高中数学第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质精练

2．7.2　抛物线的几何性质

知识点一  由抛物线的标准方程研究几何性质

1.抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)

A．1           B．2          C．4           D．8

答案　C

解析　y2＝8x的焦点到准线的距离p＝4.

2．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)

A.             B.              C.             D．0

答案　B

解析　抛物线y＝4x2的准线方程是y＝－，设M(x，y)是图象上任一点，由抛物线定义知，y＋＝1，所以y＝.

知识点二  由抛物线的几何性质求标准方程

3.以x轴为对称轴的抛物线截过焦点且与对称轴垂直的直线所得线段的长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)

A．y2＝8x   B．y2＝－8x

C．y2＝8x或y2＝－8x   D．x2＝8y或x2＝－8y

答案　C

解析　依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C.

4．已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为(　　)

A．x2＝2y   B．x2＝2y或x2＝－2y

C．x2＝4y   D．x2＝4y或x2＝－4y

答案　D

解析　由题设知抛物线的焦点坐标为(0,1)或(0，－1)，所以抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝－4y.故选D.

5．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)

A．y2＝x   B．y2＝－x

C．y2＝±x   D．y2＝±x

答案　C

解析　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.

6．已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________．

答案　x2＝4y

解析　由e＝1，得焦点为(0,1)，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.

知识点三  抛物线几何性质的应用

7.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

A.            B．1           C.           D.

答案　C

解析　根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为(|AF|＋|BF|)－＝－＝.故选C.

8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点．且|AF|>|BF|，则的值为(　　)

A．3           B．2           C.          D.

答案　A

解析　由于倾斜角α＝60°，则＝＝＝3.

9．已知过抛物线y2＝6x焦点的直线被抛物线所截得的线段长为12，则该直线的倾斜角是(　　)

A.或  B.或

C.或  D.

答案　B

解析　|AB|＝(α为直线AB的倾斜角)，

∴12＝，∴sin2α＝，解得sinα＝±.

∵α∈[0，π)，∴α＝或α＝.故选B.

10．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197 mm，反光曲面的顶点到灯口的距离为69 mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1 mm)

解　如图，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使|OC|＝69 mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197 mm，则点A的坐标为69，.将点A的坐标代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此时焦点F的坐标约为(35,0)．

因此，灯泡应安装在对称轴上距顶点约35 mm处．

一、选择题

1．抛物线y2＝－4px(p>0)的焦点为F，准线为l，则p表示(　　)

A．F到y轴的距离

B．F到准线l的距离

C．F的横坐标

D．F到抛物线上一点的距离

答案　A

解析　∵焦点到准线的距离为2p，∴p表示点F到y轴的距离．故选A.

2．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)

A．有且仅有一条   B．有两条

C．有无穷多条   D．不存在

答案　B

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的线段长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B.

3．一个动圆圆心在y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则此动圆必过定点(　　)

A．(4,0)          B．(2,0)        C．(0,2)         D．(0，－2)

答案　B

解析　由题意得，抛物线的焦点坐标为F(2,0)，准线方程为x＝－2.因为动圆与直线x＝－2相切，圆心在抛物线上，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，即动圆必过抛物线的焦点F(2，0)．故选B.

4．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)

A．2           B．4          C．6           D．8

答案　B

解析　由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，2，D－，，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4.

5．(多选)已知抛物线C：y2＝4px(p>0)的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点S，与准线l交于点T，且|FA|＝2|AS|，则(　　)

A．|TS|＝2p  B.＝2

C．|BF|＝p   D．|AF|＝p

答案　ABD

解析　过点A作准线的垂线，垂足为M，AM与y轴交于点N，因为|FA|＝2|AS|，所以＝，所以|AN|＝|OF|＝，所以|AM|＝p，根据抛物线的定义知|AF|＝p，因为|AS|＝|AF|＝p，所以|SF|＝2p，所以|TS|＝2p.根据抛物线的性质＋＝，所以＋＝，解得|BF|＝4p，所以＝＝2.

二、填空题

6．A，B是过抛物线x2＝4y焦点的直线与抛物线的交点，且|AB|＝10，则AB的中点的纵坐标为________．

答案　4

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝y1＋y2＋2＝10，即y1＋y2＝8，故AB的中点的纵坐标为4.

7．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝________.

答案　±2

解析　设正三角形边长为x.36＝x2sin60°，∴x＝12.当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax得a＝2，当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax得a＝－2，故a＝±2.

8．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，|AB|＝________.

答案　6　4

解析　如图，在正三角形ABF中，|DF|＝p，|BD|＝p，则B点坐标为p，－.又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.得A(－2，－3)，B(2，－3)，故|AB|＝4.

三、解答题

9．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离．

解　抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.

10．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示．为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m．若行车道总宽度AB为8 m.

(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；

(2)现有一辆载重汽车宽3.5 m，高4.2 m，试判断该车能否安全通过隧道？

解　(1)建立如图所示的坐标系，

设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，

根据题意，此抛物线经过点(－5，－5)，

代入抛物线方程解得p＝，

所以抛物线的方程为x2＝－5y.

在此方程中令x＝－4，得y＝－，

因此，7－－0.5＝3.3，

所以车辆通过隧道时的限制高度为3.3 m.

(2)对于抛物线x2＝－5y，令x＝3.5，得y＝－，

因为7－－0.5＝4.05<4.2，

所以该车不能安全通过隧道．