人教版四年级下册三角形的特性优秀精练

第11讲 三角形的特性（讲义）

（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）

1、三角形的定义。

由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连），叫作三角形。三角形有3条边，3个角和3个顶点。

2、三角形的高和底。

从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作三角形的底。任意一个三角形都有3条高。

3、三角形的特性。

三角形具有稳定性。

4、两点间的距离。

两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫作两点间的距离。

5、三角形3条边的关系。

三角形任意两边的和大于第三边。

1、三角形的高和底是对应关系。

2、为三角形所作的高必须与所对的底边相交成直角。

3、只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形，等于或者小于第三边都不能围成三角形。

4、当三角形3条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小就完全确定，不会改变。

5、判断3条线段能否围成三角形，要全面比较，只有当任意两边的和大于第三边时，才能围成三角形。

6.、两点间的距离是两点间的线段的长度，不是两点间的线段。

【易错一】亭亭尝试用一根6厘米长的小棒和两根3厘米长的小棒首尾相连地围一个三角形，结果发现（       ）。

【分析】

根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。

【详解】

3＋3＝6，两边之和等于第三边了，不符合三角形三边关系，所以用这三根小棒围不成三角形。

故答案为：D

【点睛】

解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可。

【易错二】王伯伯给花园围竹篱笆，（       ）方法更牢固。

A． B． C．

【分析】

根据四边形具有易变性，三角形具有稳定性的性质，即可选择正确答案。

【详解】

A．王伯伯给花园围成竹篱笆是四边形，四边形具有易变性。

B．王伯伯给花园围成竹篱笆是四边形，四边形具有易变性。

C．王伯伯给花园围成竹篱笆是三角形，三角形具有稳定性。

由三角形的特性可知：C种方法最牢固；因为三角形具有稳定性。

故选：C

【点睛】

此题考查了三角形的稳定性，要注意三角形的稳定性在实际生活中的应用。

【易错三】从学校到少年宫有三条路可以走（图中①、②、③分别代表三条路），哪一条路最近？为什么？

【分析】从学校到少年宫有三条路可以走，只有中间的路线②最近，因为“两点间所有连线中线段最短”，据此解答即可。

【详解】从学校到少年宫，选择中间的那条路最近，也就是路②，因为两点间所有连线中线段最短。

【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点是：两点之间线段最短。

【易错四】一根长280厘米的铜条，截成若干段后，首尾相连接拼成等腰三角形。已知等腰三角形有两条边分别是10厘米和15厘米，请你先确定第三条边的长度，再计算可以拼成这样的等腰三角形多少个？（先画一画草图，再计算，不计损耗。）

【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，可确定这个等腰三角形的腰是多少，据此解答。

【详解】（1）因为10＋10＝20＞15，10＋15＞10；所以10厘米、10厘米、15厘米能够成三角形；

所以当第三边是10厘米时，可以拼

280÷（10＋10＋15）

＝280÷35

＝8（个）

（2）因为15＋15＝30＞10，10＋15＞15；所以15厘米、15厘米、10厘米也能能够成三角形。

所以当第三边是10厘米时，可以拼

280÷（15＋15＋10）

＝280÷40

＝7（个）

答：当第三边是10厘米时，可以拼8个；当第三边是15厘米时，可以拼7个。

【点睛】本题的关键是根据三角形的任意两边之和大于第三边来确定这个等腰三角形的腰是多少。

【易错五】从下面每组小棒中，任意选出三根，摆出两种不同的三角形。（单位：厘米）

【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。

【详解】

4＋4＞5，所以从第一组中选出长度为4cm、4cm、5cm的小棒摆出三角形；

4＋4＞6，所以从第二组中选出长度为4cm、4cm、6cm的小棒摆出三角形。

【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，需熟练掌握。

一、选择题

1．下面图形中，三角形底边上的高画法正确的是（    ）。

A．B．C．

2．下面的说法中，正确的是（    ）。

A．在一条线段上点一点可以把这条线段分成2条线段

B．画一个135°的角，既可以用量角器画，也可以用三角尺画

C．三角形、平行四边形和梯形都有无数条高

3．如图，平行线间有3个图形，它们的（    ）一定相等。

A．高 B．底 C．周长 D．面积

4．数一数，图中共有（    ）个三角形。

A．4 B．5 C．6

5．明明和静静用下面的三根小棒分别摆了一个三角形，这两个三角形（    ）。

A．形状相同，大小不等 B．形状相同，大小相等

C．形状不同，大小相等 D．形状不同，大小不等

6．下面哪个应用不是利用平行四边形的不稳定性特点设计的？（    ）

A． B． C． D．

7．小思要把一根12cm长的铁丝剪成三段，再首尾相接围成一个三角形，他第一剪不能落在点（    ）上。

A．A B．B C．C D．D

8．一个三角形两条边的长度分别是6cm和11cm，第三条边的长度可能是（    ）cm。

A．4 B．7 C．5

二、填空题

9．房屋的屋架设计成三角形是运用了三角形具有(        )的特性。

10．如图，阅读支架的使用是利用了(        )的稳定性。

11．有两根小棒分别是4厘米和6厘米，请你再添上一根________厘米的小棒，就能围成一个三角形。

12．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一共可以围成(        )个不同的三角形。

13．明明不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，如果他只能带其中的一块，他需要带去的是第(        )块。

14．从三角形的一个(        )到它的对边作一条(        )，顶点和(        )之间的线段叫作三角形的(        )。

15．如图△ABC中，BC边上的高是线段(          )，AB边上的高是线段(          )。

16．用红、黄、蓝三种颜色的小棒围成一个三角形，若蓝色小棒长5分米，黄色小棒长3分米，则这个三角形的周长最长是(        )分米。（取整分米数）

三、判断题

17．两个三角形，都用3cm、5cm、7cm三根小棒首尾相连围成，这两个三角形形状相同。(        )

18．高压电线杆上的支架做成三角形，是因为三角形具有稳定性。(        )

19．三角形中，虚线是这个三角形底边上的高。(        )

20．用2cm、3cm、4cm这三根小棒能围成一个三角形。(        )

四、作图题

21．画出下面三角形底边上的高。

五、解答题

22．三根小棒长度分别是2cm、3cm和5cm，这三根小棒能拼成一个三角形吗？请说明理由。

23．有一个三角形，它的三条边中有两条边长分别为4厘米、7厘米，它的另一条边长可能是多少厘米？有几种可能？（边长取整数）

24．盖房子时，在窗框未安装好之前，为了防止窗框变形，木工师傅常在窗框上斜钉一根木条，如果你是木工师傅，这根木条该怎样钉？在下图中画出来并说明理由。

25．某体育器材厂家生产篮球架。如下图所示，如果厂家想让篮球架更牢固，你会有什么建议？请先作图再说明。

（1）在“篮球架”上作图。

（2）这样设计的道理：_________________________。

26．东东想把11厘米长的铁丝剪成三段围成一个三角形（长度取整厘米数），可以怎么剪？请说明理由。

27．已知一个三角形的两条边分别是6厘米和10厘米，如果第三边的长恰好是整数，那么，第三边最长是多少厘米？最短又是多少厘米？（取整厘米数）

28．学校门口的指示牌歪了请你设计一种加固方案画在下图中，并说明这样画的理由。

理由是：（    ）

参考答案

1．B

【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，依此进行判断即可。

【详解】A．，原三角形中的高的画法错误；

B．，此三角形中的高的画法正确；

C. ，原三角形中的高的画法错误。

故答案为：B

【点睛】熟练掌握三角形的高的画法是解答此题的关键。

2．B

【分析】先对每个选项中的说法进行分析并判断，然后选择正确的一项即可。

A．线段有两个端点，可以测量出长度，依此判断。

B．用量角器画角的步骤是：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器100°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；三角尺上，90°＋45°＝135°，依此判断。

C．从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底；从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底；梯形上底到下底的距离是梯形的高；依此判断。

【详解】A．当点的这一个点与线段的端点重合时，此时只有一条线段，即题干说法错误。

B．画一个135°的角，既可以用量角器画，也可以用三角尺画，即题干说法正确。

C．三角形只有1条高，平行四边形和梯形都有无数条高，即题干说法错误。

故答案为：B

【点睛】此题考查了线段的特点，用量角器和三角尺画角的方法，以及三角形、平行四边形和梯形的高，应先对每个选项中的说法分别进行判断再选择。

3．A

【分析】根据平行和垂直的性质和特征可知：两条平行线中可以画无数条垂线段，这些线段的长度都相等；这些垂直线段的长度叫做这两条平行线之间的距离；据此观察图形可知，这三个图形的高相等。

【详解】根据分析可知，

这三个图形的高相等。

故答案为：A

【点睛】正确理解：两条平行线之间的垂直线段处处相等，这些垂直线段的长度叫做这两条平行线之间的距离；是解答此题的关键。

4．C

【分析】单个的三角形有3个，由2个三角形组成的大三角形有2个，由3个三角形组成的大三角形有1个，依此计算出三角形的总个数即可。

【详解】3＋2＋1＝6（个），即图中共有6个三角形。

故答案为：C

【点睛】熟练掌握三角形的特点是解答本题的关键。

5．B

【分析】三角形的三边长度确定了，三角形的形状和大小就确定了，三角形具有稳定性。

【详解】根据分析可知：这两个三角形形状相同，大小相等。

故答案为：B

【点睛】熟悉三角形具有稳定性的特征是解答此题的关键。

6．B

【分析】平行四边形具有不稳定性，容易变形；三角形具有稳定性。两种图形的性质经常被人们用于生活中。据此解答。

【详解】A．图中物体是伸缩门，伸缩门运用平行四边形的不稳定性，当需要打开门时，可以缩成较小的一堆，占地较少；

B．图中物体属于起重机，起重机运用三角形的稳定性，支撑起重吊臂吊起重物；

C．图中物体属于升降机，升降机运用平行四边形的不稳定性，将物体从低处升到高处；

D．图中物体属于衣架，此衣架运用平行四边形的不稳定性，当不需要时，可以将其收起来，占地较少。

综上可知，B选项中物体没有运用平行四边形的不稳定性。

故答案为：B

【点睛】本题主要考查平行四边形的不稳定性，属于基础知识，要熟练掌握。

7．C

【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此解答即可。

【详解】如果第一剪落在点C，一条边的长度为6cm，

另外两边之和：12－6＝6（cm）

两边之和等于第三边，不符合任意两边之和大于第三边的条件，所以第一剪不能落在点C点。

故答案为：C

【点睛】本题考查三角形的三条边的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边是解决本题的关键。

8．B

【分析】三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此计算并选择即可。

【详解】11－6＝5（cm），6＋11＝17（cm）

A．4cm＜5cm＜17cm，因此第三条边的长度不可能是4cm。

B．5cm＜7cm＜17cm，因此第三条边的长度可能是7cm。

C．5cm＝5cm，因此第三条边的长度不可能是5cm。

故答案为：B

【点睛】熟练掌握三角形三边的关系是解答本题的关键。

9．稳定性

【分析】三角形三条边互相支撑，形成了一个稳定的结构，三角形具有稳定性。

【详解】三角形具有稳定性，房屋的屋架设计成三角形是运用了三角形具有稳定性的特性。除了房屋屋架以外，生活中三角形稳定性的运用还有很多，如自行车的三脚架、起重机的三角形吊臂等等。

【点睛】此题主要考查学生对三角形稳定性实际运用的掌握。

10．三角形

【分析】三角形具有稳定的特性，不易变形的特点，据此解答。

【详解】阅读支架的使用是利用了三角形的稳定性。

【点睛】本题考查了三角形的稳定性的应用，需熟练掌握。

11．3

【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。据此分析解题。

【详解】6－4＜第三边＜6＋4

2＜第三边＜10，即大于2厘米，小于10厘米即可。

所以，再添上一根3厘米的小棒，就能围成一个三角形。（答案不唯一）

【点睛】掌握三角形的三边关系是解题的关键。

12．8

【分析】已知铁丝的总长是15厘米，即三角形三条边的和是15厘米，且三条边中最长的边最大只能是7厘米，如果是8厘米的话，就不符合两边之和大于第三边的说法了。所以围绕着最长边是7厘米来判定其他两边的长度即可。

【详解】由分析可知：

第一种：5厘米、5厘米、5厘米

第二种：4厘米、5厘米、6厘米

第三种：3厘米、5厘米、7厘米

第四种：4厘米、4厘米、7厘米

第五种：4厘米、3厘米、7厘米

第六种：3厘米、6厘米、6厘米

第七种：2厘米、6厘米、7厘米

第八种：1厘米、7厘米、7厘米

则一共可以围成8个不同的三角形。

【点睛】本题主要考查三角形三边的关系。三角形任意两条边的和大于第三边，两边之差小于第三边。

13．③

【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案。

第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，延长两条边，不能确定边长，不能带第①块去。

第②块，仅保留了原三角形的一部分边，延长两条边，一边能相交，另一边不能确定边长，不能带第②块去。

第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了部分边，延长两条边，能相交，能确定边长，能确定原来三角形，所以应该拿这块去。

【详解】明明不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，如果他只能带其中的一块，他需要带去的是第（③）块。

【点睛】想到通过延长边长确定原来的三角形是解答此题的关键。

14．     顶点     垂线     垂足     高

【分析】根据三角形的高的含义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。因为三角形有三个顶点，三条边，根据定义可以得知，三角形有三条高。据此解答即可。

【详解】由分析可知，从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

【点睛】此题考查了学生对三角形的高的定义的掌握。牢记三角形高的定义是解决此题的关键。

15．     AE     CD

【分析】经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，直角三角形一条直角边上的高是另一条直角边；钝角三角形钝角边上的高在其反方向延长线上，据此解答。

【详解】如图△ABC中，BC边上的高是线段（AE），AB边上的高是线段（CD）。

【点睛】本题是考查作三角形的高，注意高要与对应的底边对应起来。

16．15

【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，先求出红色小棒最长是多少分米，再把三个小棒的长度相加，据此即可解答。

【详解】5＋3＝8（分米）

5－3＝2（分米）

红色小棒大于2分米，小于8分米，最长是7分米。

5＋3＋7

＝8＋7

＝15（分米）

这个三角形的周长最长是15分米。

【点睛】熟练掌握三角形三边间的关系是解答本题的关键。

17．√

【分析】三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，此题依此判断即可。

【详解】3cm ＋5cm＞7cm；7cm －3cm＜5cm，

3cm＝3cm，5cm＝5cm，7cm＝7cm，

因此3cm、5cm、7cm三根小棒首尾相连围成的两个三角形形状相同。

故答案为：√

【点睛】熟练掌握三角形三条边之间的关系是解答本题的关键。

18．√

【分析】三角形具有稳定性的特征，生活中常常利用三角形这一特性对物体进行稳固，据此判断。

【详解】三角形具有稳定性，所以题目说法正确。

故答案为：√

【点睛】解决本题的关键是正确理解三角形的稳定性特征。

19．×

【分析】根据过三角形指定底边的对角顶点向指定底边作垂线，顶点与垂足间的线段，就是三角形指定底边上的高，结合题意分析解答即可。

【详解】图中虚线不是从顶点向指定底边作垂线，所以不是这个三角形底边上的高。

故答案为：×

【点睛】本题是考查作三角形的高，注意作高通常用虚线，并标出垂足。

20．√

【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，据此判断。

【详解】因为2＋3＞4，所以用2cm，3cm，4cm这三根小棒能围成一个三角形。所以原题说法正确。

故答案为：√。

【点睛】熟练掌握三角形三边之间的关系是解答本题关键。

21．见详解

【分析】从与三角形底边相对的顶点作底边的垂线段即为三角形底边上的高，据此画图即可。

【详解】如图：

【点睛】熟练掌握三角形高的画法是解答本题的关键。

22．不能；理由见详解

【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，进行分析。

【详解】2＋3＝5（cm）

答：这三根小棒不能拼成一个三角形，因为有两条边的和等于第三条边。

【点睛】关键是理解三角形三边之间的关系。

23．4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米或10厘米；7种

【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形两边的差一定小于第三边；进行解答即可。

【详解】7－4＝3（厘米）

7＋4＝11（厘米）

所以，3＜另一条边的长度＜11；

答：它的另一条边长可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米或10厘米，有7种可能。

【点睛】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形的特性是解题的关键。

24．画图见详解；原来的窗框是长边形，容易变形，这样钉木条，利用了三角形不容易变形的特性（稳定性）。

【分析】窗框为长方形，长方形容易变形，因此为了防止窗框变形，则应使窗框更加稳定，而三角形具有稳定性，依此画图并解答即可。

【详解】根据分析可知，如果我是木工师傅，这根木条应该这样钉：

理由：原来的窗框是长边形，容易变形，这样钉木条，利用了三角形不容易变形的特性（稳定性）。

【点睛】熟练掌握三角形的稳定性及应用是解答此题的关键。

25．（1）图见详解过程

（2）三角形具有稳定性

【分析】（1）要使篮球架更为牢固，则在篮球架上做一个三角形结构，据此作图即可；

（2）根据三角形具有稳定性，解答此题即可。

【详解】（1）如图所示：

（2）这样设计的道理：三角形具有稳定性。

【点睛】熟练掌握三角形的特性，是解答此题的关键。

26．3厘米、4厘米、4厘米；3厘米、4厘米、4厘米三段关系符合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以可以围成三角形。

【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。把11厘米取整厘米数分割线段验证即可。

【详解】11厘米分为：11＝3＋4＋4，3＋4＞4，4－3＜4；

取整厘米数：3厘米、4厘米、4厘米，三段可以围成三角形，三边关系符合三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。

【点睛】本题考查三角形三边关系，掌握三角形三边的关系是解题的关键。

27．15厘米，5厘米

【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；进行解答即可。

【详解】10＋6＝16（厘米）

10－6＝4（厘米）

则第三条边应比16厘米短，比4厘米长。因为要求取整厘米数，所以第三条边最长是15厘米，最短是5厘米

答：第三条边最长是15厘米，最短是5厘米。

【点睛】解答此题的关键是根据三角形的三边关系进行分析、解答。

28．图见详解；加根木条后，木条、框架和牌子构成一个三角形，三角形具有稳定性，不易变形。

【分析】根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状。

【详解】

理由是：加根木条后，木条、框架和牌子构成一个三角形，三角形具有稳定性，不易变形。

【点睛】本题主要考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题。