高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数优秀当堂达标检测题

第14讲 对数函数

【知识梳理】

知识点一　对数函数的概念

　一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

知识点二　对数函数的图象与性质

对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

【典型例题】

考点一：对数函数的定义域与定点

1. （2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得.

【详解】由有意义可知，解得且，

所以a的取值范围为.

故选：B

2. （2021·江苏·高一专题练习）函数（且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则__________．

【答案】

【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式．

【详解】对于函数，令，

解得，此时，

因此函数的图象恒过定点,

设幂函数，

在幂函数的图象上，

，解得．

．

故答案为：

考点二：对数型函数单调性

3. （2022·江苏南通·高二期中）函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复合函数的单调性，以及对数函数的定义域，即可求得函数的单调区间.

【详解】因为在单调递增，要满足题意，只需：

，且，解得.

故函数的单调递增区间为.

故选：.

4. （多选)（2022·江苏·句容碧桂园学校高三期中）已知函数,则下列结论中正确的是（    ）

A．在(0,1)单调递增

B．在(1,2)单调递减

C．的图像关于直线对称

D．的图像关于点(0,1)对称

【答案】ABC

【分析】先求定义域,用对数运算性质化为对数型复合函数,根据复合函数的单调性判断A,B的正误;再根据和的关系判断函数的对称性.

【详解】解：由题意知,的定义域为,

,

由复合函数的单调性知,函数在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,

所以A,B正确;

∵函数,

∴,即,

即的图像关于直线对称,

所以C正确,D错误．

故选:ABC.

5. （2021·江苏·高一专题练习）已知是上的减函数，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由为上的减函数，知递减，递减，

且，从而得，解出即可．

【详解】因为为上的减函数，

所以有，

解得：，

故选：A.

6. （2021·江苏·高一专题练习）若函数在区间单调递减，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由对数函数的性质可令在是单调递增且，列出不等式组，故可得答案．

【详解】解：因为在单调递减，

所以，函数在单调递减，且函数值非负，

所以函数在是单调递增且，

故 ，解得，

故选：C

7. （2021·江苏·高一专题练习）已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】①当时，根据定义域可知不合题意；②当时，根据二次函数对称轴位置可确定单调性，由可求得的范围，知不合题意；③当时，分别在、和三种情况下，可得单调性，根据可解得的范围；综合三种情况可得结果.

【详解】①当时，，此时定义域为，不合题意；

②当时，令，其对称轴为，

在上单调递减，在上单调递减，

，即，解得：（舍）；

③当时，令，其对称轴为；

⑴若，即时，在上单调递增，在上单调递增，

，即，解得：；

⑵若，即时，在上单调递减，在上单调递减，

，即，解得：（舍）；

⑶若，即时，在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，

，即，解得：（舍）；

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：.

考点三：比较大小

8. （2022·江苏·高二期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指、对函数的单调性求出的范围，即可解出．

【详解】因为，，，所以，．

故选：D．

5．（2022·江苏常州·模拟预测）已知，则正确的大小顺序是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】方法一：作差利用对数的性质即可比较.

【详解】[方法一]：【最优解】作差比较法

因为，所以，

因为，所以，

所以.

故选：B.

[方法二]：构造函数法

，，令，得，所以在上单减，所以，所以b＞a，因为，所以，

因为，所以，所以.

故选：B.

【整体点评】方法一：作差法是最常用的比较大小的方法，是该题的最优解；

方法二：根据式子形式，利用函数的单调性比较大小，也是常用的比较大小的方法，对于处理较难的比较大小问题，是不错的选择，但对于该题作用显得不是很好．

9. （多选）（2021·江苏·高一专题练习）已知正实数，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数，结合单调性求解.

【详解】方法一（筛选法）    由题意，．当，即时，，而，所以，故不成立．当时，，，不成立，故，所以，，故A错误，B正确．，则，，故C正确．，故D不一定正确．

故选：BC．

方法二（构造函数法）    由题意，．设函数，显然在区间上单调递增，故由，得，故，故A错误．，B正确；由，得，故，C正确；，故D不一定正确，

故选：BC．

考点四：对数型不等式的解法

10. （2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）若函数，则不等式的解集是_________．

【答案】

【分析】判断函数的奇偶性与单调性，利用奇偶性与单调性化简不等式，然后由对数函数性质得结论．

【详解】因为，定义域为R，

且，故其为奇函数，

又均为单调增函数，故为R上的单调增函数；

则原不等式等价于，也即，整理得，

解得，故不等式的解集为．

故答案为：．

考点五：存在与恒成立问题

11. （2022·江苏·泰州中学高二阶段练习）已知函数，若不等式在上有解，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，即可得到在上有解，然后结合函数的最值得到的范围．

【详解】解：因为，

所以当时；

当时，；

同理可得，当时，，

综上可知，恒成立，故是偶函数，

函数图象如下所示：

又因为时，是单调增函数，所以不等式在上有解，则在上有解，

即在上有解，即在上有解，

所以且，

所以且，故．

故答案为：．

12. （2019·江苏省新海高级中学高一期中）若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是____________

【答案】

【分析】由的取值范围求出的范围，依题意利用换底公式及参变分离可得对于任意恒成立，根据对勾函数的性质求出，即可得到，再根据对数函数的性质计算可得.

【详解】解：因为不等式对于任意恒成立，

即不等式对于任意恒成立，

因为，所以，

所以不等式对于任意恒成立，

令，，

因为在上单调递减，在上单调递增，所以，

即，

所以，

所以或，

解得或，即；

故答案为：

13. （2022·江苏省灌南高级中学高三阶段练习）对函数，如果存在，使得，则称与为函数图象的一组奇对称点.若（为自然数的底数）存在奇对称点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题可得存在不等于0的根，进而可得，然后利用函数的性质及基本不等式即得.

【详解】由题可得存在不等于0的根，

所以，

因为，

所以，，

∴，

解得，

即实数的取值范围是.

故选：B.

14. （2021·江苏·高一专题练习）对不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】原不等式整理为，令，，在上单调递增，分，，三种情况讨论，最后得出交集即为所求．

【详解】，

即，

令，，

因为在上单调递增，

①时，，即：恒成立，

需要在上恒成立，

而二次函数开口向下，所以需要 ，

解得；

②当时原不等式显然恒成立；

③时，恒成立，即恒成立，

在上恒成立，

又开口向下且对称轴为，

由及可知，

所以在上单调递减，

时，，

所以需要 ，

解得，

综上可得，

的取值范围是，

故选：A．

考点六：实际应用

15. （2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）我们知道，任何一个正实数可以表示成（，），此时（）．当时，是位数．试用上述方法，判断是（    ）位数．（）．

A．607 B．608 C．609 D．610

【答案】C

【分析】先根据题意求对数，化简计算成（）形式，即得结果.

【详解】因为，

所以，其中，

则数的位数是609.

故选：C.

16. （2022·江苏南通·模拟预测）某容量为万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和流出的水均为万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过天后的湖水污染质量分数，已知，其中表示初始湖水污染质量分数.如果，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的以下，至少需要经过天___________.（参考数据：）

【答案】116

【分析】根据题意列不等式，再结合对数计算公式解不等式即可.

【详解】设至少需要经过天，因为要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，所以，又因为，所以，由题意知，，，所以，整理得，，解得，所以至少需要经过116天.

故答案为：116.

考点七：绝对值

17. （2021·江苏·高一专题练习）记在时的最大值为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出的图象，然后讨论与，的大小关系，利用对数函数的性质，得出的解析式，然后求出最小值即可．

【详解】由已知可得，

画出的图象，如下图所示，

当即时，由图象知，在上单调递减，

所以，

当即时，由图象知，在上单调递增，

所以，

当即时，由图象知，在上单调递减，在单调递增，

所以的最大值可能为或，

又，

所以当时，，

当时，，

综上

由对数函数的性质知的最小值为．

故选:A

18. （2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数，则满足的x的取值范围是________．

【答案】.

【分析】结合函数图象，利用复合函数的单调性解不等式.

【详解】因为，则，

因为函数，由有：且，

因为，大致图象如图，

①当且时，，所以，显然满足；

②当时，根据复合函数的单调性法则同增异减可得，单调递减，

当时，根据复合函数的单调性法则同增异减可得，单调递增，

又，，所以根据函数的单调性有：

由,解得：或.

综上，满足的取值范围是.

故答案为：.

考点八：综合应用

19. （2021·江苏·高一专题练习）已知函数

(1)若关于的方程的两个实数根为，，且，求实数的值

(2)若，且在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由得或，结合，即可得出的值；

（2）在上有意义，所以在上恒成立，得，再由在上恒成立令所以解出即可．

(1)

因为，所以，

所以或，解得或．

所以，所以，解得．

(2)

．

因为在上有意义，

所以在上恒成立，即

所以，

又由在上恒成立，

所以在上恒成立．

令．

因为，该函数为开口向上的二次函数，所以

即

整理得

解得或．

所以实数的取值范围是．

20. （2022·江苏省如皋中学高一期末）已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．

(1)求的值；

(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．

【答案】(1)

(2)增区间为 ，减区间为，最大值为

【分析】（1）由一元二次不等式的解集，结合韦达定理可解；

（2）根据复合函数的单调性将问题转化为求内层函数的单调区间问题，然后可得.

【详解】（1）因为有意义时的取值范围为，

所以的解集为，

所以和是方程的两根．

由韦达定理可得，解得．

（2）由（1）知，，

令，

因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时 ，取得最大值

21. （2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）．

(1)求实数b的值；

(2)当a＝2时，若，使得恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用偶函数的性质，可得，整理即可求b的值.

（2）令且，且，问题转化为恒成立，根据对数复合函数的单调性判断的单调性并求出最小值，再应用换元法及二次函数的性质求不等式恒成立时m的范围.

(1)

由题设，，即，

所以，则，可得.

(2)

由（1）及a＝2知：，，

所以在上恒成立，

令且，且，只需恒成立，

而，由在上递增，在上递减，上递增，在定义域上递增，

所以在上递减，上递增，故，

综上，在上恒成立，令，

则在上恒成立，而，故，可得.

【点睛】关键点点睛：第二问，设且，且，将问题转化为恒成立，求参数范围.