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    备战高考2024年数学第一轮专题复习7.5 外接球(精讲)(提升版)(解析版)

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    备战高考2024年数学第一轮专题复习7.5 外接球(精讲)(提升版)(解析版)

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    这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习7.5 外接球(精讲)(提升版)(解析版),共33页。试卷主要包含了汉堡模型,墙角模型,斗笠模型,麻花模型,L模型,怀表模型,矩形模型,内切球等内容,欢迎下载使用。
    7.5 外接球(精讲)(提升版)
      
    考点一 汉堡模型【例1】2022·陕西)已知底面边长为1,侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为(      A B C D【答案】D【解析】由题可知,正四棱柱的体对角线即为外接球的直径,故解得,故球的体积为:.故选:D.【一隅三反】1.(2022·全国·高三专题练习)已知在三棱锥中,平面,则三棱锥的外接球的表面积是(       A B C D【答案】A
    【解析】中,由余弦定理得:外接圆半径,又平面三棱锥的外接球半径则三棱锥的外接球的表面积.故选:A.2.(2022·全国·高三专题练习)已知在三棱锥中,平面,则三棱锥外接球的表面积为(       A B C D【答案】C【解析】因平面平面,则,而,三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心,,则平面,取线段的中点,则球的球心在过E垂直于直线的垂面上,连,如图,则四边形是矩形,,因此,球的半径有:所以三棱锥外接球的表面积.故选:C
    3.(2023·山西大同·高三阶段练习)球内接直三棱柱,则球表面积为___________.【答案】【解析】设三角形ABC和三角形的外心分别为DE.可知其外接球的球心O是线段DE的中点,连结OCCD,设外接球的半径为R,三角形ABC的外接圆的半径r可得,由正弦定理得,而在三角形OCD中,可知,因此三棱柱外接球的表面积为故答案为:考点二 墙角模型【例2】2022·全国·高三专题练习)长方体的长,宽,高分别为31,其顶点都在球O的球面上,则球O的体积为(       A B C D【答案】A
    【解析】O的半径为体积.故选:A【一隅三反】1.(2022·全国·高三专题练习)已知四棱锥P-ABCD中,平面ABCD,底面ABCD是矩形,,若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为,则四棱锥P-ABCD的体积为(       A3 B2 C D1【答案】D【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,则,即由题意,易知,得,得,解得所以四棱锥P-ABCD的体积为故选:D2.(2022·全国·高三专题练习)已知三棱锥中,底面,则该三棱锥的外接球的体积为(       A B C D【答案】B【解析】解:如图所示,将三棱锥放在长、宽、高分别为的长方体中,则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球,所以外接球的直径
    该球的体积为.故选:B3.(2022·海原县)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,且平面,则球的表面积为___________.【答案】【解析】平面平面,则可将三棱锥放入如下图所示的长方体中,则长方体的外接球即为三棱锥的外接球,的半径的表面积.故答案为:.考点三 斗笠模型【例3】2023·全国·高三专题练习)已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形,则球的表面积等于(       A B C D【答案】B【解析】已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,是边长为的正三角形,如图所示:
    BC的中点D,点H为底面的中心,所以设外接球的半径为R,所以利用勾股定理可得,解得则球的表面积为故选:B.【一隅三反】12022·全国·高三专题练习)已知圆台的母线长为2,母线与轴的夹角为60°,且上、下底面的面积之比为14,则该圆台外接球的表面积为(       A B C D【答案】C【解析】圆台上、下底面的面积之比为14,则半径比为12,设圆台上、下底面半径为,因母线与轴的夹角为60°,可得圆台高为1,则设圆台外接球的半径为,球心到下底面的距离为,易得圆台两底面在球心同侧,则,且,解得,则该圆台外接球的表面积为.故选:C.
    2.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上,若该球的表面积为,则该正三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【解析】因为,所以正三棱锥外接球半径正三棱锥如图所示,设外接球圆心为,过向底面作垂线垂足为因为是正三棱锥,所以的中心,所以,又因为,所以所以解得所以递增,在递减,故当时,取最大值,.故答案为:.3.(2022·江西)正三棱锥PABC底面边长为2,MAB的中点,且PMPC,则三棱锥PABC外接球的体积为(   
    A. B. C. D.【答案】C【解析】由图,设,则,而因为PMPC,所以由勾股定理得解得由对称性可知:三棱锥PABC外接球的球心在三棱锥PABC的高PD上,假设为O点,则,因为,所以又由于点D是三角形ABC的外心,且三角形ABC为等边三角形,所以,在三角形ODC中,由勾股定理得,即, 解得所以三棱锥PABC外接球的体积为.故选:C考点四 麻花模型【例4】2022·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,,则三棱锥外接球的体积为(          A B C D【答案】C
    【解析】由题意,,将三棱锥放到长方体中,可得长方体的三条对角线分别为2设长方体的长、宽、高分别为解得所以三棱锥外接球的半径三棱锥外接球的体积.故选:C【一隅三反】1.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥中,,则三棱锥的外接球的表面积为(       A B C D【答案】A【解析】三棱锥中,构造长方体,使得面上的对角线长分别为45,则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径,如图,设长方体的棱长分别为,则,则因此三棱锥外接球的直径为,所以三棱锥外接球的表面积为故选:A2.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥A-BCD中,,二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2,则A-BCD的外接球的表面积是(       
     A12π B13π C D【答案】B【解析】如图1,取中点,连接,则,又平面,所以平面,所以又由,知为二面角的平面角,此角为钝角,所以所以因此四面体可以放置在一个长方体中,四面体的六条棱是长方体的六个面对角线,如图2此长方体的外接球就是四面体的外接球,设长方体的棱长分别为,解得所以外接球的直径为球表面积为故选:B
    考点五 L模型【例52022·全国·高三专题练习)在三棱锥中,平面平面,则该三棱锥外接球的表面积是(       A B C D【答案】B【解析】如图所示:其中DAB的中点,O外接圆的圆心,OCD上,且DAB的中点,平面平面ABC,平面平面平面ABC平面PABDADB平面PAB中,DAB的中点,O即为三棱锥外接球的球心,且外接球半径该三棱锥外接球的表面积
    故选:B【一隅三反】1(2022·江西高三)在三棱锥中,是等边三角形,平面平面,则三棱锥的外接球体积为(    A. B. C. D.【答案】C【解析】中,所以中点,则外心,又是等边三角形,所以而平面平面,平面平面平面,所以平面,所以的外心即中三棱锥外接球的球心,所以球半径,球体积为.故选:C.
    2.(2022·四川雅安市)在四面体ABCD中,已知平面平面,且,其外接球表面积为 (    A. B. C. D.【答案】B【解析】四面体ABCD中,取AB的中点E,连CEDE,如图:,则,有平面CDE所以平面CDE⊥平面ABC,平面CDE⊥平面ABD,令正△ABD中心为O2,正△ABC中心为O1在平面CDE内分别过O1O2作直线CEDE的垂线,两线交于点O,则有O1O⊥平面ABC,平面O2O⊥平面ABD由球的截面小圆性质知,四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上,即点O是球心,连OAO1AOA即为球O的半径,因平面平面,则,而即有四边形OO1EO2是正方形,则中,,则所求外接球的表面积.故选:B3.(2023·重庆九龙坡区)在三棱锥中,平面平面,则三棱锥
    的外接球的表面积为(    A. B. C. D.【答案】C【解析】如图,取中点中点,连接是等边三角形,则因为平面平面,平面平面平面,所以平面,又平面,所以平面,则因为,所以三棱锥的外接球的球心在上,设球心为,连接,设外接球半径为由已知在直角梯形中,所以球表面积为.故选:C.考点六 怀表模型【例62022·全国·高三专题练习)在边长为6的菱形ABCD中,,现将沿BD折起到的位置,当三棱锥的体积最大时,三棱锥的外接球的表面积为(       A60π B45π C30π D20π【答案】A【解析】当三棱锥的体积最大值时,平面平面,如图,的中点为,连接,则.
    分别为外接圆的圆心,为三棱锥的外接球的球心,上,上,且,平面平面.平面平面,平面平面平面平面,同理四边形为平行四边形平面平面,即四边形为矩形. 外接球半径 外接球的表面积为 故选:A.  【一隅三反】1.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥中,是边长为的等边三角形,,二面角150°,则三棱锥外接球的表面积是(       A BC D【答案】A【解析】如图,作平面ABC,垂足为E,连接BE,记,连接PD.
    由题意可得DAC的中点.中,DAC的中点,因为,所以,则.因为二面角150°,所以所以.因为是边长为的等边三角形,且DAC的中点,所以.外接圆的圆心,则.设三棱锥外接球的球心为O因为,所以O在平面ABC下方,连接OBOP,作,垂足为H.设三棱锥外接球的半径为,即,解得故三棱锥外接球的表面积是.故选:A.2.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥中,为等腰直角三角形,为正三角形,且二面角的平面角为,则三棱锥的外接球表面积为(       A B C D【答案】C
    【解析】如图所示,为直角三角形,又所以因为为正三角形,所以连接的中点,E中点,,所以为二面角的平面角所以因为为直角三角形,E中点,所以点的外接圆的圆心,G的中心,则G的外接圆圆心.过E作面的垂线,过G作面的垂线,设两垂线交于OO即为三棱锥的外接球球心.设交于点H,所以,.所以,故选:C.考点七 矩形模型【例7(2022·湖北襄阳市)若矩形ABCD的面积是4,沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积最小值为(    A. B. C. D.【答案】B【解析】因为球心到四个顶点的距两相等,所以球心在对角线上,且半径为
    设矩形的的长力x,宽为y,所以,由基本不等式知: ,当且仅当 ,即时,等号成立,,故选:B【一隅三反】1.(2022.江西)在矩形,沿对角线进行翻折,则三棱锥外接球的表面积为(    A. B. C. D.【答案】D【解析】因为在翻折过程中,始终不变,所以的中点到四点的距离始终相等,三棱锥外接球的直径为所以外接球的表面积为,故选:D2.(2022·天津河)将长、宽分别为的长方形沿对角线折成直二面角,得到四面体,则四面体的外接球的表面积为(    A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中点,连接,如下图所示:
    由题意因为的中点,所以,所以,为四面体的外接球的球心,且球的半径为因此,四面体的外接球的表面积为.故选:A.3.(2022·四川)中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中,称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中,,若,且顶点均在球上,则球的表面积为______.【答案】【解析】由题意可知:球为鳖臑的外接球,中点,连接,同理可知:与球的球心重合,球的半径
    的表面积.故答案为:.考点八 内切球【例82022·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,,若三棱锥的内切球的表面积为,则此三棱锥的体积为(       A B C D【答案】D【解析】连接,并延长交底面于点,连接,并延长交在三棱锥中,三棱锥是正四面体,的中心,平面三棱锥的内切球的表面积为,解得球的半径,则,解得
    此三棱锥的体积为.故选:D.【一隅三反】1.(2022·江西·高三阶段练习(理))在正三棱锥中,分别是的中点,且,则正三棱锥的内切球的表面积为(       A BC D【答案】D【解析】设点是点在底面上的射影,则平面平面所以,由三棱锥为正三棱锥可得,点为底面的中心,所以,又所以平面平面所以因为分别是的中点,所以,因为所以,又所以平面,又平面所以,又三棱锥是正三棱锥,所以三条侧棱两两互相垂直,因为所以所以所以该三棱锥的表面积
    设内切球的半径为,又该三棱锥的体积所以所以此内切球的表面积为.故选:D.2.(2022·全国·高三专题练习)在三棱锥中,平面,且,若球在三棱锥的内部且与四个面都相切(称球为三棱锥的内切球),则球的表面积为(       A B C D【答案】A【解析】解:因为平面平面平面平面所以所以平面,所以所以均为直角三角形,设球的半径为r,则所以,解得所以球的表面积为故选:A.
    3.(2022黑龙江)如图,在四棱锥中,是正方形的中心,底面,则四棱锥内切球的体积为(    A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形,侧棱长都为,连接.底面. .设四棱锥的内切球的半径为,球心为,解得故四棱锥内切球的体积为.故选:B.  

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