备战高考2024年数学第一轮专题复习1.3 复数（精讲）（提升版）（解析版）

这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习1.3 复数（精讲）（提升版）（解析版），共19页。试卷主要包含了复数的基本知识，复数的模长，复数与其他知识的综合运用，解复数的方程等内容，欢迎下载使用。
1.3 复数（精讲）（提升版）
   
考点一 复数的基本知识【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知复数，则下列说法正确的是（　　）A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【解析】∵，∴ z的虚部为4,  z的共轭复数为1﹣4i，|z|，z在复平面内对应的点在第一象限.故选：B【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若复数，其共轭复数为，则（       ）A．的虚部为 B．C．在复平面上对应的点在第四象限 D．【答案】D【解析】因为复数，所以，z的虚部为，，对应点在第一象限，，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习（多选））已知复数，则（       ）A． B．
C．若，则， D．的虚部是【答案】BC【解析】，，故不能推出，A不正确；由复数模的定义，故B正确；根据复数相等知，时，正确，故C正确；由虚部的定义知，的虚部是y,故D不正确.故选：BC3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数，其中是虚数单位，，下列选项中正确的是（       ）A．若是纯虚数，则这个纯虚数为B．若为实数，则C．若在复平面内对应的点在第一象限，则D．当时，【答案】D【解析】，对于A：当是纯虚数时，则且，解得，此时这个纯虚数为，故A不正确；对于B：当为实数时，则，解得，故B不正确；对于C：当在复平面内对应的点在第一象限，则，解得，故C不正确；对于D：当时，，所以，故D正确，故选：D. 考点二 复数的模长 【例2-1】（2022·湖南·高一期中）已知复数，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，得，解得或.故“”是“”的必要不充分条件.故选：C【例2-2】（2022·福建宁德·模拟预测）若，则的值为（       ）
A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】因为，所以，故设，则，所以.故选：D【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最大值为（       ）A．1 B．2 C．5 D．6【答案】C【解析】设.则表示复平面点到点的距离为3.则的最大值为点到的距离加上3.即.故选：C.【例2-4】（2022·全国·高三专题练习）若复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点(x，y)满足方程（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，代入得：. 故选：B【一隅三反】1．（2022·河南·模拟预测（理））已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（       ）A．1 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】设，则，由，得，即，所以所对应的点的轨迹是以为圆心为半径的圆，因为为z的共轭复数，所以即，
而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以.故选：C.2（2022·重庆·高三阶段练习）已知复数z满足，复数z的共轭复数为，则的最大值为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】令，，则表示与距离为1的点集，即，此时，表示圆上点到原点距离，所以的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，所以圆上点到原点的最大为2.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】设z＝x+yi(x，y∈R)，由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，而|CO|＝，|CA|＝，易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，故选：D．     考点三  复数的几何意义【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设复数z满足，且在复平面内z
对应的点位于第一象限，则z=（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】把四个选项一一代入验证：对于A：z=，则有，.故A错误；对于B：z=，则有，.故B正确；对于C：z=，则有，.故C错误；对于D：z=，则有，.故D错误；故选：B【例3-2】（2022·山东潍坊·模拟预测）（多选）已知复数z满足，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（            ）A．复数z的虚部为 B．C． D．复数z的共轭复数为【答案】BC【解析】设复数.因为，且复数z对应的点在第一象限，所以，解得：，即.对于A：复数z的虚部为.故A错误；对于B：.故B正确；
对于C：因为，所以.故C正确；对于D：复数z的共轭复数为.故D错误.故选：BC【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】.所以复数对应的点在第四象限，故选：D2．（2022·河南新乡·高二期中（理））若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（       ）A．不可能为纯虚数B．在复平面内对应的点可能位于第二象限C．在复平面内对应的点一定位于第三象限D．在复平面内对应的点可能位于第四象限【答案】D【解析】由为第二象限，其对应辐角范围为，所以对应辐角为，故在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.所以A、B、C错误，D正确.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：；       乙：；丙：；       丁：．如果只有一个假命题，则该命题是（       ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B
【解析】设，由于对应点在第二象限，所以，，，，.甲，乙，丙，丁，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.故选：B考点四 复数与其他知识的综合运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，则复数的虚部为（       ）A． B． C．1010 D．1011【答案】B【解析】因为，所以，相减得，所以，虚部为．故选：B．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，复平面内点A和点B的坐标分别为，，设点C的坐标为 所以，根据得，计算得所以点C对应的复数为，其共轭复数为，选项C正确.故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，是复数，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设，,当，即时， ，所以取，，,,则满足，但显然不满足所以“”是“”的充分不必要条件故选：A3．（2022·河南商丘）定义函数，若（i为虚数单位），则的展开式中系数最大项为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知，两边取模，得，所以n＝10．二项式的展开式的通项为，因为n＝10，则．令第r＋1项的系数最大，则，即，解得，因为，所以r＝3，所以，故系数最大的项为．故选：C．考点五 解复数的方程【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知方程有两个虚根，若，则
的值是（        ）A．或 B． C． D．【答案】C【解析】由已知方程有两个虚根，因此方程判别式小于0，即.,设由韦达定理可知所以, 即,   即,   所以 所以故答案为：C【一隅三反】1．（2022·重庆八中模拟预测）若虚数单位是关于x的方程的一个根，则（       ）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【解析】由题，是方程的一个根，所以，即，则，所以，即，所以，选：B2．（2022·山东枣庄·一模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由方程得，由求根公式得，不妨设，.，A错误；，B错误；
，C错误；，D正确.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】设,因为,所以,所以将代入方程整理，因为关于的方程有实根，所以所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.综上，或.故这样的复数的个数为个.故选：C考点六  综合运用【例6】（2022·河北·石家庄二中）（多选）下列四个命题中，真命题为（       ）A．若复数满足，则 B．若复数满足，则C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则【答案】AB【解析】对选项A，若复数，设，其中，则，则选项A正确；对选项B，若设，其中，且，则，则选项B正确；对选项C，若，设，则，但，则选项C错误；
对选项D，若复数，满足，设，，则，而，则选项D错误.故选：AB.【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，，故B错误；，故A正确；，故C正确；，，，，，故D错误.故选：AC.2．（2022·福建泉州·模拟预测）（多选）设为复数，则下列命题正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或【答案】AD【解析】对于A，设，，则，，即，，A正确；
对于B，令，，则，此时，B错误；对于C，令，，则，此时，C错误；对于D，设，，则，，即，则；若，则成立，此时；若，，由知：；由知：；此时；同理可知：当，时，；若，，由得：，，此时；综上所述：若，则或，D正确.故选：AD.3．（2022·山东青岛·高三期末）（多选）已知复数，为虚数单位，，则下列正确的为（       ）A．若z是实数，则 B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上C． D．若，则【答案】BC【解析】选项A：由复数是实数可知，解之得.选项A判断错误；选项B：复数在复平面内对应点，其坐标满足方程，即点位于抛物线上. 判断正确；选项C：由，可得.判断正确；选项D： 即
可得，解之得.选项D判断错误.故选：BC