高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质试讲课ppt课件

课程目标

学科素养

A.掌握抛物线的简单几何性质.

2.了解抛物线几何性质的简单应用.

3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.

1.数学抽象：抛物线的几何性质

2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质

3.数学运算：运用抛物线的方程推导其几何性质

4.直观想象：抛物线几何性质的简单应用

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    创设问题情境

前面我们由椭圆和双曲线的方程，讨论了它们的几何性质，下面我们继续通过抛物线的方程来研究抛物线具有的几何性质。

已知抛物线C的方程为根据这个方程完成下列任务：
（1）已观察方程中与是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；
（2）指出抛物线C是否具有对称；
（3）指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；

抛物线  y2=2px(p>0) ① 的几何性质

尝试与发现

如果抛物线的标准方程是

      ②

         ③

     ④

   那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与①所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？

抛物线四种形式的标准方程及其性质

1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,

其共同点:(1)顶点都为原点;

(2)对称轴为坐标轴;

(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ;

(4)焦点到准线的距离均为p.

其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.

2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.

1. 判断

(1)抛物线关于顶点对称.(　　)

(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(　　)

(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　　)

答案:(1)×　(2)√　(3)√

2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?

解析:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.

如果y是一次项,负时向下,正时向上.

如果x是一次项,负时向左,正时向右.

3. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(　　)

A.y2=8x              B.y2=-8x        

C.y2=8x或y2=-8x     D.x2=8y或x2=-8y

解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x=,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.

答案:C

问题思考

(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?

提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.

(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?

提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.

二、典例解析

例1.  已知轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点M 求这个抛物线的标准方程。

解：根据已知条件可设抛物线的标准方程为

因为点M ，因此= ，从而可知所求方程为

跟踪训练1 .设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.

错解:由y=mx2(m≠0)可知其准线方程为y=-.由题意知-=-2,解得m=8,故所求抛物线的标准方程为y=8x2.

错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=- ;

二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.

正解:y=mx2(m≠0)可化为x2=y,其准线方程为y=-.由题意知-=-2或-=4,解得m=或m=-,

故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.

例2  抛物线y2=4x上的点P(x,y)到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是　　　　　. 

解析:如图所示,

设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.

过点P作PM⊥l,垂足为M.

则|PM|=|PF|.

设Q(0,3),因此当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值

∴(|PF|+|PQ|)min=|QF|=.

即|PM|+|PQ|的最小值为.

答案:

例3  求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.

解:方法一:设A(t,-t2)为抛物线上的点,

则点A到直线4x+3y-8=0的距离

d==

=.所以当t=时,d有最小值.

方法二:如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0,由

消去y得3x2-4x-m=0,∴Δ=16+12m=0,∴m=-.

故最小距离为.

1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路:

一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决.

二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得.

2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.

跟踪训练2 已知P为抛物线y=x2上的动点,P在x轴上的射影为H,点A的坐标为(12,6),则|PA|+|PH|的最小值是(　　)

A.13 B.12 C.11 D.10

解析:化抛物线y=x2为标准形式x2=4y,

得它的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,

延长PH交准线于G,连接PF,根据抛物线的定义,得

|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1=|PA|+|PF|-1,

∵|PA|+|PF|≥|AF|,

∴当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.

∵|AF|==13,

∴|PA|+|PH|的最小值为13-1=12.

答案:B

通过，类比椭圆和双曲线的几何性质的学习过程，学习抛物线的几何性质。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。

通过抛物线几何性质的讨论，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，熟练掌握根据几何条件求抛物线的方法，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.若抛物线x=-my2的焦点到准线的距离为2,则m=(　　)

A.-4 B. C.- D.±

解析:抛物线x=-my2的标准方程为y2=-x,焦点到准线的距离为,由已知得=2,解得m=±.

答案:D

2.已知抛物线y=4x2上一点P到焦点的距离为1,则点P的纵坐标为(　　)

A. B. C. D.

解析:根据抛物线方程可求得焦点坐标为,准线方程为y=-,根据抛物线定义,∴yP+=1,解得yP=.

答案:C

3.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆M:(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值是(　　)

A.-1 B.-1         C.2 D.-1

解析:将本题转化为求抛物线上的点到圆心的最小距离.设P(,y0),由(x-3)2+y2=1可知圆心坐标为M(3,0),半径r=1,则|PM|=.因此|PM|的最小值为,从而|PQ|的最小值为-1.故选D.

答案:D

4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=3,则|QF|=.

解析:设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得|QF|=d,

∵=3,∴|QP|=3d,∴直线PF的斜率为±2.

∵F(1,0),准线l:x=-1,∴直线PF的方程为y=±2(x-1),

与y2=4x联立可得x=(舍)或x=2,∴|QF|=2+1=3.

答案:3

5. 已知抛物线y2=8x.

(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;

(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.

解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.

(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,又焦点F是△OAB的重心,

则|OF|=|OM|. 因为F(2,0),

所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0).故设A(3,m),

代入y2=8x得m2=24,所以m=2或m=-2,

所以A(3,2),B(3,-2),所以|OA|=|OB|=,

所以△OAB的周长为2+4.

6.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.

解:如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,且坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则=2px1,=2px2.

又因为|OA|=|OB|,所以,即+2px1-2px2=0.

所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x1>0,x2>0,2p>0,所以x1+x2+2p≠0,x1=x2,

即A,B两点关于x轴对称,则∠AOx=30°.所以AB⊥x轴,所以y1=x1tan 30°=x1.又因为x1=,所以y1=2p.

所以|AB|=2y1=4p,即为所求正三角形的边长.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。