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苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数示范课课件ppt
展开第二课时 对数的运算性质(二)
课标要求 1.理解积、商、幂的对数,能进行简单的对数运算.2.知道对数的换底公式,能将一般对数转化为自然对数和常用对数,并能进行简单的化简、计算.
素养要求 通过掌握对数的运算性质及换底公式,用对数的运算性质进行化简求值,进一步提升学生的数学抽象与数学运算素养;通过用对数解决实际问题,提升学生的数学建模素养.
1.思考 假设=x,则log25=xlog23,即log25=log23x,从而有3x=5,将其化为对数式得x=log35,从而有=log35.若将对数的底数2换成c(c>0,c≠1),=log35还成立吗?
提示 成立,证明如下:
设 =x,则logc5=xlogc3,
即logc5=logc3x,
从而有5=3x,即x=log35,
所以=log35(c>0,c≠1).
2.填空 logaN=,其中a>0,a≠1, N>0,c>0,c≠1.这个公式称为对数的换底公式.
特别地logab·logba=1(a>0,a≠1,b>0,b≠1).
拓展:loganbm=logab(a>0,a≠1,b>0,m∈R,n≠0)
温馨提醒 将对数的底数换成任意大于零,且不等于1的实数,特别是将底数换成10或e,即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数运算,就解决了任意底数的对数计算问题.
3.做一做 思考辨析,判断正误
(1)log52=log2.( )
(2)=log2.( )
(3)logaM+logbN=loga(MN)(M>0,N>0).( )
(4)log32·log23=1.( )
提示 (1)× log52=.
(2)× =log53.
(3)× 底数都为a才是正确的.
(4)√
题型一 换底公式的直接应用
例1 (1)log29·log34=( )
A. B.
C.2 D.4
(2)=( )
A.log54 B.3log52
C.2 D.3
答案 (1)D (2)D
解析 (1)原式=·=·=4.
(2)原式=log28=3.
思维升华 换底公式的意义在于改变对数式的底数,把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数,要由具体已知条件确定,一般换成以10为底的常用对数.
训练1 计算:(log43+log83)log32=________.
答案
解析 原式=log32
=log32=+=.
题型二 有附加条件的对数式求值问题
例2 (1)设3a=4b=36,求+的值;
(2)已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.
解 (1)法一 由3a=4b=36,
得a=log336,b=log436,
由换底公式得=log363,=log364,
∴+=2log363+log364=log3636=1.
法二 由3a=4b=36,
两边取以6为底数的对数,
得alog63=blog64=log636=2,
∴=log63,=log64=log62,
∴+=log63+log62=log66=1.
(2)令2x=3y=5z=k(k>0),
∴x=log2k,y=log3k,z=log5k,
∴=logk2,=logk3,=logk5,
由++=1,
得logk2+logk3+logk5=logk30=1,
∴k=30,
∴x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.
思维升华 利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
训练2 (1)已知2a=5b=M,且+=2,则M=________.
(2)若实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的是( )
A.+=2 B.+=1
C.+=1 D.+=
答案 (1) (2)B
解析 (1)由2a=5b=M,
得a=log2M,b=log5M,
故+=logM2+logM5=logM10=2,
∴M=.
(2)∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,∴=lg 2,=lg 5,
∴+=lg 2+lg 5=lg 10=1,故选B.
题型三 用代数式表示对数
例3 已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.
解 ∵18b=5,∴log185=b.又log189=a,
于是log3645=
==.
思维升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算,可正用、逆用;使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
训练3 (1)若ln 2=a,ln 3=b,则log418=( )
A. B.
C. D.
(2)已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256.
(1)答案 D
解析 log418====.
(2)解 ∵log23=a,∴=log32,
又log37=b,
∴log4256=====.
题型四 对数的实际应用
例4 一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的?(结果保留整数,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
解 假设经过x年,该物质的剩余量是原来的.由题意可知=,
∴x=log===≈≈4.
故估计约经过4年,该物质的剩余量是原来的.
思维升华 解决对数应用题的一般步骤
训练4 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3,单位是m/s,θ表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少?
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍?
解 (1)由v=log3可知,
当θ=900时,v=log3=log39=1(m/s).
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,
它的游速是1 m/s.
(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量分别为v1,θ1,
提速后的游速、耗氧量分别为v2,θ2.
由v2-v1=1,即log3-log3=1,
∴log3=1,即log3=2,得=9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍.
[课堂小结]
1.记牢1个知识点
换底公式.
2.注意2个问题
(1)运用换底公式注意成立条件.
(2)根据不同问题选择公式的正用或逆用.
一、基础达标
1.若log5·log36·log6x=2,则x=( )
A.9 B.
C.25 D.
答案 D
解析 由题意知··=-=2,∴lg x=-2lg 5=lg,∴x=.
2.已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为( )
A.6 B.9
C.12 D.18
答案 D
解析 ∵2a=3b=k(k≠1),∴a=log2k,b=log3k,
∴=logk2,=logk3.
∵2a+b=ab,∴+=2logk3+logk2=logk9+logk2=logk18=1,∴k=18.
3.设log23=a,log215=b,则log59=( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 log5 9=
====.
4.log916·log881=( )
A.18 B.
C. D.
答案 C
解析 log916·log881=·=·=.
5.(多选)下列运算正确的是( )
A.log34·log49+2log510+log50.25=4
B.log427·log258·log95=
C.lg 2+lg 50=10
D.log(2+)(2-)-(log2)2=-
答案 AD
解析 对于A,原式=·+log5(100×0.25)=2+2=4,A正确;
对于B,原式=··==,B错误;
对于C,原式=lg 100=2,C错误;
对于D,原式=-1-=-,D正确.
选AD.
6.若2a=3,b=log32,则ab=________,3b+3-b=________.
答案 1
解析 ∵2a=3,∴a=log23,
∴ab=log23·log32=log23·=1,
3b+3-b=3log32+3-log32=2+=.
7.若xlog32=1,则4x+4-x=________.
答案
解析 因为x==log23,所以4x+4-x=22x+2-2x=22log23+2-2log23=2log232+2log23-2=9+=.
8.已知log32=m,则log3218=________(用m表示).
答案
解析 log3218====.
9.计算:(1)log89·log2732;
(2)(log25+log40.2)(log52+log250.5).
解 (1)原式=·
=·=.
(2)原式=(log25+log220.2)(log52+log520.5)
=
=(log25+log20.2)(log52+log50.5)
=log2(5×0.2)·log5(2×0.5)=log2(5×5-)·log5(2×2-)
=log25·log52=·=.
10.(1)已知log1227=a,求log616的值;
(2)计算(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)的值.
解 (1)由log1227=a,得==a,
∴lg 2=lg 3.
∴log616==
==.
(2)法一 原式=
=
==13.
法二 原式=(log253+log2252+log2351)·(log52+log5222+log5323)
=(log52+log52+log52)=log25·(3log52)=×3=13.
二、能力提升
11.(多选)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( )
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C.=+ D.=-
答案 AD
解析 令4a=6b=9c=N(显然N>0且N≠1),则a=log4N,b=log6N,c=log9N,∴=logN4,=logN6,=logN9,
∴logN4+logN9=2logN6,即+=,
∴bc+ab=2ac.
12.已知3a=5b=c,若c=3,则25b=________;若+=2,则c=________.
答案 9
解析 若c=3,则5b=3,所以b=log53,所以25b=25log53=(5log53)2=32=9.
因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,
所以=,=.
由+=2,即+=2.
由换底公式可得logc3+logc5=2,
所以logc15=2,即c2=15,所以c=.
13.物理学规定音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算:η=10 lg(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中,人们通过声音交换信息、交流情感,人正常谈话的音量介于40 dB与60 dB之间,则60 dB声音的声波强度I1是40 dB声音的声波强度I2的多少倍?
解 因为η=10lg ,
所以60 dB声音的声波强度I1=106·I0,40 dB声音的声波强度I2=104·I0,
所以==102=100,
所以60 dB声音的声波强度I1是40 dB声音的声波强度I2的100倍.
三、创新拓展
14.已知lg a和lg b是关于x的方程x2-x+m=0的两实根,且关于x的方程x2-(lg a)·x-(1+lg a)=0有两个相等实数根,求实数a,b和m的值.
解 由题意得
由③得(lg a+2)2=0,所以lg a=-2.
代入①,得lg b=1-lg a=3;
代入②,得m=lg a·lg b=(-2)×3=-6.
所以a=0.01,b=1 000,m=-6.
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