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    【同步讲义】(苏教版2019)高中数学必修一:第14讲 对数函数 讲义
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    高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数优秀当堂达标检测题

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    这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数优秀当堂达标检测题,文件包含第14讲对数函数原卷版docx、第14讲对数函数解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共23页, 欢迎下载使用。

    14 对数函数

    【知识梳理】

    知识点一 对数函数的概念

     一般地,把函数ylogax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)

    知识点二 对数函数的图象与性质

    对数函数ylogax(a>0,且a≠1)的图象和性质如下表:

    定义

    ylogax (a>0,且a≠1)

    底数

    a>1

    0<a<1

    图象

    定义域

    (0,+∞)

    值域

    R

    单调性

    (0,+∞)上是增函数

    (0,+∞)上是减函数

    共点性

    图象过定点(1,0),即x1时,y0

    函数值特点

    x(0,1)时,y(0)

    x[1,+∞)时,y[0,+∞)

    x(0,1)时,y(0,+∞)

    x[1,+∞)时,y(0]

    对称性

    函数ylogaxyx的图象关于x对称

     

    【典型例题】

    考点一:对数函数的定义域与定点

    1. 2022·江苏省南通中学高一阶段练习)已知对数式有意义,则a的取值范围为(    

    A B

    C D

    【答案】B

    【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得.

    【详解】由有意义可知,解得

    所以a的取值范围为.

    故选:B

    1. 2021·江苏·高一专题练习)函数)的图象恒过定点在幂函数的图象上,则__________

    【答案】

    【分析】先找到定点的坐标,通过点坐标求解幂函数的解析式.

    【详解】对于函数,令

    解得,此时

    因此函数的图象恒过定点,

    设幂函数

    在幂函数的图象上,

    ,解得

    故答案为:

     

    考点二:对数型函数单调性

    1. 2022·江苏南通·高二期中)函数的单调递增区间为(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】根据复合函数的单调性,以及对数函数的定义域,即可求得函数的单调区间.

    【详解】因为单调递增,要满足题意,只需:

    ,且,解得.

    故函数的单调递增区间为.

    故选:.

    1. (多选)2022·江苏·句容碧桂园学校高三期中)已知函数,则下列结论中正确的是(    

    A(0,1)单调递增

    B(1,2)单调递减

    C的图像关于直线对称

    D的图像关于点(0,1)对称

    【答案】ABC

    【分析】先求定义域,用对数运算性质化为对数型复合函数,根据复合函数的单调性判断A,B的正误;再根据的关系判断函数的对称性.

    【详解】解:由题意知,的定义域为,

    ,

    由复合函数的单调性知,函数(0,1)上单调递增,(1,2)上单调递减,

    所以A,B正确;

    函数,

    ,,

    的图像关于直线对称,

    所以C正确,D错误.

    故选:ABC.

    1. 2021·江苏·高一专题练习)已知上的减函数,那么的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】由上的减函数,知递减,递减,

    ,从而得,解出即可.

    【详解】因为上的减函数,

    所以有

    解得:

    故选:A.

     

    1. 2021·江苏·高一专题练习)若函数在区间单调递减,则的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】由对数函数的性质可令在是单调递增且,列出不等式组,故可得答案.

    【详解】解:因为在单调递减,

    所以,函数在单调递减,且函数值非负,

    所以函数在是单调递增且

     ,解得

    故选:C

     

     

    1. 2021·江苏·高一专题练习)已知函数在上恒正,则实数的取值范围是__________

    【答案】

    【分析】时,根据定义域可知不合题意;时,根据二次函数对称轴位置可确定单调性,由可求得的范围,知不合题意;时,分别在三种情况下,可得单调性,根据可解得的范围;综合三种情况可得结果.

    【详解】时,,此时定义域为,不合题意;

    时,令,其对称轴为

    在上单调递减,在上单调递减,

    ,即,解得:(舍);

    时,令,其对称轴为

    ,即时,在上单调递增,在上单调递增,

    ,即,解得:;

    ,即时,在上单调递减,在上单调递减,

    ,即,解得:(舍);

    ,即时,在上单调递减,在上单调递增,

    上单调递减,在上单调递增,

    ,即,解得:(舍);

    综上所述:实数的取值范围为.

    故答案为:.

     

    考点三:比较大小

    1. 2022·江苏·高二期末)设,则abc的大小关系为(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】利用指、对函数的单调性求出的范围,即可解出.

    【详解】因为,所以,

    故选:D

    5.(2022·江苏常州·模拟预测)已知,则正确的大小顺序是(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】方法一:作差利用对数的性质即可比较.

    【详解】[方法一]:【最优解】作差比较法

    因为,所以

    因为,所以

    所以.

    故选:B.

    [方法二]:构造函数法

    ,令,得,所以上单减,所以,所以ba,因为,所以

    因为,所以,所以.

    故选:B.

    【整体点评】方法一:作差法是最常用的比较大小的方法,是该题的最优解;

    方法二:根据式子形式,利用函数的单调性比较大小,也是常用的比较大小的方法,对于处理较难的比较大小问题,是不错的选择,但对于该题作用显得不是很好.

     

    1. (多选)2021·江苏·高一专题练习)已知正实数满足,则(    

    A B

    C D

    【答案】BC

    【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数,结合单调性求解.

    【详解】方法一(筛选法)    由题意,.当,即时,,而,所以,故不成立.当时,不成立,故,所以,,故A错误,B正确.,则,故C正确.,故D不一定正确.

    故选:BC

    方法二(构造函数法)    由题意,.设函数,显然在区间上单调递增,故由,得,故,故A错误.B正确;由,得,故C正确;,故D不一定正确,

    故选:BC

    考点四:对数型不等式的解法

    1. 2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习)若函数,则不等式的解集是_________

    答案】

    【分析】判断函数的奇偶性与单调性,利用奇偶性与单调性化简不等式,然后由对数函数性质得结论.

    【详解】因为,定义域为R

    ,故其为奇函数,

    均为单调增函数,故R上的单调增函数;

    则原不等式等价于,也即,整理得

    解得,故不等式的解集为

    故答案为:

     

    考点五:存在与恒成立问题

    1. 2022·江苏·泰州中学高二阶段练习)已知函数,若不等式上有解,则实数a的取值范围是___________.

    【答案】

    【分析】判断出函数的奇偶性和单调性,即可得到在上有解,然后结合函数的最值得到的范围.

    【详解】解:因为

    所以当

    时,

    同理可得,当时,

    综上可知,恒成立,故是偶函数,

    函数图象如下所示:

    又因为时,是单调增函数,所以不等式在上有解,则在上有解,

    在上有解,即在上有解,

    所以

    所以且,故

    故答案为:

    1. 2019·江苏省新海高级中学高一期中)若不等式对于任意恒成立,则实数的取值范围是____________

    【答案】

    【分析】由的取值范围求出的范围,依题意利用换底公式及参变分离可得对于任意恒成立,根据对勾函数的性质求出,即可得到,再根据对数函数的性质计算可得.

    【详解】解:因为不等式对于任意恒成立,

    即不等式对于任意恒成立,

    因为,所以

    所以不等式对于任意恒成立,

    因为上单调递减,在上单调递增,所以

    所以

    所以

    解得或,即

    故答案为:

     

    1. 2022·江苏省灌南高级中学高三阶段练习)对函数,如果存在,使得,则称为函数图象的一组奇对称点.为自然数的底数)存在奇对称点,则实数的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】由题可得存在不等于0的根,进而可得,然后利用函数的性质及基本不等式即得.

    【详解】由题可得存在不等于0的根,

    所以

    因为

    所以

    解得

    即实数的取值范围是.

    故选:B.

    1. 2021·江苏·高一专题练习)对不等式恒成立,则实数的取值范围是(    

    A B

    C D

    【答案】A

    【分析】原不等式整理为,令上单调递增,分三种情况讨论,最后得出交集即为所求.

    【详解】

    因为上单调递增,

    时,,即:恒成立,

    需要上恒成立,

    而二次函数开口向下,所以需要

    解得

    时原不等式显然恒成立;

    时,恒成立,即恒成立,

    上恒成立,

    开口向下且对称轴为,

    由及可知

    所以在上单调递减,

    时,

    所以需要

    解得

    综上可得

    的取值范围是,

    故选:A

    考点六:实际应用

    1. 2022·江苏省如皋中学高一阶段练习)我们知道,任何一个正实数可以表示成),此时).当时,位数.试用上述方法,判断是(    )位数.().

    A607 B608 C609 D610

    【答案】C

    【分析】先根据题意求对数,化简计算成)形式,即得结果.

    【详解】因为

    所以,其中

    则数的位数是609.

    故选:C.

     

    1. 2022·江苏南通·模拟预测)某容量为万立方米的小型湖,由于周边商业过度开发,长期大量排放污染物,水质变差,今年政府准备治理,用没有污染的水进行冲洗,假设每天流进和流出的水均为万立方米,下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过天后的湖水污染质量分数,已知,其中表示初始湖水污染质量分数.如果,要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的以下,至少需要经过天___________.(参考数据:

    【答案】116

    【分析】根据题意列不等式,再结合对数计算公式解不等式即可.

    【详解】设至少需要经过天,因为要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下,所以,又因为,所以,由题意知,所以,整理得,,解得,所以至少需要经过116.

    故答案为:116.

     

     

    考点七:绝对值

    1. 2021·江苏·高一专题练习)记时的最大值为,则的最小值为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】画出的图象,然后讨论与,的大小关系,利用对数函数的性质,得出的解析式,然后求出最小值即可.

    【详解】由已知可得

    画出的图象,如下图所示,

    当即时,由图象知,在上单调递减,

    所以

    当即时,由图象知,在上单调递增,

    所以

    时,由图象知,上单调递减,在单调递增,

    所以的最大值可能为或,

    所以当时,

    时,

    综上

    由对数函数的性质知的最小值为

    故选:A

     

    1. 2023·江苏南京·高三阶段练习)已知函数,则满足x的取值范围是________

    【答案】.

    【分析】结合函数图象,利用复合函数的单调性解不等式.

    【详解】因为,则

    因为函数,由有:

    因为,大致图象如图,

    时,,所以,显然满足

    时,根据复合函数的单调性法则同增异减可得,单调递减,

    时,根据复合函数的单调性法则同增异减可得,单调递增,

    ,所以根据函数的单调性有:

    ,解得:.

    综上,满足取值范围是.

    故答案为:.

     

    考点八:综合应用

    1. 2021·江苏·高一专题练习)已知函数

    (1)若关于的方程的两个实数根为,,且,求实数的值

    (2),且上恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】(1)由,结合,即可得出的值;

    2)在上有意义,所以上恒成立,得,再由上恒成立所以解出即可.

    (1)

    因为,所以

    所以,解得

    所以,所以,解得

    (2)

    因为在上有意义,

    所以上恒成立,即

    所以

    又由上恒成立,

    所以上恒成立.

    因为,该函数为开口向上的二次函数,所以

    整理得

    解得

    所以实数的取值范围是

    1. 2022·江苏省如皋中学高一期末)已知函数有意义时的取值范围为,其中为实数.

    (1)的值;

    (2)写出函数的单调区间,并求函数的最大值.

    【答案】(1)

    (2)增区间为 ,减区间为,最大值为

     

    【分析】(1)由一元二次不等式的解集,结合韦达定理可解;

    2)根据复合函数的单调性将问题转化为求内层函数的单调区间问题,然后可得.

    【详解】(1)因为有意义时的取值范围为

    所以的解集为

    所以是方程的两根.

    由韦达定理可得,解得

    2)由(1)知,

    因为为增函数,且上单调递增,在上单调递减,

    所以函数上单调递增,在上单调递减,

    所以当 取得最大值

    1. 2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习)已知函数a0)是偶函数,函数a0).

    (1)求实数b的值;

    (2)a2时,若,使得恒成立,求实数m的取值范围.

    【答案】(1)

    (2).

     

    【分析】(1)利用偶函数的性质,可得,整理即可求b的值.

    2)令,问题转化为恒成立,根据对数复合函数的单调性判断的单调性并求出最小值,再应用换元法及二次函数的性质求不等式恒成立时m的范围.

    (1)

    由题设,,即

    所以,则,可得.

    (2)

    由(1)及a2知:

    所以上恒成立,

    ,只需恒成立,

    ,由上递增,上递减,上递增,在定义域上递增,

    所以上递减,上递增,故

    综上,上恒成立,令

    上恒成立,而,故,可得.

    【点睛】关键点点睛:第二问,设,将问题转化为恒成立,求参数范围.

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