奥数五年级上册 第6讲：追及问题 教案

 五年级                                      备课教员：××× 

第六讲    追及问题

一、教学目标：

1.能充分利用行程中的速度、路程、时间之间的关系解应用

  题。

2. 借助公式“追及路程=追及时间×速度差”来解决问题。
3. 培养分析问题、解决问题的能力，提高应用数学的意识。
4. 体验生活中数学的应用与价值，感受数学来源于生活，感

  受数学与人类生活的密切联系，激发学数学、用数学的兴

  趣。

二、教学重点：

1.利用速度、路程、时间之间的关系解应用题。

2.通过对具体问题情境的分析，列出算式，解决问题。

三、教学难点：

1.借助公式“追及路程=追及时间×速度差”解决问题。

2.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，解决问题。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

师：同学们，大家应该都有听过龟兔赛跑的故事吧？

生：听过。

师：最后是不是因为兔子睡觉偷懒，被乌龟赶上赢得了比赛呀？

生：是的......

师：那如果兔子没有偷懒，你们觉得兔子和乌龟谁会赢呢？

生：兔子，因为兔子比乌龟跑得快。

师：没错，那老师为了比赛公平，让乌龟先跑出一段距离，再让兔子出发，你

    们认为现在谁会赢呢？

生：不能确定。

师：怎么才能确定乌龟和兔子谁赢呢？我们今天就来研究这一类型的数学问题，

    好吗？

生：好的！

【板书课题：追及问题】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（13分）

一名警察以每分钟400米的速度向一名小偷追去，小偷的速度是每分钟350米，现在警察和小偷的距离是500米，那么警察最快要几分钟能追上小偷？

（PPT出示）

师：同学们，看完题目，警察和小偷现在是相距多少米？

生: 500米。

师：你们知道这个500米是什么吗？

生：警察要追小偷的距离。

师：没错，那么这个500米就是追及路程。

生：是的，我明白了。

师：警察的速度是每分钟400米，小偷的速度是每分钟350米，所以我

    们可以发现警察速度比小偷速度快多少？

生：每分钟50米。

师：是的。追及路程是500米，速度差是每分钟50米。现在我们可

以运用什么公式呢？

生：追及时间=追及路程÷速度差。

板书：

   追及路程=追及时间×速度差

   速度差：400-350=50(米/分钟)

   追及时间：500÷50=10（分钟）

答：警察最快要10分钟能追上小偷。

 （PPT出示）

练习1：（6分）

米德和卡尔两人相距200米，卡尔在前，米德在后，卡尔每分钟走65米，米德每分钟走75米，两人同时同向出发，几分钟后米德可以追上卡尔？

（PPT出示）

分析：

    本题是追及问题最基本的应用，要求的是追及时间，我们只需要从题目中找出追及路程以及速度差，追及路程为200米，速度差为（75-65）=10米/分钟，再运用公式“追及时间=追及路程÷速度差”解决即可。

板书：

   追及时间=追及路程÷速度差

   速度差：75-65=10(米/分钟)

   追及时间：200÷10=20（分钟）

答：20分钟后米德可以追上卡尔。

 （PPT出示）

（二）例题2：（13分）

    一辆汽车和一辆摩托车分别同时从甲、乙两地出发，同向而行，汽车在前，每小时行40千米，摩托车在后，每小时行75千米，经过3小时摩托车追上汽车。求甲、乙两地相距多少千米？

师：这道题目是让我们求甲、乙两地的距离。我们可以画图表示出甲、乙两地

间的距离。汽车从甲地出发，摩托车从乙地出发。不难发现，追及路程是

哪一段呢？

生：就是甲、乙两地的距离。

师：说得很好。那我们仔细读题，追及时间和速度差分别是多少？

生：追及时间是3小时，速度差是（75-40）=35千米/小时。

师：没错，那我们就可以根据公式“追及路程=追及时间×速度差”来得到答案。

生：......

板书：

  速度差：75-40=35(千米/小时)

  追及路程：3×35=105（千米）

答：甲、乙两地相距105千米。

练习2：（8分）

姐妹两人在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远？

（PPT出示）

分析：

    姐姐比妹妹晚10分钟出发，姐姐出发的时候，妹妹已经走了50×10=500米，这个500米就是追及路程，运用公式“追及时间=追及路程÷速度差”求出姐姐追上妹妹所花的时间，也就是姐姐从家到学校所花的时间。再根据公式“路程=速度×时间”就可以求出家到学校的距离。

板书：

  追及路程：50×10=500(米)

  速度差：150－50=100(米/分钟)

  追及时间：500÷100=5(分钟)

  路程：5×150=750(米)

答：家到学校的距离为750米。

 （PPT出示）

三、小结：（5分）

1．追及问题是行程问题的一种，主要研究下面三种量之间的关系：

   速度差：快车比慢车单位时间内多行的路程。      

   追及时间：快车追上慢车所用的时间。 

   追及路程：快车开始和慢车相差的距离，即路程差。

2．运用公式解决问题，主要的数量关系式：      

   速度差×追及时间=追及路程       

   追及路程÷速度差=追及时间

   追及路程÷追及时间=速度差

3．利用画线段图帮助分析题意，寻找速度差及其它两个量之间的关系。

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

师：同学们，上节课我们运用了公式来解决追及问题。谁能告诉老师我们用了

    哪个公式？

生：追及时间=追及路程÷速度差

生：追及路程=追及时间×速度差

师：是的，你们真棒，看来上节课都认真听了。

师：这节课我们继续学习追及问题，好不好？

生：好。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（13分）

甲、乙两人相距4千米，乙在前，甲在后，两人同时同向而行，2小时后甲追上乙，乙的速度是每小时6千米，求甲的速度是多少？

（PPT出示）

师：这道题目，让我们求的是甲的速度，甲的速度我们可以直接求出来吗？

生：不能。

师：我们先画线段图，分析一下。

生：好的。

师：那我们可以先求出什么呢？

生：甲、乙的速度差。

师：没错，我们可以根据公式“追及路程÷追及时间=速度差 ”求出速度差。

    仔细审题，谁能告诉老师追及路程和追及时间分别是多少？

生：追及路程是甲、乙两地的距离4千米。

生：追及时间是2小时。

师：是的，很正确，那我们就可以根据公式求出速度差了。再根据甲的速度比

    乙的速度快，可以算出甲的速度。

板书：

    速度差：4÷2=2(千米/小时)

    甲的速度：2+6=8(千米/小时)

答：甲的速度是每小时8千米。

 （PPT出示）

练习3：（7分）

甲、乙两辆汽车分别从相距40千米的两城同时同向出发，经5小时甲车追上乙车，已知甲车每小时行48千米，求乙车每小时行多少千米？

（PPT出示）

分析：

    这道题目我们并不能直接求出乙的速度，我们可以先求出甲、乙两车的速度差，速度差可以根据公式“速度差=追及路程÷追及时间”求出，再根据甲车比乙车快，得到甲车的速度。

板书：

  速度差：40÷5=8(千米/小时)

  48－8=40(千米/小时)

答：乙车每小时行40千米。

 （PPT出示）

（二）例题4：（13分）

    两辆卡车送货，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，2小时后小卡车以每小时48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时离甲地多远？

（PPT出示）

师：我们先借助线段图分析题目。

生：好的。

师：这道题让我们求的是路程，谁记得路程公式？

生：路程=速度×时间。

师：是的。从题目中我们知道小卡车的速度是48千米/小时，我们只需要求出

    小卡车追上大卡车时的行驶时间。该怎么求呢？

生：可以用公式“追及时间=追及路程÷速度差”。

师：追及路程是多少？

生：大卡车2小时先开的路程就是追及路程，即2×36=72千米。

师：我们现在就可以求追及时间了。求出追及时间，再根据第一个公式，就可

    以得出题目要求的答案。

板书：

  2×36÷（48－36）=6(小时)

  6×48=288(千米)

答：当小卡车追上大卡车时离甲地288千米。

 （PPT出示）

练习4：（7分）

两匹马在相距50米的地方同时同向出发，出发时黑马在前白马在后，如果黑马每秒跑10米，白马每秒跑12米，当白马追上黑马时离出发点多远？

（PPT出示）

分析：

   要求当白马追上黑马时离出发点多远，只需知道白马的速度以及追上黑马时所用的时间，即追及时间。追及时间可以根据公式“追及路程÷速度差=追及时间”得到。

板书：

  速度差：12-10=2(米/秒)

  50÷2=25(秒)

  25×12=300(米)

答：当白马追上黑马时离出发点300米。

 （PPT出示）

（三）例题5（选讲）：

     一条公路上，有一个骑车人和一个步行人同向而行，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？

（PPT出示）

师：这道题目看上去很复杂，因为这道题有两个追及问题。哪位同学发现了？

生：公共汽车和步行人。

生：公共汽车和骑车人。

师：每两辆公共汽车之间的距离就是追及路程。

师：我们可以假设追及路程为60a，由此我们可以得到公共汽车与步行人的速度之差是多少？

生：60a÷6=10a。

师：公共汽车与骑车人的速度之差又是多少呢？

生：60a÷10=6a。

师：题目中告诉我们骑车人的速度是步行人的3倍。那我们是不是可以求出步行

    人的速度，即：(10a－6a）÷（3－1）=2a

师：那谁能告诉老师公共汽车的速度怎么算？

生：10a＋2a=12a。

师：没错，那我们就可以知道题目要我们解决问题的答案了。

板书：

  假设两辆公共汽车间隔的距离为60a。

  公共汽车与步行人的速度之差：60a÷6=10a

  公共汽车与骑车人的速度之差：60a÷10=6a

  步行人的速度：(10a－6a）÷（3－1）=2a

  公共汽车的速度是：10a＋2a=12a

  间隔时间：60a÷12a=5（分钟）

答：间隔5分钟发一辆公共汽车。

 （PPT出示）

练习5：

    一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人。如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔多少分钟发一辆公共汽车？

分析：

    本题可以看作两个追及问题，分别是公共汽车和步行人，公共汽车和骑车人。设每两辆公共车间隔（即追及路程）为60a，由此可以得出公共汽车与步行人的速度之差、公共汽车与骑车人的速度之差。根据骑车人的速度是步行人速度的3倍，可以求出步行人的速度。进一步可以求出公共汽车的速度。由此可以得出答案。

板书：

  假设两辆公共汽车间隔的距离为60a。

  公共汽车与步行人的速度之差：60a÷10=6a

  公共汽车与骑车人的速度之差：60a÷20=3a

  步行人的速度：（6a-3a）÷（3-1）=1.5a

  公共汽车的速度：6a+1.5a=7.5a

  间隔时间：60a÷7.5a=8（分钟）

答：间隔时间为8分钟发一辆公共汽车。

 （PPT出示）

三、总结：（5分）

1. 主要的数量关系式：      

   速度差×追及时间=追及路程      

   追及路程÷追及时间=速度差 

   追及路程÷速度差=追及时间 

2. 解答追及问题时必须注意： 

①要弄清题意：对具体问题要做仔细分析，必要时画一条线段图帮助理解。

②要弄清距离、速度（速度差）、时间之间的联系，紧扣数量关系式。

四、随堂练习：

1. 两个县城相距1320千米，甲、乙两车分别从两城同时相对而行，甲每小时行

   50千米，乙每小时比甲快10千米，几小时后相遇？

    1320÷（50+50+10）=12（小时）

答：12小时后相遇。

2. 爷爷坐汽车，阿派骑自行车，沿一条公路同时从A地去B地。汽车每小时行

   40千米，是自行车速度的2.5倍。结果爷爷比阿派提前3小时到达B地。

   A、B两地间的路程是多少千米？

   自行车速度：40÷2.5=16（千米/小时）

   解：假设A、B两地的距离是千米。 

         ÷16－÷40=3                      

              2.5－=120

                     =80                  

答：A、B两地间的路程是80千米。

3. 甲、乙两辆汽车分别从相距40千米的两城同时同向出发，经5小时乙车追

   上甲车，已知甲车每小时行48千米，求乙车每小时行多少千米？

    48+40÷5=56(千米/小时)

答：乙车每小时行56千米。

4. 甲、乙两人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一

   次相遇地点离A地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返

   回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离？

   6×3-5=13（千米）

   13-5-6=2（千米）

答：两次相遇地点之间的距离是2千米。

5. 一条马路上，一个骑车人与一个开车人同向而行，开车人的速度是骑车人速

   度的4倍，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人，每隔30分钟有一辆公

   共汽车超过开车人，如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，

   那么间隔多少时间发一辆公共汽车？

   假设两辆公共汽车间隔的距离为60a。

  （60a÷20－60a÷30）÷（4－1）=a

   60a÷（3a＋a）=18（分钟）

答：间隔18分钟发一辆公共汽车。

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处