初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆课时作业

这是一份初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆课时作业，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第24章圆培优卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在△ABC中，O为外心，∠A=92°，则∠BOC的度数为（       ）
A．88° B．92° C．184° D．176°
2．如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（    ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
3．如图，在□ABCD中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点F;②分别以点F，B为圆心大于FB的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点G;③作射线AG，交边BC于点E，连接EF．若AB=5，BF=8，则四边形ABEF的面积为（  ）

A．12 B．20 C．24 D．48
4．两圆的半径分别为2和3，若圆心距为5，则这两圆的位置关系是
A．相交 B．外离 C．外切 D．内切
5．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD 的度数是（    ）

A．60° B．70° C．80° D．45°
7．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为（ ）

A．1 B．－3 C．4 D．1或－3
9．如图，已知 M（0，2），A（2，0），以点 M 为圆心，MA 为半径作⊙M，与 x 轴的另一个交点为 B， 点 C 是⊙M 上的一个动点，连接 BC，AC，点 D 是 AC 的中点，连接 OD．给出 4 个说法：①BC＝2OD；②∠ODA＝45°；③当线段 OD 取得最大值时，点 D 的坐标为（1，1＋）；④当点 C 在上运动时，点 D 的运动路径为．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．如图，的半径为1，弦在圆心的两侧，求上有动点于点，当点从点运动到点时，则点所经过的路径长为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R= ．

12．平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为 ．
13．如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，，则AC＝ ．

14．如图，⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠BOD＝160°则∠DCE＝ ．

15．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PA=OA，阴影部分的面积为6π，则⊙O的半径长为 ．

16．如图，点A在双曲线y＝（k＜0）上，连接OA，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，直线DE交x轴于点B，交y轴于点C(0，3)，连接AB．若AB＝1，则k的值为 ．

17．如图、在正六边形中，连接线，，，，，与交于点，与交于点为，与交于点，分别延长，于点，设．有以下结论：①；②；③的重心、内心及外心均是点；④四边形绕点逆时针旋转与四边形重合．则所有正确结论的序号是 ．

18．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE=4ED，BE的中垂线分别交BE，BC的延长线于点H，N．且BC=CN，⊙C为△BNH的外接圆，CFBE，交⊙C于点F，FM⊥AB于点M（FM＜BC），若FM=20，则tan∠AEB= ；矩形ABCD的周长为 ．


三、解答题
19．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
(1)如图，已知点M.N和∠AOB，求作一点P，使P到点M.N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．

(2)要在河边修建一个水泵站，分别向张村.李庄送水（如图）． 修在河边l什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置．

20．（1）尺规作图：如图1，求作一点P，是点P到∠AOB的两边距离相等，且到M、N两点的距离也相等；

（2）如图2，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB＝∠APD．

21．一个长方形的长与宽之比为5：3，它的对角线长为cm，求这个长方形的长与宽（结果保留2个有效数字）．
22．已知：AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD=2．

（1）求BC的长；
（2）延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
23．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．

（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数．)
24．如图，锐角三角形ABC内接于圆O，过圆心O且垂直于半径OA的直线分别交AB、AC于点E、F．设圆O在B、C两点处的切线交于点P．
证明：直线AP平分线段EF．

25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．

参考答案：
1．D
【分析】运用三角形外心的有关知识，及外接圆的圆心，360°-∠BOC的度数为∠A的2倍．
【详解】解：如图，

∵点O为△ABC的外心，∠A=92°，
∴360°-∠BOC=2∠A=184°．
∴∠BOC的度数为：176°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形外心的有关知识，即同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠A=（360°-∠BOC）=92°，题目比较简单．熟练运用圆周角定理计算，即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．D
【分析】由两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【详解】∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，
又∵6-2=4，4＞3，
∴这两个圆的位置关系是内含．
故选D．
3．C
【分析】如图，设AE交BF于点O．证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可得出AE, 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
【详解】解：如图，设AE交BF于点O．

由作图可知：AB=AF，AE⊥BF，
∴OB=OF，∠BAE=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=AF，∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA=OE，OB=OF=4，
在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，

∴AE=2OA=6．
∴菱形ABEF的面积=×8×6=24
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．C
【分析】当圆心距=两圆半径和时，两圆外切，据此可解．
【详解】解：∵r=2， R=3
∴d=r+R=2+3=5
∴两圆外切
故选：C.
【点睛】本题考查圆心距与两圆半径的关系，熟知两圆的半径与圆心距的和与差跟两圆的位置关系是解题关键．
5．D
【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠DAC=∠B，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对B进行判定；利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判定．
【详解】解：A、因为∠ADC=∠BDA，∠ACD=∠DAB，所以△DAC∽△DBA，
所以A选项添加的条件正确；
B、由AD=DE得∠DAC=∠E，而∠B=∠E，所以∠DAC=∠B，加上∠ADC=∠BDA，
所以△DAC∽△DBA，所以B选项添加的条件正确；
C、由AD2=DB•CD，即AD：DB=DC：DA，加上∠ADC=∠BDA，
所以△DAC∽△DBA，所以C选项添加的条件正确；
D、由AD•AB=AC•BD得，而不能确定∠ABD=∠DAC，
即不能确定点D为弧AE的中点，所以不能判定△DAC∽△DBA，
所以D选项添加的条件错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键.
6．B
【分析】设四个切点分别为E、F、G、H，分别连接切点和圆心，利用切线性质和HL定理可以得到4对全等三角形，进而可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，根据8个角之和为360°即可求解．
【详解】解：设四个切点分别为E、F、G、H，分别连接切点和圆心，
则OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD，OE=OF=OG=OH，
在Rt△BEO和△BFO中，
，
∴Rt△BEO≌△BFO（HL）
∴∠1=∠2，
同理可得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，
∴∠1+∠8=∠2+∠7，∠4+∠5=∠3+∠6，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，
∴∠1+∠8+∠4+∠5=180°，
即∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=110°，
∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣110°=70°，
故选：B．

【点睛】本题考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质，利用圆的的切线性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
7．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
8．D
【详解】设C（x，y）．根据矩形的性质、点A的坐标分别求出B（﹣2，y）、D（x，﹣2）；根据“矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点”及直线AB的几何意义知k=，k=，即：=，求得xy=4①，又点C在反比例函数的图象上，所以将点C的坐标代入其中求得xy=k2+2k+1②；联立①②解关于k的一元二次方程，求得k=1或－3．
故选D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质的应用，一次函数的解析式的求法．
9．B
【分析】根据三角形中位线定理、圆周角定理和等腰三角形的性质求解即可；
【详解】解：（1）由圆的对称性可知OB＝OA，
为的中点，
,故①正确；
（2）连接BM、AM，

M（0，2），A（2，0），以点 M 为圆心，MA 为半径作⊙M，

∴∠BCA＝45°，由OD//BC可得∠ODA＝45°，故②正确；
（3）
最大，即最大，
当为的直径时最大，




为的中点，
故③错误；
（4） 当点 C 在上运动时，点D在以为直径的⊙E上的上运动，
连接AE，如（2）中图，可得∠OEA＝90°，
由△ODA是等腰直角三角形及OA＝2可得OE＝，
则点D的运动路径长＝，故④正确
综上所述，正确的结论是①②④，
故选B
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形中位线定理和等腰三角形的性质，准确分析判断是解题的关键．
10．D
【分析】如详解中图，连接OA，OB，作OH⊥BC于H，AQ⊥BC于Q，取AB的中点K，连接KQ．点E的运动轨迹是图中的弧线，先求出∠ABC=75°，再通过KB=KQ，求得∠KBQ=∠KQB=75°，则圆心角∠AKQ=∠KBQ+∠KQB=150°，即可求弧长：点E所经过的路径长= ．
【详解】解：如图，连接OA，OB，作OH⊥BC于H，AQ⊥BC于Q，取AB的中点K，连接KQ．

∵OH⊥BC，
∴BH=CH= ，
∴cos∠OBH=，
∴∠OBH=30°，
∵AB=，OA=OB=1，
∴AB2=OA2+OB2，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴∠ABC=75°，
∵∠AQB=90°，AK=KB，
∴KB=KQ，
∴∠KBQ=∠KQB=75°，
∴∠AKQ=∠KBQ+∠KQB=150°，
∵点E的运动轨迹是图中的弧，
∴点E所经过的路径长= ．
故选D．
【点睛】本题考查轨迹，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11．
【分析】通过∠ABC=45°，可得出∠AOC=90°，根据OA=OC就可以结合勾股定理求出AC的长了．
【详解】∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=90°，
∴OA2+OC2=AC2．
∴OA2+OA2=（2）2．
∴OA=．
故⊙O的半径为．
故答案为：．
12．90°
【分析】利用平行四边形的性质可知平行四边形的邻角互补，所以，所以可求出．
【详解】中，AD，BD分别为∠BAD，∠ABC的角平分线相交于O，

∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又∵AO，BO分别为∠BAD，∠ABC的角平分线，
∴∠BAO=∠DAO=∠BAD，∠ABO=∠CBO=∠ABC，
∴在△AOB中，∠AOB=180°−(∠BAO+∠ABO)
=180°− (∠BAD+∠ABC)
=180°−×180°
=90°
故答案为90°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，只要熟知平行四边形的性质与三角形的内角和定理即可解答．
13．
【分析】连接OA、OC，构造等腰直角三角形求得AC的长即可．
【详解】解：如图，连接OA，OC，
∵∠D=45°，
∴∠AOC=90°，
∵半径OA=OC=4，
∴AC=
故答案为：

【点睛】本题考查的是圆周角定理，勾股定理的应用，熟知圆周角定理是解答此题的关键．
14．80°/80度
【分析】先根据同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠BOD=160°，
∴∠A=∠BOD=80°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD+∠A=180°．
∴∠BCD=100°．
∴∠DCE=180°-∠BCD=80°．
故答案为80°．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
15．3
【分析】连接OP，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，根据已知条件得到∠POA＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OP，

∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠PAO=90°，    
∵PA=OA，
∴tan∠POA==，
∴∠POA=60°，
∴∠AOB=120°，
∵阴影部分的面积为6π，
∴=6π，
∴OA=3，
∴⊙O的半径长为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积公式，三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16．﹣．
【分析】BC交OA于H，如图，利用基本作图得到CB垂直平分OA，则BO＝BA＝1，AH＝OH，在Rt△OCB中先利用勾股定理计算出CB，再利用面积法计算出OH＝，则OA＝，设A（m，n），根据•两点间的距离公式得到（m+1）2+n2＝12，m2+n2＝（）2，解关于m、n的方程组得到A，然后利用反比例函数图像上点的坐标特征求k的值．
【详解】BC交OA于H，如图，

由作法得CB垂直平分OA，
∴BO＝BA＝1，AH＝OH，∠OBH＝90°，
∴B（﹣1，0），
在Rt△OCB中，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
∴CB＝＝，
∵×OH×BC＝×OB×OC，
∴OH＝，
∴OA＝2OH＝，
设A（m，n），则（m+1）2+n2＝12，m2+n2＝（）2，
解得m＝，n＝，
∴A ，
把A代入得k＝．
故答案为．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，反比例函数图像上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．①②③
【分析】由题意易得，，则有，进而可得，则有四边形是矩形，然后可得，为等边三角形，最后可得答案．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，
，
∴在△DEF中，，
∴，
同理可得，
∴四边形是矩形，
同理可证四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴（ASA），
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴∠NAM=60°，
∴△NAM是等边三角形，
∴AM=MN，
∵AB=3，
∴，
∴，
∵∠MAB=30°，∠ACG=90°，
∴∠G=60°，
∴△ADG是等边三角形，
∵AC与BD交于点M，
∴由等边三角形的性质及重心、内心、外心可得：的重心、内心及外心均是点，
连接OF，如图所示：

易得∠FOA=60°，
∴四边形绕点逆时针旋转与四边形重合，
∴综上所述：正确结论的序号是①②③；
故答案为①②③．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的重心、内心、外心及三角函数，熟练掌握正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的重心、内心、外心及三角函数是解题的关键．
18． 2
【分析】过E作EG⊥BC，FK⊥BC，连接EN，设ED=k，则AE=4K，求出BC =5k，BN=10k，NG= =6k，根据NH是BE的垂直平分线，得到EN=BN=10k，利用勾股定理得到AB=EG=8k，根据tan∠AEB=即可求解；根据平行的性质得到∠FCG=∠AEB，再得到FK=2（5k-20），根据勾股定理得到CF2=CK2+FK2，得到关于k的方程求出k，即可求出ABCD的周长．
【详解】解：如图，过E作EG⊥BC，FK⊥BC，连接EN，

设ED=k，则AE=4K，
∴BC=AD=AE+ED=5k，BN=2BC=10k，
∴NG=NC+CG=5k+k=6k，
∵NH是BE的垂直平分线，
∴EN=BN=10k，
，
∴tan∠AEB=，
∵AEBC，∴∠AEB=∠CBE，
∵CFBE，∴∠GCF=∠CBE，
∴∠FCG=∠AEB，
∵CF=BC=5k，CK=BC-BK=BC-FM=5k-20，
∵tan∠FCG=tan∠AEB==2，
∴FK=2（5k-20），
∵CF2=CK2+FK2，
∴25k2=5（5k-20）2，
解得k=5＋，或5-（舍），
∴ABCD的周长=2（AD+AB）=26k=130+26，
故答案为：2；130+26．
【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的性质、矩形的性质、三角函数的定义及勾股定理的运用．
19．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据题意可知只要作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，然后找到这两条线的交点即为所求；
（2）作B点关于小河的对称点B′，连接B′A与小河的交点C，点C就是所求．
【详解】解：（1）如图所示：作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，这两条线的交点即为所求P点
．
（2）作点B关于河岸的对称点B′，连接B′A，交河岸于点C，CA+CB=AB′的长度之和最短，则修在河边l的点C处，可使所用水管最短．

【点睛】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称与最短路线问题，熟练掌握相关性质是解题关键．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作线段MN的垂直平分线EF，∠AOB的角平分线OT，OT交EF于点P，点P即为所求．
（2）作点D关于AC的对称点D′，作直线BD交AC于点P，连接PD，点P即为所求．
【详解】解：（1）如图1中，点P即为所求．
（2）如图2中，点P即为所求．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．长为7.1cm，宽为4.2cm．
【分析】一个长方形的长与宽之比为5：3，设长为5xcm，则宽为3xcm，根据对角线长，用勾股定理即可列出方程，求出长方形的长和宽，再进行估算．
【详解】解：设长为5xcm，则宽为3xcm，用勾股定理得（5x）2+（3x）2=（）2，
∴25x2+9x2=68，
∴34x2=68，
∴x2=2，即x=或x=（舍去），
∴长为5×≈7.1（cm），宽为3×≈4.2（cm）
答：长方形的长为7.1cm，宽为4.2cm．
【点睛】根据长形的对角线与直角边构成直角三角形，利用勾股定理化为求一元二次方程的解的问题，求解舍去不符合条件的解即可．
22．（1）BC=；（2）EG=
【分析】（1）过点D作DF⊥BC于点F，由切线长定理可得DE＝AD＝2，CE＝BC，设BC＝x，由在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2，即可得方程（2＋x）2＝（x−2）2＋（2）2，解此方程即可求得答案；
（2）易证得△ADE∽△FEC，由相似三角形的对应边成比例，可得AE：EG＝4：5，由勾股定理即可求得AG的长，继而求得答案．
【详解】解：（1）过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，
∴DF=AB=2，BF=AD=2，
∵DE与⊙O相切，
∴DE=AD=2，CE=BC，
设BC=x，
则CF=BC﹣BF=x﹣2，DC=DE+CE=2+x，
在Rt△DCF中，DC2=CF2+DF2，
即（2+x）2=（x﹣2）2+（2）2，
解得：x=，
即BC=；
（2）∵AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，
∴ADBC，
∴△ADE∽△GCE，
∴AD：CG=DE：CE，AE：EG=AD：CG，
∵AD=DE=2，
∴CG=CE=BC=，
∴BG=BC+CG=5，
∴AE：EG=4：5，
在Rt△ABG中，AG==3，
∴EG=AG=．

【点睛】此题考查了切线的性质与判定、切线长定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
23．（1）证明见解析；（2）11.3
【详解】分析：（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；
    （2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．
详解：（1）连接OC．
∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD．
    ∵点C是的中点，∴∠DAC=∠EAC．
    ∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；
    （2）∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=3==π，∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．
    
点睛：本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．
24．见解析
【分析】过P作EF的平行线，分别交AB，AC的延长线于点M，N，证明AP平分线段MN，根据相似三角形的性质即可证明直线AP平分线段EF．
【详解】证明：连接OB，过P作EF的平行线MN，分别交AB，AC的延长线于点M，N，则∠PMB＝∠AEO＝90°−∠OAE，
∵O是△ABC的外心，
∴∠OAE＝ (180°−∠AOB)＝90°−∠ACB，
∴∠PMB＝∠ACB，
∵PB是圆O的切线，
∴∠OBP=90°
∴∠MBP+∠ABO=90°
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB=180°，∠ABO=∠BAO
∴∠ABO+∠AOB=90°
∵∠ACB=∠AOB
∴∠ABO+∠ACB=90°
∴∠PBM＝∠ACB，
∴∠PMB＝∠PBM，
∴PM＝PB．
同理PN＝PC，
∵PB＝PC，
∴PM＝PN，
∴AP平分线段MN，
设AP与EF交于H点
∵EFMN，
∴△AEH∽△AMP，△AHF∽△APN，
∴，
∴
∵PM＝PN，
∴
∴直线AP平分线段EF．

【点睛】本题考查圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质，考查直线AP平分线段EF，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
25．（1）见解析；（2）DF＝2．
【分析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ADO，
∴∠1＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过O，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，CD＝BD，
∵CD＝BF，
∴BF＝BD，
∴∠3＝∠F，
∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠4＝2∠3，
∵∠ODF＝90°，
∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠F，
∴DF＝AD，
∵∠1＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2ED，
∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，
∴AD＝2，
∴DF＝2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．