数学第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质课时练习

这是一份数学第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质课时练习，共6页。试卷主要包含了[探究点一]已知抛物线C，[探究点二]已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
第二章2.7.2　抛物线的几何性质A级 必备知识基础练1.[探究点一]已知抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离等于6,则直线AF的斜率为(　　)A.2 B.±2 C.2 D.±22.[探究点二]过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=(　　)A.6 B.8 C.9 D.103.[探究点一]若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2,则点A到抛物线的准线的距离为(　　)A. B. C.2 D.4.[探究点一](多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(　　)A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y D.x2=-8y5.[探究点三]已知抛物线y2=8x的准线为l,点P是抛物线上的动点,直线l1的方程为2x-y+3=0,过点P分别作PM⊥l,垂足为M,PN⊥l1,垂足为N,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)A. B. C. D.2+6.[探究点二](多选题)已知抛物线C:x2=4y,其焦点为F,准线为l,PQ是过焦点F的一条弦,点A(2,2),则下列说法正确的是(　　)A.焦点F到准线l的距离为2B.焦点F(1,0),准线方程l:x=-1C.|PA|+|PF|的最小值是3D.以弦PQ为直径的圆与准线l相切7.[探究点三]已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是　　　　　. 8.[探究点一]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F,A是C的准线上一点,线段AF与C交于点B(,y0),O为坐标原点,且S△AOF=3,则p=　　　　　. 9.[探究点二]已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.(1)求p的值;(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.    B级 关键能力提升练10.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(点A在第一象限),且=4,则直线l的倾斜角为(　　)A. B. C. D.11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,直线l':x-y+2=0,动点M在C上运动,记点M到直线l与l'的距离分别为d1,d2,O为坐标原点,则当d1+d2最小时,cos∠MFO的值为(　　)A. B. C. D.12.(多选题)已知直线l:x-y-=0过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是(　　)A.抛物线的方程为y2=4xB.线段AB的长度为C.∠MFN=90°D.线段AB的中点到y轴的距离为13.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l于A,若直线AF的倾斜角为120°,那么|PA|=　　　　　. C级 学科素养创新练14.(多选题)已知抛物线C:y=x2,过焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AO,BO分别与直线m:y=-2相交于M,N两点,则下列说法正确的是(　　)A.焦点F的坐标为(0,2)B.y1y2=1C.||||的最小值为4D.△AOB与△MON的面积之比为定值
2.7.2　抛物线的几何性质1.D　由题意,点F(2,0),因为|AF|=xA+2=6,可得xA=4,又因为点A在抛物线上,所以=32,则yA=±4,所以点A(4,±4),则kAF==±2.2.B　因为直线AB过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.故选B.3.B　由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-,∵AB垂直于x轴,|AB|=2,A到y轴的距离为,假设A在y轴上侧,即y=,代入抛物线y2=2x,求得x=1,点A到抛物线的准线的距离d=1+.4.CD　设抛物线方程为x2=2py或x2=-2py(p>0),2p=8,p=4,∴抛物线方程为x2=8y或x2=-8y.5.B　令抛物线y2=8x的焦点为F,则F(2,0),连接PF,如图.因为l是抛物线y2=8x的准线,点P是抛物线上的动点,且PM⊥l于M,于是得|PM|=|PF|,点F(2,0)到直线l1:2x-y+3=0的距离d=.又PN⊥l1于N,显然点P在点F与N之间,于是有|PM|+|PN|=|PF|+|PN|≥d,当且仅当F,P,N三点共线时取“=”,所以|PM|+|PN|的最小值为d=.故选B.6.ACD　由抛物线C:x2=4y,可得F(0,1),准线l:y=-1,故选项B错误;由抛物线C:x2=4y,可得2p=4,即p=2,所以焦点F到准线l的距离为p=2,故选项A正确;过点P作PP'⊥l,垂足为P',由抛物线的定义可得|PF|=|PP'|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥d=3(d为点A(2,2)到准线l的距离),当且仅当A,P,P'三点共线时等号成立,所以|PA|+|PF|的最小值是3,故选项C正确;过点P,Q分别作PP'⊥l,QQ'⊥l,垂足分别为P',Q',设弦PQ的中点为M,则弦PQ为直径的圆的圆心为M,过点M作MM'⊥l,垂足为M',则MM'为直角梯形PP'Q'Q的中位线,|MM'|=(|PP'|+|QQ'|),又根据抛物线的定义有|PP'|=|PF|,|QQ'|=|QF|,所以|MM'|=(|PF|+|QF|)=|PQ|,所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切,故选项D正确.故选ACD.7.3　因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,其值为3.8.3　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F(,0),不妨设B在第一象限,则B(),所以kBF=-,则直线AF的方程为y=-(x-).令x=-,得yA=,由S△AOF=3=,解得p=3.9.解(1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-=-1,所以p=2.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|==8.10. C　如图,过A,B作AA',BB'垂直准线x=-,垂足为A',B',过B作AA'的垂线,垂足为C. 由抛物线定义知|BF|=|BB'|,|AF|=|AA'|,3|BF|=|AF|,2|BF|=|AC|,所以cos∠BAC=,∠BAC=,所以直线l的倾斜角为.故选C.11.A　由抛物线的定义可知,d1=|MF|,设MN⊥l',垂足为N,∴d1+d2=|MF|+|MN|,当M,F,N三点共线时,d1+d2最小.∵抛物线C:y2=4x,∴焦点F(1,0),∴|FN|=d=.设直线l'与x轴的交点为D,令y=0,得x=-2,即FD=2+1=3,在Rt△DNF中,cos∠MFO=cos∠NFD=.故选A.12.BD　由题意不妨设点A在点B上方,直线l:x-y-=0与x轴交点为(1,0).又l经过y2=2px的焦点,故F(1,0),可得p=2,即抛物线方程为C:y2=4x,故A正确;由可得3x2-10x+3=0,解得x=3或,可得A(3,2),B(,-),所以|AB|=,故B错误;由以上分析可知,M(-1,2),N(-1,-),F(1,0),可得kNF·kMF==-1,则MF⊥NF,即∠MFN=90°,故C正确;因为A(3,2),B(,-),故线段AB的中点为(),则线段AB的中点到y轴的距离为,故D错误.故选BD.13. 4　如图,令抛物线的准线l交x轴于点E,连接PF,点F(1,0),直线l:x=-1. 因为直线AF的倾斜角为120°,则有∠AFE=60°,又PA⊥l于A,即PA∥x轴,得∠PAF=60°.由抛物线定义知|PF|=|PA|,于是得△PAF为正三角形,即|PA|=|AF|=2|EF|=4,所以|PA|=4.14. BCD　由题意知抛物线方程为x2=4y,其焦点坐标为(0,1),故A错误; 显然直线AB的斜率存在,设斜率为k,则直线AB的方程为y=kx+1,联立消去x得到y2-(2+4k2)y+1=0,Δ=16k4+16k2≥0,y1+y2=2+4k2,y1y2=1,故B正确;由抛物线的性质知||=y1+1,||=y2+1,则||||=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1=4+4k2≥4,当且仅当k=0时,||||取得最小值为4,故C正确;显然∠AOB=∠MON,=(定值),故D正确.故选BCD.