苏科版5.1 物体位置的确定练习题

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【教学目标】
1、掌握平面直角坐标系中一些特殊点的坐标特点及应用；
2、可以根据坐标描出点的位置；
【教学重难点】
确定物体的位置，准确表示物体的位置关系；
根据坐标描出点的位置。
【知识亮解】
知识点一：平面直角坐标系中一些特殊点的坐标特点及应用
1、平面直角坐标系
在平面内，两条具有公共原点、并且互相垂直的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系，其中水平的数轴叫做x轴或横轴，向右方向为正方向，竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上方向为正方向，横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。如图所示。
2、象限
平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个部分，这两条数轴的正方向的夹角部分叫做第_一_象限，其它三个直角逆时针依次叫做第二、三、四象限，坐标轴不属任何象限。
在平面直角坐标系中，第一象限的横坐标与纵坐标都是正数，简单记作（+，+），那么第二象限的坐标特征是（-，+） ，第三象限是（-，-） ，第四象限是（+，-） 。
3、点的坐标：
用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标，表示方法为（a,b）.其中，a是过该点向横轴作垂线，垂足所对应的横轴上的数值。b是过该点向纵轴作垂线，垂足所对应的纵轴上的数值。
例如：上图中点A的坐标为（3，4）
点拨：横轴（x轴）上点的坐标特征是（x，0）；纵轴（y轴）上的点的坐标特征是（0，y）。
【考点解读】在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置，反之，任意一个点的位置都可以用一对有序实数来表示，这样的有序实数对叫作点的坐标.在平面直角坐标系中，一些特殊点的坐标特点如下:
知识点二：根据坐标描出点的位置
【考点解读】对于平面内任意一点，都有唯一的有序实数对和它相对应;对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对一一对应，所以我们可根据坐标描出点的位置.
1、点的对称
设点A坐标为（x，y），点A关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点A关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点A关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）
2、点的距离
若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（a，c），则线段AB的长为
若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（d，b），则线段AB的长为
若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），则线段AB的长为
亮题一：象限内点的特征
【方法点拨】掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.
【例1】★★已知点P（a，b）在第四象限，则点Q（2a﹣b，2b﹣a）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【答案】解：由题意，得
a＞0，b＜0．
由不等式的性质，得
2a﹣b＞0，2b﹣a＜0，
点Q（2a﹣b，2b﹣a）在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
【例2】★在平面直角坐标系，点P（3n+2，4﹣2n）在第四象限，求实数n的取值范围．
【答案】 解：∵点P（3n+2，4﹣2n）在第四象限，
∴ ，
解得：​．
∴实数n的取值范围为：n＞2．
【考点】点的坐标
【解析】【分析】根据第四象限内点的坐标特征得到不等式组，然后解不等式组即可．
【例3】★已知和的顶点坐标如下表:
将表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出与.
分析:就是把放大为原来的2倍，就是把放大为原来的2倍.
解答:如下表所示:
如图所示:
【规律·技法】在描点时先确定点所在的象限，然后再确定横坐标，以及纵坐标，然后描点.
【例4】★点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【例5】★在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是( )
B. C. D.
【答案】D
【例6】★★若点在第二象限，则点在第 象限，点在第 象限.
【答案】一 、 二
【例7】★在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点.如果点是第三象限的整点，请求出点的坐标.
【答案】因为点在第三象限
所以
解得
因为点为第三象限的整点，所以，均为整数
所以为整数
所以
所以
所以点
【答案】B
题型二：坐标轴上点的特征
【方法点拨】坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.
【例1】★如果点P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点Q（m﹣3，﹣3）的位置在（ ）
纵轴上B．横轴上C．第三象限D．第四象限
【解析】由题意可知，m=-3，所以Q（-6，-3），在第三象限
【答案】C
【例2】★如图，请把平面直角坐标系中的点用坐标表示出来.
【答案】
【例3】★若点在轴上，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：x轴上的点纵坐标为0
【例4】★★已知点的坐标为，若满足下列条件，请分别说出点在平面直角坐标系中的位置.
(1);(2); (3); (4); (5); (6).
【答案】(1)若，则，或，或，所以点在坐标轴上.
(2) 若，则，或，，所以点在第一象限或第三象限.
(3)因为轴上点的纵坐标都等于0，所以当时，点在轴上，又因为，所以点在轴上的正半轴上.
(4)因为轴上点的横坐标都等于0，所以当时，点在轴上，又因为，所以点在轴的正半轴上.
(5)若，则点在经过点，且与轴平行的直线上.
(6)若，则点在经过点，且与轴平行的直线上.
【例5】★★在平面直角坐标系内，已知点，为坐标原点.为坐标轴上一点，若以点，，为顶点的三角形为等腰三角形，则符合条件的点的个数为 .
【答案】8
【例6】★★已知点，分别根据下列条件求出点的坐标.
点在轴上;
点在轴上;
点的坐标为，直线轴;
点到轴轴的距离相等.
【答案】(1)∵点在轴上
∴
解得
∴
∴
(2) ∵点在轴上
∴
解得
∴
∴
(3)∵点的坐标为，直线轴
∴
解得
∴
∴
(4)∵点到轴轴的距离相等
∴或
解得或
当时，

当时，，
【例7】★已知点P（2a-6，a），若点P在x轴上，则点P的坐标为________．
【答案】 （-6，0）
【考点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（2a-6，a）在x轴上，
∴a=0，
则点P的坐标为（-6，0），
故答案为（-6，0）．
【分析】根据x轴上点的坐标的特点y=0，计算出a的值，从而得出点P坐标．
【分析】由点P在y轴上可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，将其代入点Q的坐标中可得出点Q在第三象限，此题得解．
【答案】解：∵点P（m+3，2m+4）在y轴上，
∴m+3＝0，
∴m＝﹣3，
∴点Q的坐标为（﹣6，﹣3），
∴点Q在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标以及解一元一次方程，根据点P在y轴上找出关于m的一元一次方程是解题的关键．
题型三：点到坐标轴的距离
【方法点拨】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
【例1】★点位于轴右方，距离轴个单位长度，且位于轴下方，距离轴个单位长度，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
【分析】先判断出点E在第二象限，再根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【答案】解：∵点E在x轴上方，y轴的左侧，
∴点E在第二象限，
∵距离x轴3个单位长度，距离y轴4个单位长度，
∴点E的横坐标为﹣4，纵坐标为3，
∴点E的坐标是（﹣4，3）．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
【例2】★★如果点B 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求点B的坐标.
【答案】 解：根据题意得，m-1=3m+5或m-1=-（3m+5），
解m-1=3m+5，得m=-3，
∴m-1=-4，点B的坐标为（-4，-4），
解m-1=-（3m+5），得m=-1，
∴m-1=-2，点B的坐标为（-2，2），
∴点B的坐标为（-4，-4）或（-2，2）.
【考点】点的坐标
【解析】【分析】根据点B 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，坐标平面内的点到两轴的距离实际上就是该点两坐标的绝对值即可得出答案.
【例3】★（2020八下·镇平月考）已知点P在x轴上方，y轴左侧，距x轴2个单位长度，距y轴3个单位长度，则点P的坐标为（ ）
A. (3，2) B. (－2，－3) C. (－3，2) D. (3，－2)
【答案】 C
【考点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P在x轴上方，y轴左侧，
∴点P的纵坐标大于0，横坐标小于0，点P在第二象限；
∵点距离x轴2个单位长度，距离y轴3个单位长度，所以点的横坐标是−3，纵坐标是2，
∴P (-3，2)
故答案为：C.
【分析】首先确定出点P所在的象限为第二象限，再根据第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正及点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值即可得出答案.
【答案】 （1）∵线段AB∥x轴，
∴2a-1=3，
解得：a=2，
故a-1=1，a+2=4，
则A(1，3)，B(4，3)；
（2）∵点B到x轴的距离是点A到y轴的距离2倍，
∴|2a-1|=2|a-1|，
解得：a= ，
∴a+2= ，2a﹣1= ，
∴B( ， )．
【考点】坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）直接利用平行于x轴点的坐标特点得出3=2a-1，进而求出答案；（2）利用点B到x轴的距离是点A到y轴的距离2倍列方程求解即可得出a的值，即可得出答案．
题型四：两点之间的距离
【例1】★已知点，若轴上的点与点的距离等于，则点的坐标为 .
【答案】或
【例2】★★已知点的坐标为，点的坐标为，轴，则线段的长为 .
【答案】7
【例3】★★★P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的“直角距离”，记作d（P1 ， P2）．
（1）令P0（2，﹣4），O为坐标原点，则d（O，P0）= ；
（2）已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（Q，P）=3，且x、y均为整数．
①满足条件的点P有多少个？
②若点P在直线y=3x上，请写出符合条件的点P的坐标．
【答案】 解：（1）d（O，P0）=|0﹣2|+|0﹣（﹣4）|=2+4=6．
故答案为：6．
（2）①∵d（Q，P）=|2﹣x|+|1﹣y|=3，且x、y均为整数，
∴当|1﹣y|=0时，|2﹣x|=3，解得P点坐标为（﹣1，1）、（5，1）；
当|1﹣y|=1时，|2﹣x|=2，解得P点坐标为（0，0）、（4，0）、（0，2）、（4，2）；
当|1﹣y|=2时，|2﹣x|=1，解得P点坐标为（1，﹣1）、（3，﹣1）、（1，3）、（3，3）；
当|1﹣y|=3时，|2﹣x|=0，解得P点坐标为（2，﹣2）、（2，4）．
综上，得知满足条件的点P的坐标有12个．
②直线y=3x上的点有纵坐标是横坐标3倍的特点，
∴符合条件的点P的坐标为（0，0）和（1，3）．
【考点】坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据“直角距离”的定义，将P0（2，﹣4），O（0，0）点的坐标代入即可求得结果；
（2）根据“直角距离”的定义，将Q（2，1），动点P（x，y）的坐标代入可得知|2﹣x|+|1﹣y|=3，因为x、y均为正数，所以坐标不多，可一一分析列举出来，即可解决问题．
【例4】★在平面直角坐标系中，若点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，则x的值是________.
【答案】 ﹣1或5
【考点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，
∴|2﹣x|＝3，
解得，x＝﹣1或x＝5，
故答案为：﹣1或5.
【分析】根据点M（2，4）与点N（x，4）之间的距离是3，可以得到|2-x|=3，从而可以求得x的值.
【例5】★★★对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），
则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为________；
（2）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标；
（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．

【答案】 （1）（7，﹣3）
（2）解：（Ⅱ）设P（x，y），
依题意，得方程组： ，
解得 ，
∴点P（﹣2，1）．
（3）∵点P（a，b）在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka），
∴线段PP′的长为点P′到x轴距离为|ka|，
∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，
根据题意，有|PP'|=2|OP|，
∴|ka|=2a，
∵a＞0，
∴|k|=2．
从而k=±2
【考点】坐标与图形性质
【解析】【解答】（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为（﹣2+3×3，﹣2×3+3），即（7，﹣3），
故答案为：（7，﹣3）；
【分析】（Ⅰ）根据“k属派生点”计算可得；（Ⅱ）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；（Ⅲ）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．
题型五：角平分线上点的特征
【方法点拨】象限角平分线上点的坐标特点：第1、3象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．
【例1】★★（2019八上·慈溪月考）已知点A的坐标为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若点A在y轴上，则a＝3 B. 若点A在一三象限角平分线上，则a＝1
C. 若点A到x轴的距离是3，则a＝±6 D. 若点A在第四象限，则a的值可以为﹣2
【答案】 B
【考点】点的坐标
【解析】【解答】解：当a=3时，点A的坐标为（4，0），
则点A在x轴上，故A不符合题意；
当a=1时，
则点A的坐标为（2，2），
∴点A在第一、三象限的角平分线上，故B符合题意；
当a=6时，点A的坐标为（7，-3），此时点A到x轴的距离为3，
当a=-6时，点A的坐标为（-5，9），此时点A到x轴的距离为9，故C不符合题意；
当a=-2时，点A的坐标为（-1，5,），点A在第二象限，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将a=3代入计算可得到点A的坐标，由此可得点A在x轴上，可对A作出判断；将a=1代入，可得点A的横纵坐标相等，由此可对B作出判断；将a＝±6分别代入计算，可求出点A的纵坐标，再求出点A的纵坐标的绝对值，可对C作出判断；将a=-2代入可得到点A的坐标，由此可判断出点A所在的象限，可对D作出判断。
【例2】★★★已知点M（3a﹣2，a+6），分别根据下列条件求出点M的坐标．
（1）点M在x轴上；
（2）点N的坐标为（2，5），且直线MN∥x轴；
（3）点M到x轴、y轴的距离相等．
【答案】 （1）解：∵点M在x轴上，
∴a+6＝0，
∴a＝﹣6，
3a﹣2＝﹣18﹣2＝﹣20，a+6＝0，
∴点M的坐标是（﹣20，0）
（2）解：∵直线MN∥x轴，
∴a+6＝5，
解得a＝﹣1，
3a﹣2＝3×（﹣1）﹣2＝﹣5，
所以，点M的坐标为（﹣5，5）．
（3）解：∵点M到x轴、y轴的距离相等，
∴3a﹣2＝a+6，或3a﹣2+a+6＝0
解得：a＝4，或a＝﹣1，
所以点M的坐标为（10，10）或（﹣5，5）

【考点】坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列式计算即可得解；
（2）根据平行于x轴的点的纵坐标相同列出方程求出a的值，然后即可得解．
（3）根据象限平分线上点到x轴、y轴的距离相等列式计算即可得解．
【分析】已知一、三象限上的点的横纵坐标相等，故按照题目要求，使横纵坐标相等，可列出等式，即可求出a的值；根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值．
【答案】解：由已知条件知，点A位于一、三象限夹角平分线上，
所以有2a+4＝5a﹣2，
解得：a＝1；
∵点B（2m+7，m﹣1）在第二、四象限的夹角角平分线上，
∴（2m+7）+（m﹣1）＝0，
解得：m＝﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的知识，注意掌握知识点：第二、四象限的夹角角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
【亮点训练】
1．下列条件不能确定点的位置的是（ ）
A．第二阶梯教室6排3座B．小岛北偏东30°，距离1600m
C．距离北京市180千米D．位于东经114.8°，北纬40.8°
【答案】C
【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．第二阶梯教室6排3座的位置明确，故本选项不符合题意；
B．小岛北偏东30°，距离1600m的位置明确，故本选项不符合题意；
C．距离北京市180千米无法确定的具体位置，故本选项符合题意；
D．东经114.8°，北纬40.8°的位置明确，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．
2．如图使用Excel制作的电子表格示意图，小红现要计算（B，2）到（F，2）的和，其结果正确的是（ ）
A．25B．27C．30D．39
【答案】A
【分析】从B列第二行的3开始，到F列的7计算和即可．
【详解】因为计算（B，2）到（F，2）的和，
所以3+4+5+6+7=25，
故选A．
【点睛】本题考查了电子表格的认识，正确理解（B，2）到（F，2）是哪些数据求和是解题的关键．
3．将一组数，，3，，，……，按下面的方法进行排列：
，，3，，，
，，，，，6
……
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，2），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）
【答案】B
【分析】根据题意可以得到每行6个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得到所在的位置，本题得以解决．
【详解】解：一组数，，3，，，……，中最大的有理数是，
由题意可得，每6个数为一行，
81÷3＝27，27÷6＝4……3，
故9位于第5行第3个数，记为（5，3），
故选：B．
【点睛】本题考查有序实数对表达位置及有理数的概念，熟练掌握有序实数对的定义及表示位置的方法是解题的关键．
4．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点坐标分别为（4，3），（-2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（1，3）C．（1，2）D．（2，3）
【答案】B
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（-2，1），进而得出原点在帅的位置，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：以帅的位置为原点建立平面直角坐标系，
则棋子“炮”的点的坐标为（1，3）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，根据“馬”和“車”的点的坐标正确确定原点的位置是解题关键．
5．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中的与四边形均为格点多边形．格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点记为，已知格点多边形的面积可表示为（，为常数），若某格点多边形对应的，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先分别根据和四边形中，、、的数值得出关于和的二元一次方程组，解得和的值，则可求得当，时的值．
【详解】解：中，，，，则；
同理，四边形中，，
，
∴；
联立得
解得：，
∴，，则，
故选：A．
【点睛】本题属于创新题型，主要考查了二元一次方程相关知识以及学生对于题意理解和数据分析能力．
6．如图，若“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点_______．
【答案】（-2，2）
【分析】根据“帅”和“马”的位置，可确定原点O的位置，即可得答案．
【详解】解：如下图，
∵“帅”位于点(0，−1)，“马”位于点(3，−1)，
∴原点O的位置如上图，
∴“兵”位于点（-2，2），
故答案为：（-2，2）．
【点睛】本题考查了平面上物体位置的确定，解题的关键是确定原点O的位置．
7．教室5排2号可用有序数对表示，则2排5号用数对可表示为__．
【答案】
【分析】第一个数表示排，第二个数表示号，将位置问题转化为有序数对．
【详解】解：排2号可用有序数对表示，
排5号用数对可表示为．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解用有序数对表示位置是解题关键．
8．把所有的正整数按如图所示规律排列形成数表．若正整数6对应的位置记为，则对应的正整数是_______．
【答案】138
【分析】根据表格中的数据，以及正整数6对应的位置记为，可得表示方法，观察出1行1列数的特点为12-0，2行2列数的特点为22-1，3行3列数的特点为32-2，…n行n列数的特点为（n2-n+1），且每一行的第一个数字逆箭头方向顺次减少1，由此进一步解决问题．
【详解】解：∵正整数6对应的位置记为，
即表示第2行第3列的数，
∴表示第12行第7列的数，
由1行1列的数字是12-0=12-（1-1）=1，
2行2列的数字是22-1=22-（2-1）=3，
3行3列的数字是32-2=32-（3-1）=7，
…
n行n列的数字是n2-（n-1）=n2-n+1，
∴第12行12列的数字是122-12+1=133，
∴第12行第7列的数字是138，
故答案为：138．
【点睛】此题考查观察分析归纳总结顾虑的能力，解答此题的关键是找出两个规律，即n行n列数的特点为（n2-n+1），且每一行的第一个数字逆箭头方向顺次减少1，此题有难度．
9．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则m＝__________．
【答案】3
【分析】根据题目中定义的新坐标系中点坐标的表示方法，求出点C坐标，即可得到结果．
【详解】解：根据题意，点C的坐标应该是，
∴．
故答案是：3．
【点睛】本题考查新定义，解题的关键是理解题目中新定义的坐标系中点坐标的表示方法．
10．将自然数按图规律排列：如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如：数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，（1）位置为有序数对的数是______；（2）数位置为有序数对______．
【答案】 （9，6）
【分析】根据题意，找出题目的规律，中含有4个数，中含有9个数，中含有16个数，……，中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，然后根据这个规律即可得出答案．
【详解】解：根据题意，如图：
∴有序数对的数是；
由图可知，中含有4个数，中含有9个数，中含有16个数；
……
∴中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，
∵，
∴是第九行的第6个数；
∴数位置为有序数对是（9，6）．
故答案为：；（9，6）．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．
11．中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A、B处．
(1)如果“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______．
(2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．
【答案】(1)，，
(2)路线见解析，走路线为
【分析】（1）结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置；
（2）结合图示，确定原点，再根据题意求出马走的路线．
（1）
解：∵“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），
∴“马”所在的点的坐标为（-3，0），
点C的坐标为（1，3），
点D的坐标为（3，1）．
故答案为，，．
（2）
解：以 “帅”为（0，0），则“马”走的路线为，
如图：
．
【点睛】本题考查了用有序数对解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
12．小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城的平面示意图安排游玩顺序．
(1)如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置如何表示？表示哪个地点？
(2)你能找出哪个游乐设施离入口最近，哪个游乐设施离入口最远吗？
【答案】(1)攀岩的位置表示为，表示的地点为激光战车
(2)天文馆离入口最近，攀岩离入口最远
【分析】（1）根据题意用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，可知用海底世界的位置表示坐标原点的位置，即可解决；
（2）根据两点间的距离计算出，再进行比较即可判断．
（1）
解：根据题意用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，可知用海底世界的位置表示坐标原点的位置，
攀岩的位置表示为，表示的地点为激光战车．
（2）
解：海底世界坐标，到入口的距离为：；
天文馆坐标为离入口距离为：，
攀岩坐标离入口距离为：，
激光战车坐标离入口距离为：，
高空缆车坐标离入口距离为：，
环幕影院坐标离入口距离为：，
，
天文馆离入口最近，攀岩离入口最远．
【点睛】本题考查的是坐标确定位置，两点间的距离，解题的关键是掌握有序数确定位置．
13．如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP=a，那么我们规定用(a，β)表示点P在平面内的位置，并记为P(a，β)．例如，图2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么点M在平面内的位置，记为M(8，110)，根据图形，解答下面的问题：
（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N(6，30)，那么ON=________；∠XON=________．
（2）如果点A，B在平面内的位置分别记为A(5，30)，B(12，120)，画出图形并求出AOB的面积．
【答案】（1）6，30°；（2）见解析，30
【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；
（2）根据相应的度数判断出△AOB的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】(1)根据点N在平面内的位置N(6，30)可知，ON=6，∠XON=30°.
答案：6，30°
(2)如图所示：
∵A(5，30)，B(12，120)，
∴∠BOX=120°，∠AOX=30°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=5，OB=12，
∴△AOB的面积为OA·OB=30.
【点睛】本题考查了坐标确定位置及旋转的性质，解决本题的关键是理解所给的新坐标的含义．
14．对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b为常数．f运算的结果也是一个有序数对，比如当a＝1，b＝1时，f（﹣3，2）＝（﹣1，﹣5）．
（1）当a＝2，b＝﹣1时，f（2，2）＝ ．
（2）f（3，1）＝（﹣3，﹣1），求a和b的值；
（3）有序数对（m，n），f（m﹣1，2n）＝（m﹣1，n），求a，b的值．（用m，n表示a和b）
【答案】（1）（2，6）；（2）；（3）
【分析】（1）根据“f运算”的定义计算即可；
（2）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题；
（3）根据“f运算”的定义列出方程组即可解决问题．
【详解】解：（1）∵f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），
∴当a＝2，b＝﹣1时，f（m，n）＝（2m﹣n，2m+n），
∴当m＝2，n＝2时，
2m﹣n＝2×2﹣2＝2，2m+n＝2×2+2＝6，
f（2，2）＝（2，6）．
故答案为：（2，6）；
（2）由题意得 ，
解得：；
（3）由题意得 ，
解得：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，点的坐标，理解“f运算”的定义，列出方程组是解题的关键．
15．如图，图中显示了10名同学平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：）
（1）用有序实数对表示图中各点；
（2）平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间的总共的同学有多少名？
（3）如果设平均每周用于阅读课外书的时间超过用于看电视的时间的同学为名，设平均每周用于阅读课外书的时间少于用于看电视的时间的同学为名，求的值．
【答案】（1）（1，9）、（1，6）、（2，7）、（3，5）、（4，2），（5，5）（6，4）（7，2）（7，3）（9，1）；（2）平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间的总共10h的同学有5名；（3）b－a=1
【分析】（1）根据有序实数对中点的表示方法解答；
（2）将有序实数对横纵坐标相加为10的，即可得到答案；
（3）利用有序实数对得到a及b的值即可求值.
【详解】（1）图中各点坐标为：（1，9）、（1，6）、（2，7）、（3，5）、（4，2），（5，5）（6，4）（7，2）（7，3）（9，1）；
（2）平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间分别为：
9+1=10，7+2=9，6+1=7，5+3=8，5+5=10，4+2=6，4+6=10，3+7=10，2+7=9，1+9=10，
平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间的总共10h的同学有5名；
（3）由题意得，a=4，b=5，所以b－a=1.
【点睛】此题考查了有序实数对，掌握有序实数对的表示方法，利用有序实数对解决实际问题，解答此题需正确理解题意，明确有序实数对的含义及正确读图.
【培优检测】
1．小明从学校出发往东走，再往南走即可到家，如果以学校位置为原点，以正北、正东为正方向，那么小明家的位置用有序数对表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，再确定位置即可．
【详解】解：学校大门所在的位置为原点，分别以正东、正北方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，
所以学校大门的坐标是(0，0)，小明家的坐标是(300，-200)，
故选：C．
【点睛】主要考查了直角坐标系的建立和运用，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
2．如图，已知∠AOC=30°，∠BOC=150°，OD平分∠BOA，若点A可表示为（2，30°），点B可表示为（3，150°），则点D可表示为（ ）
A．（4，75°）B．（75°，4）C．（4，90°）D．（4，60°）
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得出∠AOD=∠BOD=60°，进而得出∠DOC的度数，利用A，B两点坐标得出2，4代表圆环上数字，角度是与CO边的夹角，根据∠DOC的度数，以及所在圆环位置即可得出答案．
【详解】解：∵∠BOC=150°，∠AOC=30°，
∴∠AOB=120°，
∵OD为∠BOA的平分线，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠DOC=∠AOD+∠AOC=60°+30°=90°，
∵A点可表示为（2，30°），B点可表示为（3，150°），
∴D点可表示为：（4，90°）．
故选：C
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质以及角平分线的性质，根据已知得出A点，B点所表示的意义是解决问题的关键．
3．如图，将整数按规律排列，若有序数对(a，b)表示第a排从左往右第b个数，则(9，4)表示的数是（ ）
A．49B．﹣40C．﹣32D．25
【答案】B
【分析】根据有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，对如图中给出的有序数对和（3，2）表示整数5可得规律，进而可求出（9，4）表示的数．
【详解】解：根据有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，
对如图中给出的有序数对和（3，2）表示整数5可知：
（3，2）：；
（3，1）：；
（4，4）：；
…
由此可以发现，对所有数对（m，n）（n≤m）有，．
表示的数是偶数时结果为负数，奇数时结果为正数，
所以（9，4）表示的数是：．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律．
4．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知纵坐标的变化规律为1，0，2三个一循环，则根据2019÷3=673即可得到答案.
【详解】解：由题意可知横坐标的变化规律为每次加1，纵坐标每3次一循环，
∵2019÷3=673，
∴经过第2019次运动后，动点的坐标是.
故选C.
【点睛】本题主要考查坐标变化规律，解此题的关键在于根据题意准确找到其规律.
5．关于平面直角坐标系，有以下说法：①坐标平面内的点可以用有序数对来表示；②若a大于0，b不大于0，则点在第三象限；③坐标原点不属于任何象限；④当时，点在第四象限，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据坐标平面内的点以及象限内，坐标轴上点的特点找到正确命题的个数即可．
【详解】解：①坐标平面内的点可以用有序数对来表示，说法正确；
②若a大于0，b不大于0，则，，所以点在第四象限，故②错误；
③坐标原点不属于任何象限，说法正确；
④当时，，可能为正，也可能为负，所以点，在第四象限或第一象限，原说法错误；
综上，可知正确的个数为2．
故选B．
【点睛】本题涉及到的知识点为：坐标平面内的点与有序数对是一一对应的；四个象限的点的坐标的特征为：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负；轴上点的纵坐标均为0．
6．下列四个命题：① 任何实数都有立方根；②在平面直角坐标系中，点（2，4）和点（4，2）代表的位置相同；③ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④ x＝－2是不等式2－3x<0的一个解．其中正确的有：________．
【答案】① ③
【分析】根据立方根的意义可对①作出判断；根据点坐标的意义可对②作出判断；根据平行线的性质可对③作出判断；根据一元一次不等式的解法可对④作出判断．
【详解】解：① 任何实数与它的立方是一一对应的，所以任何实数都有立方根，正确；
②在平面直角坐标系中，平面上的点与有序实数对是一一对应的，所以点（2，4）和点（4，2）代表的位置不相同，错误；
③根据平行线的性质，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；
④解不等式2－3x<0可得，所以x＝－2不是不等式2－3x<0的解，错误；
故答案为① ③．
【点睛】本题考查实数、平面直角坐标系、平行线性质的综合应用，熟练掌握立方根和点坐标的意义、平行线的性质及一元一次不等式的解法是解题关键．
7．将一组数，，3，，，…．．按下面的方式进行排列：
，，3，，；
，，，，；
．．．．．
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为_____．
【答案】（6，2）
【分析】每相邻的二次根式的被开方数是3的倍数，故求90÷3=30，一行5个数得30÷5=6，位于第六行第五个数，进而得位于第六行第二个数．
【详解】解：一行5个数，可得90÷3=30，
30÷5=6，
∴位于第六行第五个数，记作（6，5），
∵这组数中最大的有理数是=9，
∴位于第六行第二个数，记作（6，2）．
【点睛】本题考查了算术平方根和数字变化规律，掌握算术平方根的定义，根据数字变化找出规律是解题关键．
8．下图显示了10名同学平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：小时）
（1）图中同学A每周用于阅读课外书的时间是7小时，则该同学每周用于看电视的时间为__________小时；
（2）如果设平均每周用于阅读课外书的时间超过用于看电视的时间的同学为a名，设平均每周用于阅读课外书的时间少于用于看电视的时间的同学为b名，则的值为______________．
【答案】 2 1
【分析】（1）根据图中点有序实数对的对应数字解答；
（2）利用图中对应数字得到a及b的值即可求值．
【详解】（1）同学A每周用于阅读课外书的时间是7小时，图中对应的每周用于看电视的时间为2，
故答案是：2；
（2）由题意得，a=4，b=5，所以b－a=1，
故答案是：1．
【点睛】此题考查了有序实数对，利用有序实数对解决实际问题，解答此题需正确理解题意，正确读图．
9．如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿 的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点则点的坐标是________.
【答案】
【分析】根据坐标点的变化规律可知每8个点的位置一循环，由此先确定点与位置类似，再由类似位置点的坐标变化规律确定点的坐标即可.
【详解】解：，即点循环了252次后又移动了3个单位，所以其与位置类似，与位置类似的一系列点的坐标分别为，可推断出与位置类似的一系列点为，其坐标为 ，
∴，其坐标为即.
故答案为
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中动点的规律探索，由点的移动确定其位置及坐标的变化规律是解题的关键.
10．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图．则点A22的坐标为__．
【答案】（11，1）．
【分析】观察图形可知，A4，A8都在x轴上，求出OA4、OA8以及OA20的长度，然后写出坐标即可；根据以上规律写出点A4n的坐标即可．
【详解】由图可知，A4，A8都在x轴上，
∵小蚂蚁每次移动1个单位，
∴OA4=2，OA8=4，则OA20=10，
∴A22(11，1)，
故答案为(11，1)．
【点睛】本题主要考查了点的变化规律，比较简单，仔细观察图形，确定出A4n都在x轴上是解题的关键．
11．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(-1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（______，______），B→C（______，______），D→______（-4，-2）；
（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，-1），（-2，+3），（-1，-2），请在图中标出P的位置；
【答案】（1）+3，+4；+2，0；A；（2）见解析
【分析】（1）根据规定及实例可知A→C记为（+3，+4）B→C记为（+2，0）D→A记为（-4，-2）；
（2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；
【详解】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负，
∴A→C记为（+3，+4）B→C记为（+2，0）D→A记为（-4，-2）；
（2）根据行走路线可得：P点位置如图所示．
【点睛】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．
12．如图，在平面直角坐标系中.
（1）请直接写出点、两点的坐标：：___________；：___________；
（2）若把向上平移3个单位，再向右平移2个单位得，请在上图中画出，并写出点的坐标___________；
（3）求的面积是多少.
【答案】（1）A(-1,-1),B(4,2)；（2）见解析;（3）7.
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（3）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：（1）点的坐标为：；
点的坐标为：；
（2）如图所示：即为所求，
点的坐标为：；
（3）的面积是：
.
【点睛】此题考查作图-平移变换，解题关键在于掌握作图法则.
13．如图,在直角坐标系中,点A． C分别在x轴、y轴上,CB∥OA，OA=8,若点B的坐标为.
(1)直接写出点A， C的坐标；
(2)动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位的速度向右运动，当直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分时停止运动，求P点运动时间；
(3)在(2)的条件下，点P停止运动时，在y轴上是否存在一点Q，连接PQ，使三角形CPQ的面积与四边形OABC的面积相等?若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（8，0），C（0，4）；（2）3秒；（3）Q（0，12）或Q（0，-4）．
【分析】（1）根据线段的长和线段的特点确定出点的坐标；
（2）根据S△POC=S 四边形OABC，列式求出OP即可；
（3）根据四边形OABC的面积求出△CPQ的面积是24，得到CQ=8，最后求出点Q的坐标．
【详解】（1）∵点A在x轴上，OA=8．
∴A（8，0），
∵CB∥OA，且B（4，4）
∴OC=4
∵C在y轴上，
∴C（0，4）；
（2）如图1，设OP=a，
∵S△POC=S四边形OABC，
∵CB=4，OC=4，OA=8，
∴×a×4=× (4+8)×4，
a=6，
即OP=6，
∴点P的运动时间为：=3秒；
（3）存在，
由（2）有OP=6，
∴S△CPQ=CQ×OP=S四边形OABC=24，
∴CQ=8，
∵C（0，4），
∴Q（0，12）或Q（0，-4）．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了线段长的求法，点的坐标的确定，三角形四边形面积的计算，解本题的关键是三角形OPC面积的计算．
14．已知点A（a，0）和B（0，b）满足（a-4）2+|b-6|=0，分别过点A、B作x轴、y轴的垂线交于点C，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-B-C-A-O的路线移动
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）当点P移动了6秒时，直接写出点P的坐标；
（3）连结（2）中B、P两点，将线段BP向下平移h个单位（h＞0），得到BP，若BP将四边形OACB的面积分成相等的两部分，求h的值．
【答案】（1）A（4，0），B（0，6），C（4，6）；（2）P（4，4）；（3）h的值为2．
【分析】（1）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后写出点A、B的坐标，再根据矩形的性质写出点C的坐标；
（2）求出点P运动的路程，然后确定出点P在AC边上并求出AP的值，再写出点P的坐标即可；
（3）根据平移的性质和矩形的性质表示出BB′、CP′然后根据面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：（1）由非负数的性质得，a-4=0，b-6=0，
解得a=4，b=6，
所以，A（4，0），B（0，6），C（4，6）；
（2）点P运动的路程=2×6=12，
所以，点P在边AC上，
AP=6+4+6-12=4，
P点的位置如图：P（4，4）；
（3）如图：∵PP′=BB′=h，
∴CP′=h+2，
∵B′P′将四边形OACB的面积分成相等的两部分，
∴ •（h+h+2）•4=×4×6，
解得h=2．
答：h的值为2．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，矩形的对边相等，平移的性质，比较简单，（3）表示出矩形被分成的两个部分的边长然后列出方程是解题的关键.
15．如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为.
（1）过点作轴的垂线，垂足为，在的延长线上截取，平移线段使点移动到点，画出平移后的线段；
（2）直按写出两点的坐标；
（3）画出以线段为斜边的等腰直角三角形，并使点与点分别位于边所在直线的两侧，若点在的三边上运动，直接写出线段长的最大值，以及相应点的坐标.
【答案】（1）见解析；（2），；（3） 3 ， .
【分析】（1）按照平移作图的方法作图即可；
（2）根据平移后的图形，结合平面直角坐标系直接写出C，D点的坐标即可；
（3）结合图形回答问题即可.
【详解】（1）画图见图2
（2），
（3）画出符合题意的，线段长的最大值为 3 ，相应点的坐标为.
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标特点是解题的关键．
点所在的象限或坐标
第一象限
第一象限
第一象限
第一象限
原点
X轴
Y轴
点的横坐标
+
-
-
+
0
任意实数
0
点的纵坐标
+
+
-
-
0
0
任意实数
第1列
第2列
第3列
第4列
……
第1行
1
2
5
10
……
第2行
4
3
6
11
……
第3行
9
8
7
12
……
第4行
16
15
14
13
……
第5行
……
……
……
……
……