高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算表格教案设计

教师姓名

单位

学段

高中

学科

数学

适用年级

高一年级

授课时间

课型

新授课

授课时数

题目

6.2.4向量的数量积（1）

课标要求

平面向量数量积的坐标运算，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面，中的距离、垂真、角度等问题提供全新的手段它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧蜜联系起来，是全章重点内容之一，由于向量数量积涉及向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来。在高考中，向量数量积的坐标运算是一个热点，在选择题、填空题、解答题中都有考查。

教材分析

本节内容是在前面学习了向量数量积的定义、性质、运算律的基础上，给出了向量数量积的坐标运算公式、模的公式、两向量的夹角公式、平面中两点之间的距离公式、两向量垂直的坐标公式，从而使向量数量积的坐标运算代数化。

学情分析

    在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，因此如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题本节课是在学生已经掌握了平面向量数量积的含义及运算律的基础上进行教学的。

核心素养目标

1.通过物理中功的实验，引出平面向量数量积的概念及物理意义，让学生会计算平面向量的数量积。

2.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；求平面向量的数量积。

3.会指出两个具体向量的夹角并掌握两个向量夹角的范围，会画出两个向量的夹角。通过数量积的引入和应用，初步体会知识的发生、发展的过程过程，培养学生的思维习惯。

教学重点

平面向量数量积的定义及投影向量。

教学难点

平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。

教学策略

1.探究与发现

2.自主练习与指导

教具准备

多媒体课件，班班通，教材

教学方法

启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。

学习方法

从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。

教学过程

一、环节一：复习回顾，温故知新

教师活动：

提出问题，引导、检查学生学习情况

1.向量的数乘的定义：

【答案】一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：

（1）；

（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。

2.向量的数乘运算律：

【答案】设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）

（2）

（3）

学生活动：

带着已有的知识储备，进入新的学习内容

活动意图说明：

通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

环节二：知识探究（一）：向量的夹角的定义

教师活动：

思考1： 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？

【答案】

思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？

【答案】标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。

1.向量的夹角的定义：

已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则叫做向量的夹角。

显然，当时，同向；当时，反向。

如果的夹角是，我们就说垂直，记作。

思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？

【答案】功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

学生活动：

回顾学习过的物理知识，独立思考，回答问题

通过思考，浏览教材，总结向量夹角的定义

通过功，总结出向量数量积，为下下面的知识的学习做铺垫

活动意图说明：

通过思考，由物理知识引入本节知识，提高学生的解决问题、分析问题的能力。建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。让学生进一步理解数量积的定义，提高学生理解问题的能力。

环节三：知识探究（二）：数量积的定义

教师活动：

2.数量积的定义：

已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即。

规定：零向量与任一向量的数量积为。

说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.

（2）中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”；

（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°，180°]。

思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？

【答案】当0°≤θ＜90°时，为正；

当90°＜θ≤180°时，为负；

当θ=90°时，为零。

结论：数量积符号由的符号所决定。

学生活动：

根据老师引导，总结、归纳向量数量积的定义，独立思考，回答老师提问。

通过向量数量积定义，独立思考，向量数量积的正负。

活动意图说明：

通过思考，让学生进一步理解数量积的定义，建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。

环节四：知识探究（三）：投影向量的定义

教师活动：

3. 投影向量的定义：

如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影 (project).,叫做向量在向量上的投影向量。

如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则 就是向量在向 量上的投影向量。

探究：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，

那么与之间有怎样的关系？

【答案】。

综上可得，对于任意的，都有。

探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？

设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，

则：（1），

（2）

（3）当向量共线同向时，；当向量共线反向时，。特别地，或。

（4）

学生活动：

学生可根据老师提示，作图思考答案；

根据老师引导，及对教材的预习，总结、概括投影向量的定义；

在学习过程中，要时刻锻炼自己归纳、总结知识点的能力，理解单位向量的含义；

活动意图说明：

通过探究，进一步理解投影向量，提高学生的观察、概括能力。

环节五：巩固练习

教师活动：（组织全部学生参与到解题的过程中，并且及时的给与引导、鼓励）

（一）例题讲解

例9.已知的夹角，求。

例10.设，求的夹角。

（二）达标检测

1．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝(　　)

A．20　   B．－20    C．20      D．－20

2．设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是(　　)

A．e1·e2＝1      B．e1·e2＝－1

C．|e1·e2|＝1     D．|e1·e2|<1

3．在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形      B．钝角三角形

C．直角三角形      D．无法确定

4.已知为单位向量，且的夹角为，求向量在上的投影向量。

学生活动：

独立思考，根据老师引导提示，完成例9、例10的解答过程，并举手讲解；

勤动手，画出具体图形，进行解题；

1.解：·＝||||cos 120°＝5×8×＝－20.【答案】　B

2.解：e1·e2＝|e1||e2|cos<e1，e2>＝±1. 【答案】　C

再次复习单位向量的含义及应用；

3.解：在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．【答案】　C

5.解：向量在上的投影向量为

。

及时复习投影向量的定义，独立思考解答题目，注重解题步骤的书写。

活动意图说明：

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

环节六：课后小结

1. 向量的数量积的定义；2.投影向量；  3.数量积的性质;

作业设计

习题6.2  10,18题        练习册

板书设计

6.2.4向量的数量积（1）

复习巩固    “数量积”概念        向量的夹角

例9             例10

投影向量        巩固练习

教学反思与改进

优点：

不足：

改进措施：

教师姓名

单位

学段

高中

学科

数学

适用年级

高一年级

授课时间

课型

新授课

授课时数

题目

6.2.4向量的数量积（2）

课标要求

平面向量数量积的坐标运算，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面，中的距离、垂真、角度等问题提供全新的手段它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧蜜联系起来，是全章重点内容之一，由于向量数量积涉及向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来。在高考中，向量数量积的坐标运算是一个热点，在选择题、填空题、解答题中都有考查。

教材分析

本节内容是在前面学习了向量数量积的定义、性质、运算律的基础上，给出了向量数量积的坐标运算公式、模的公式、两向量的夹角公式、平面中两点之间的距离公式、两向量垂直的坐标公式，从而使向量数量积的坐标运算代数化。

学情分析

    在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，因此如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题本节课是在学生已经掌握了平面向量数量积的含义及运算律的基础上进行教学的。

核心素养目标

1.通过物理中功的实验，引出平面向量数量积的概念及物理意义，让学生会计算平面向量的数量积。

2.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；求平面向量的数量积。

3.会指出两个具体向量的夹角并掌握两个向量夹角的范围，会画出两个向量的夹角。通过数量积的引入和应用，初步体会知识的发生、发展的过程过程，培养学生的思维习惯。

教学重点

平面向量数量积的定义及投影向量。

教学难点

平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。

教学策略

1.探究与发现

2.自主练习与指导

教具准备

多媒体课件，班班通，教材

教学方法

启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。

学习方法

从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。

教学过程

教师活动：

提出问题，引导、检查学生学习情况

【复习引入】

回顾：1.向量、的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？

  【预设的答案】，其中θ为向量、的夹角。

回顾2.根据公式表达出其中各个向量

活动意图说明：

通过复习上节所学的数量积以及投影有关知识，引入本节课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

环节二：知识探究(一)

教师活动：

探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？

教师展示数学乘法运算的运算律，及前两节所学的向量的线性运算律，学生类比出数量积的一些运算律.

对于向量、、和实数λ，、为任意实数，则有：

（1）

（2）

二、（3）

活动意图说明：

通过思考，类比的方法，让学生写出向量之间的运算律，提高学生的解决问题、分析问题的能力。建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。让学生进一步理解数量积的定义，提高学生理解问题的能力。

学生活动：

带着已有的知识储备，进入新的学习内容，学生答案：

环节三：知识探究（二）

教师活动：尝试说明上述猜想正确与否，并给出证明：

向量数量积的运算律：

（1）·＝·；（交换律） 

（2）(λ)·=λ(·)；（数乘结合律）

（3）(+)·＝·＋·（分配律）

活动意图说明：

通过思考，让学生进一步理解向量数量积的运算律，建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。

学生活动:

要求：学生以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

环节四：例题讲解与巩固练习

教师活动：（组织全部学生参与到解题的过程中，并且及时的给与引导、鼓励）

（一）例题讲解

例11：我们知道，对于任意的，恒有

对于任意向量、,是否也有下面类似的结论？

(+·＝(+)2=2+2＋2    

例12：已知、的夹角是，求(+2)·(-3)

课堂练习

1．已知向量、满足、且·＝2，则、的夹角θ为(　　)

2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝____________，·＝________。

3．已知，·＝12，方向上的单位向量为e，则向量在向量上的投影向量为________，投影的数量为________。

活动意图说明：

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

学生活动：

根据老师引导，总结、学生独立思考，想出一些证明方法以及过程，顺便书写给老师的书写过程对比。

环节六：课后小结

1.向量的数量积公式；2.数量积的运用;

3.向量的数量积公式；4.数量积的运用;

作业设计

习题6.2  11,19题

 板书设计                   6.2.4向量的数量积（2）

复习巩固            向量的夹角

例11             例12

教学反思：优点：

不足：

改进措施：