2022-2023学年浙江省宁波市北仑区联考八年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年浙江省宁波市北仑区联考八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列四个手机图标中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，四个图形中，线段是的高的图是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若，则下列式子中，错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知等腰三角形中，，，则这个三角形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

5. 的三个内角，，满足：：：：，则这个三角形是(    )

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

6. 下列命题是真命题的是(    )

A. 相等的角是对顶角
B. 若实数，满足，则
C. 若实数，满足，，则
D. 两直线平行，内错角相等

7. 一副三角板如图所示摆放，则与的数量关系为(    )
    

A.
B.
C.
D.

8. 如图，和的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，在中，，，垂直平分，交于点，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图的中，，且为上一点．今打算在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲、乙两人的作法：
    甲连接，作的中垂线分别交、于点、点，则、两点即为所求
    乙过作与平行的直线交于点，过作与平行的直线交于点，则、两点即为所求
    对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？(    )

A. 两人皆正确 B. 两人皆错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 根据数量关系“是正数”，可列出不等式：______．
12. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是______．
13. 在中，，，则为______ 度
14. 如图，已知中，，平分，点是的中点，若，则的长为______．

15. 如图，中，，，，点为边上的动点，过点作于点，则的最小值为______．

16. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当 ______ 时，是以为腰的等腰三角形．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

17. 解不等式，并将解集在数轴上表示出来．
    ；
    ．
18. 如图，已知在中，，，，请在三角形的边上找一点，并过点和三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分成两个等腰三角形．要求两种不同的分法并写出每个等腰三角形的内角度数
     
19. 如图，在中，，平分，，，求：
    的度数；
    的度数．

20. 已知，如图，点、、、在同一直线上，，，
    
    求证：≌；
    当，求的度数．
21. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．
    是直角三角形吗？为什么？
    小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

22. 两种不同的方法证明已知，如图，在的边上，，，求证：．
    方法一：______；
    方法二：______．

23. 已知，如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点．
    求证：．
    若线段，，求线段的长．

24. 如图，，射线，且，点是线段不与点、重合上的动点，过点作交射线于点，连接．
    如图，若，，求的长．
    如图，若平分，
    试猜测和的数量关系，并说明理由；
    若的面积为，求四边形的面积．
    如图，
    已知点是网格中的格点，若三角形是以为底边的等腰三角形，那么这样的点共有______个；
    在网格中找出一个点，使得点到点，和点，的距离分别相等，请在网格中标注点保留作图痕迹
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：中的图形是轴对称图形，
故选C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后两侧部分可重合．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高．
【解答】
解：由图可得，线段是的高的图是选项．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，
，原变形正确，故本选项不符合题意；
B.，
，，原变形正确，故本选项不符合题意；
C.，
，原变形错误，故本选项符合题意；
D.，
，原变形正确，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质、不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质、不等式的两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质、不等式的两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为，底边长为时，
则这个三角形的周长；
当等腰三角形的腰长为，底边长为时，
，
不能组成三角形；
综上所述：这个三角形的周长为，
故选：．
分两种情况：当等腰三角形的腰长为，底边长为时，当等腰三角形的腰长为，底边长为时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况进行计算是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：：：：：，
设，则，，
，
解得：，
，
是锐角三角形，
故选：．
根据题意，设，则，，由三角形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，故不符合题意；
B、若实数，满足，则或，故不符合题意；
C、若实数，满足，，则，故不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，故符合题意；
故选：．
根据对顶角的性质，实数的性质，平行线的性质判断即可．
本题考查了对顶角的性质，实数的性质，平行线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了直角三角形的性质，对顶角相等，正确的识别图形是解题的关键．
根据四边形的内角和定理即可得到结论．
【解答】

解：如图，在四边形中，且，，

，
．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
同理，
．
故选：．
利用角平分线和平行可证得，，可得到，，可得到，即可得到结论．
本题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边是解题的关键，注意平行线的性质的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
．
．
．
，，
．
．
故选：．
由垂直平分，得欲求，可求由，得，那么根据含度角的直角三角形的性质，得，从而解决此题．
本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，垂直平分，
，，
而，
≌，所以甲正确；
如图，，，
四边形为平行四边形，
，，
而，
≌，所以乙正确．
故选：．
如图，根据线段垂直平分线的性质得到，，则根据“”可判断≌，则可对甲进行判断；
如图，根据平行四边形的判定方法先证明四边形为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到，，则根据“”可判断≌，则可对乙进行判断．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
故答案为：．
根据为正数用“”表示．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
 

12.【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形 

【解析】

【分析】
本题考查了原命题与逆命题，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此进行解答即可．
【解答】
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”．  

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，
故答案为：．
根据直角三角形的性质和三角形的内角和解答即可．
此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：，平分，
是的中点，
是的中点，
是三角形中位线，
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质可得是的中点，再根据三角形中位线定理即可求解．
此题主要考查了等腰三角形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的知识点．
 

15.【答案】 

【解析】解：

如图，作点关于的对称点，                                                                                              
过点作于点，交于点，
点即为所求作的点，此时有最小值，
连接，根据对称性的性质，
，
在中，，，，
，
在和中，
≌，
，
即，
，
．
故答案为：．
作点关于的对称点，过点作于点，交于点，点即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，，证明≌，根据，即可求出的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 

16.【答案】或 

【解析】解：设，则，
由翻折得：，当时，，
，
由勾股定理得：，
解得：，
当时，如图，作
，
，
，
沿翻折得，
，
，
，，
≌，
，
时，作，
，
即，
解得，
综上所述：或．
故答案为：或．
设，则，由翻折得：当时，由勾股定理得：；当时，作，由，平分可证得，则≌，所以，由三线合一得，即，解方程即可．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当时如何列方程，有一定难度．
 

17.【答案】解：，
移项得，
合并得，
用数轴表示为：

，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为得，
用数轴表示为：
 

【解析】先移项，再合并得到，然后利用数轴表示其解集；
先去分母、去括号得到，，再移项、合并得到，接着系数化为得，然后利用数轴表示其解集．
本题考查了解一元一次不等式：灵活运用不等式的性质是解决问题的关键．也考查了数轴．
 

18.【答案】解：

给出一种分法得分角度标注分． 

【解析】因为，，可以以为顶点作，则，，，都是等腰三角形；还可以以为顶点作，则，，，都是等腰三角形．
此题主要考查等腰三角形的判定以及作一个角等于已知角的作法．
 

19.【答案】解：，
．
平分，
．
，
，
．
． 

【解析】利用三角形的内角和定理，先求出，再利用角平分线的性质求出的度数；
利用垂直、三角形的内角和先求出，再与结合求出的度数．
本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质等知识点，掌握三角形的内角和定理及推论是解决本题的关键．
 

20.【答案】证明：
，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
． 

【解析】根据即可证明：≌；
由可知，再利用三角形的外角关系即可求出的度数．
本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的外角关系，属于基础性题目．
 

21.【答案】解：是直角三角形，
理由：连接，
在中，，米，米，由勾股定理得：米，
，，
，
，
是直角三角形；
该空地面积平方米，
即铺满这块空地共需花费元． 

【解析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出即可；
求出空地的面积，即可求出答案．
本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出区域的面积．
 

22.【答案】，，
，，
，
在和中，
，
≌，
  过点作于，
，，
，
，，
，
，即 

【解析】证法一：，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
证法二：过点作于，
，，
，
，，
，
，即，
故答案为：，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
过点作于，
，，
，
，，
，
，即．
证法一：证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
证法二：根据等腰三角形的三线合一证明结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

23.【答案】解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
，，
，
是等腰直角三角形
由可知≌
，，
，
． 

【解析】利用等腰直角三角形的性质，证明≌，即可解答；
由，，求得，根据是等腰直角三角形，得到，由可知≌，得到，，
进而，根据勾股定理即可解答．
本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明≌．
 

24.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，，
，
，，
，
≌，
，
，理由如下：
延长，交于点，

平分，
，
，
，
≌，
，
，，
，
又，
≌，
，
≌，的面积为，
，
≌，
；
如图，点、、为所作，

故答案为：；
作和的垂直平分线交于点，则点即为所求．

由，，，可推出，进而利用得出≌，即可得出；
延长，交于点，首先通过证明≌，得，再利用证明≌，得；
由全等知；
作的垂直平分线与网格交点即为点；
作和的垂直平分线交于点．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，明确网格中画线段垂直平分线的方法是解题的关键．