锥外接球的球心为O,因为,所以O在平面ABC下方,连接,OB,OP,作,垂足为H,则,.设三棱锥外接球的半径为,,即,解得,故三棱锥外接球的表面积是.故选:A.2.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥中,为等腰直角三角形,,为正三角形,且二面角的平面角为,则三棱锥的外接球表面积为( )A. B. C. D.【答案】C
【解析】如图所示,为直角三角形,又,所以,因为为正三角形,所以,连接,为的中点,E为中点,则,所以为二面角的平面角所以.因为为直角三角形,E为中点,所以点为的外接圆的圆心,设G为的中心,则G为的外接圆圆心.过E作面的垂线,过G作面的垂线,设两垂线交于O.则O即为三棱锥的外接球球心.设与交于点H,,所以,,∴.所以,故选:C.考点七 矩形模型【例7】(2022·湖北襄阳市)若矩形ABCD的面积是4,沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为球心到四个顶点的距两相等,所以球心在对角线上,且半径为,
设矩形的的长力x,宽为y则,所以,又,由基本不等式知: ,当且仅当 ,即时,等号成立,,故选:B【一隅三反】1.(2022.江西)在矩形中,,沿对角线进行翻折,则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为在翻折过程中,始终不变,所以的中点到,,,四点的距离始终相等,三棱锥外接球的直径为,所以外接球的表面积为,故选:D2.(2022·天津河)将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角,得到四面体,则四面体的外接球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中点,连接、,如下图所示:
由题意,因为,为的中点,所以,,所以,为四面体的外接球的球心,且球的半径为,因此,四面体的外接球的表面积为.故选:A.3.(2022·四川)中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中,称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中,面,,若,,且顶点均在球上,则球的表面积为______.【答案】【解析】由题意可知:球为鳖臑的外接球,面,面,,,又,面,,面,又面,;取中点,连接,,,同理可知:,点与球的球心重合,球的半径,
球的表面积.故答案为:.考点八 内切球【例8】(2022·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,,,若三棱锥的内切球的表面积为,则此三棱锥的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】连接,并延长交底面于点,连接,并延长交于,在三棱锥中,,,三棱锥是正四面体,是的中心,平面,三棱锥的内切球的表面积为,,解得球的半径,设,则,,,,,,解得,,
此三棱锥的体积为.故选:D.【一隅三反】1.(2022·江西·高三阶段练习(理))在正三棱锥中,,分别是,的中点,且,,则正三棱锥的内切球的表面积为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】设点是点在底面上的射影,则平面,平面,所以,由三棱锥为正三棱锥可得,点为底面的中心,所以,又,所以平面,平面,所以,因为,分别是,的中点,所以,因为,所以,又,所以平面,又,平面,所以,,又三棱锥是正三棱锥,所以三条侧棱两两互相垂直,因为,所以,所以,所以该三棱锥的表面积,
设内切球的半径为,又该三棱锥的体积,所以,所以此内切球的表面积为.故选:D.2.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥中,平面,且,若球在三棱锥的内部且与四个面都相切(称球为三棱锥的内切球),则球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】解:因为平面,平面,平面,平面,所以,,,又,所以平面,所以,所以均为直角三角形,设球的半径为r,则,而,,所以,解得,所以球的表面积为,故选:A.
3.(2022黑龙江)如图,在四棱锥中,是正方形的中心,底面,,,则四棱锥内切球的体积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形,侧棱长都为,连接.底面,.,, ,.设四棱锥的内切球的半径为,球心为,由,得,即,解得,故四棱锥内切球的体积为.故选:B.