高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质教案

抛物线的几何性质

【教学目标】

1．使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。

2．从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力

【教学过程】

一、复习与引入过程

1．抛物线的定义是什么？

请一同学回答。应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。”

2．抛物线的标准方程是什么？

再请一同学回答。应为：抛物线的标准方程是y2=2px（p＞0），y2=-2px（p＞0），x2=2py（p＞0）和x2=-2py（p＞0）。

下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px（p＞0）出发来研究它的几何性质。抛物线的几何性质

二、新课讲授过程

（i）抛物线的几何性质

通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？

学生和教师共同小结：

（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线。

（2）抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心。

（3）抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点。

（4）抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较。其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了

（ii）例题讲解与引申

例题1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。

解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px（p＞0），则准线方

因为抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得p=4．

因此，所求抛物线方程为y2=-8x。

又点M（-3，m）在此抛物线上，故m2=-8（-3）。

解法二：由题设列两个方程，可求得p和m。由学生演板。由题意

在抛物线上且|MF|=5，故

例2 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A．B两点，且A（x1，y1）、B（x2，y2）。

证明：

（1）当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：

此方程的两根y1．y2分别是A．B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．

或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．

综合上述有y1y2=-p2

又∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两点，