浙江省宁波市北仑区五校联考2020-2021学年八年级上学期期中数学试卷

2020-2021学年浙江省宁波市北仑区五校联考八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．（4分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是　　

A．7，3，4 B．5，6，12 C．3，4，5 D．1，2，3

2．（4分）下列图形中，对称轴最多的是　　

A．等腰三角形 B．等边三角形 

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

3．（4分）若，则下列各式中一定成立的是　　

A． B． C． D．

4．（4分）下列命题中，逆命题不正确的是　　

A．两直线平行，同旁内角互补 

B．直角三角形的两个锐角互余 

C．全等三角形对应角相等 

D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

5．（4分）如图，用直尺和圆规作已知角的角平分线，要证明成立的的判定依据是　　

A． B． C． D．

6．（4分）不等式的解为　　

A． B． C． D．

7．（4分）在中，，，，则　　

A． B． C． D．

8．（4分）如图，已知，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．

9．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　

A． B． 

C． D．

10．（4分）如图，在中，，，平分交于，于，下列结论：①；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确的个数有　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

11．（4分）如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为　　

A． B． C． D．无法确定

12．（4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出　　

A．直角三角形的面积 

B．最大正方形的面积 

C．较小两个正方形重叠部分的面积 

D．最大正方形与直角三角形的面积和

二、填空题（每小题4分，共32分）

13．（4分）要使代数式的值为负数，则取值范围是 　　．

14．（4分）在直角三角形中，两直角边分别为6和8，则第三边上中线长是　　．

15．（4分）如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 　　．

16．（4分）如图，已知，要证，还需添加的条件是　 　．

17．（4分）如图，于点，于点，点为线段上任意一点，若，，，则的最小值是 　　．

18．（4分）如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则　　．

19．（4分）已知三个连续自然数之和小于20，则这样的自然数共有　 　组．

20．（4分）如图，在正方形中，边绕点顺时针旋转角度，得到线段，连接，．当是等腰三角形时，的值为 　　（所有可能）．

三、解答题（本大题有8小题，共78分）

21．（12分）（1）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来．

（2）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解．

22．（10分）已知：线段，，利用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法．

（1）求作：线段的垂直平分线．

（2）求作：，使，．

23．（10分）如图，四边形中，，，、分别为、的中点，连接、．

（1）与相等吗？请说明理由；

（2）求证：．

24．（12分）如图，，，，，，请你连结．

（1）计算的长．

（2）判断的形状并说明理由．

（3）计算四边形的面积．

25．（12分）如图，是等边三角形内的一点，连结，，，以为边作，且，连结．

（1）观察并猜想与之间的大小关系，并说明理由．

（2）若，，求证：．

26．（14分）阅读下列材料：

解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：

解：，又，，即

又，．①

同理得：．②

由①②得，的取值范围是．

请按照上述方法，完成下列问题：

已知关于、的方程组的解都为非负数．

（1）求的取值范围；

（2）已知，求的取值范围；

（3）已知是大于1的常数），且，求最大值．（用含的代数式表示）

2020-2021学年浙江省宁波市北仑区五校联考八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．（4分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是　　

A．7，3，4 B．5，6，12 C．3，4，5 D．1，2，3

【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．

【解答】解：、，不能构成三角形，故此选项错误；

、，不能构成三角形，故此选项错误；

、，能构成三角形，故此选项正确；

、，不能构成三角形，故此选项错误；

故选：．

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

2．（4分）下列图形中，对称轴最多的是　　

A．等腰三角形 B．等边三角形 

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【分析】根据轴对称图形的对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．

【解答】解：、等腰三角形的对称轴有1条；

、等边三角形有3条对称轴；

、直角三角形不一定有对称轴；

、等腰直角三角形的对称轴有1条；

综上所述，对称轴最多的是等边三角形．

故选：．

【点评】考查了轴对称图形的对称轴的概念，能够正确找到各个图形的对称轴．

3．（4分）若，则下列各式中一定成立的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据不等式的性质即可求出答案．

【解答】解：、不等式的两边都减去2，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；

、若，则，原变形错误，故此选项不符合题意；

、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；

、不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意．

故选：．

【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的性质，本题属于基础题型．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

4．（4分）下列命题中，逆命题不正确的是　　

A．两直线平行，同旁内角互补 

B．直角三角形的两个锐角互余 

C．全等三角形对应角相等 

D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

【分析】分别找出各命题的题设和结论，再将其互换即可，即可得出逆命题，最后对逆命题进行判断，即可得出答案．

【解答】解：、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确；

、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确；

、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误；

、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形，正确；

故选：．

【点评】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，关键是能够对逆命题进行判断．

5．（4分）如图，用直尺和圆规作已知角的角平分线，要证明成立的的判定依据是　　

A． B． C． D．

【分析】根据证明，即可推出．

【解答】解：在和中，

，

，

．

故选：．

【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

6．（4分）不等式的解为　　

A． B． C． D．

【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．

【解答】解：，

去分母，得，

移项，得，

合并同类项，得，

系数化成1，得，

故选：．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．

7．（4分）在中，，，，则　　

A． B． C． D．

【分析】由在中，，，，利用勾股定理的逆定理即可判定是直角三角形．

【解答】解：在中，，，，

，

是直角三角形，且，

故选：．

【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用．关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．

8．（4分）如图，已知，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可．

【解答】解：，，

，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．

9．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据不等式组的解集即可在数轴上表示出来．

【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是选项．

故选：．

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解决本题的关键是用数轴表示不等式组的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

10．（4分）如图，在中，，，平分交于，于，下列结论：①；②点在线段的垂直平分线上；③；④，其中正确的个数有　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【分析】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可．

【解答】解：，，

，，

平分，

，

，

，

，①正确；

，

点在线段的垂直平分线上，②正确；

，，

，

，

，

，③正确；

，，

，

同法,

,④错误，

故选：．

【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．

11．（4分）如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为　　

A． B． C． D．无法确定

【分析】过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据平行线间的距离的定义解答即可．

【解答】解：如图，过点作于，作于，

、分别平分和，，

，

与之间的距离，

故选：．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．

12．（4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出　　

A．直角三角形的面积 

B．最大正方形的面积 

C．较小两个正方形重叠部分的面积 

D．最大正方形与直角三角形的面积和

【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．

【解答】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，

由勾股定理得，，

阴影部分的面积，

较小两个正方形重叠部分的宽，长，

则较小两个正方形重叠部分底面积，

知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，

故选：．

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．

二、填空题（每小题4分，共32分）

13．（4分）要使代数式的值为负数，则取值范围是 　　．

【分析】先根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可．

【解答】解：代数式的值为负数，

，

解得．

故答案为：．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键．

14．（4分）在直角三角形中，两直角边分别为6和8，则第三边上中线长是　5　．

【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题．

【解答】解：已知直角三角形的两直角边为6、8，

则斜边长为，

故斜边的中线长为，

故答案是：5．

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键．

15．（4分）如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 　50　．

【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．

【解答】解：，，，，

，，，，

，

，

，

．

故答案为：50．

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．

16．（4分）如图，已知，要证，还需添加的条件是　　．

【分析】要使，由于是公共边，若补充一组边相等，则可用判定其全等，此题是一道开放型题目，答案不唯一．

【解答】解：添加条件是，

理由是：在和中

，

故答案为：．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．

17．（4分）如图，于点，于点，点为线段上任意一点，若，，，则的最小值是 　13　．

【分析】过点作交的延长线于，连接．证明四边形是矩形，利用勾股定理求出即可解决问题．

【解答】解：过点作交的延长线于，连接．

，，，

，

四边形是矩形，

，，

，

，

，

，

的最小值为13．

故答案为13．

【点评】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，熟练掌握两点之间线段最短的应用是解题的关键．

18．（4分）如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则　90　．

【分析】证明，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．

【解答】解：在和中，

，

，

，

，

，

，

故答案为：90．

【点评】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．

19．（4分）已知三个连续自然数之和小于20，则这样的自然数共有　6　组．

【分析】设中间自然数为，则，，解不等式，然后找出符合题意的自然数．

【解答】解：设中间自然数为，

由题意得，，

解得：，

符合题意的中间自然数有6个，即这样的自然数共有6组．

故答案为：6．

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解．

20．（4分）如图，在正方形中，边绕点顺时针旋转角度，得到线段，连接，．当是等腰三角形时，的值为 　或或或或　（所有可能）．

【分析】由旋转的性质分别画出或或或或时的图形，根据图形即可得到答案．

【解答】解：如图1，当时，

，是等腰三角形；

如图2，当时，

，是等腰三角形；

如图3，当时，点与点重合，

，是等腰三角形；

如图4，当时，

，是等腰三角形；

如图5，当时，

，是等腰三角形；

综上所述，的值为或或或或，

故答案为或或或或．

【点评】本题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质的知识，解答本题的关键是进行分类讨论求的值．

三、解答题（本大题有8小题，共78分）

21．（12分）（1）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来．

（2）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解．

【分析】（1）不等式去括号，移项合并，把系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出整数解即可．

【解答】解：（1），

，

，

，

解得；

（2），

由①式解得，

由②式解得，

不等式组的解集为：，

不等式组的整数解为．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．（10分）已知：线段，，利用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法．

（1）求作：线段的垂直平分线．

（2）求作：，使，．

【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可．

（2）作，在射线，上分别截取，连接，即为所求．

【解答】解：（1）如图，直线即为所求．

（2）如图，即为所求．

【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

23．（10分）如图，四边形中，，，、分别为、的中点，连接、．

（1）与相等吗？请说明理由；

（2）求证：．

【分析】（1）结论，只要证明即可．

（2）欲证明，只要证明或即可．

【解答】解：（1）与相等，

理由如下：连接，

在和中，

，

，

；

（2）点与分别是、的中点，

，，

，

，

，

，

在和中，

，

，

．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据条件证得和．

24．（12分）如图，，，，，，请你连结．

（1）计算的长．

（2）判断的形状并说明理由．

（3）计算四边形的面积．

【分析】（1）根据勾股定理得出即可；

（2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可；

（3）根据三角形的面积公式解答即可．

【解答】解：（1）

，，，

，

（2），，，

，，

，

是直角三角形，

，

在中，，

在中，，

．

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键．

25．（12分）如图，是等边三角形内的一点，连结，，，以为边作，且，连结．

（1）观察并猜想与之间的大小关系，并说明理由．

（2）若，，求证：．

【分析】（1）．根据等边三角形的性质可得出，，由，可得出，结合，可证出，根据全等三角形的性质可得出；

（2）连接，由，可得出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，，进而可得出．

【解答】解：（1）等边三角形，

，，

，

，

在和中，

，

，

；

（2）连接，

，，

，

，，

是等边三角形，

，

，

，

．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理证出；（2）得出．

26．（14分）阅读下列材料：

解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：

解：，又，，即

又，．①

同理得：．②

由①②得，的取值范围是．

请按照上述方法，完成下列问题：

已知关于、的方程组的解都为非负数．

（1）求的取值范围；

（2）已知，求的取值范围；

（3）已知是大于1的常数），且，求最大值．（用含的代数式表示）

【分析】（1）先把当作已知求出、的值，再根据、的取值范围得到关于的一元一次不等式组，求出的取值范围即可；

（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得、的取值范围，然后再来求的取值范围；

（3）根据（1）的解题过程求得、取值范围；结合限制性条件得出结论即可．

【解答】解：（1）因为关于、的方程组的解都为非负数，

解得：，

可得：，

解得：；

（2）由，

可得：，

可得：，

解得：，

所以；

（3），

所以，

可得：，

可得：，

同理可得：，

所以可得：，

最大值为．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．

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