高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数教案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数教案，共7页。


教材是以具体问题为背景，是从指数运算与对数运算的互逆关系出发，引进了对数的概念，进而建立了对数函数的概念，为学生发现与论证对数的运算性质、研究对数函数的性质提供了方便．这种围绕核心问题，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序，不断通过对问题串的探究学习，引导学生从不同的角度，用自相似的研究方式，对核心问题进行多重研究．在体现基本初等函数工具性作用时，突出了理性分析和严格的推理过程．达到培养创新思维和理性思维的目的．
1.教学重点：对数型复合函数奇偶性的判定.
2.教学难点：对数型复合函数单调区间的求法．
1．已知a＝lg0.60.5，b＝ln 0.5，c＝0.60.5，则( )
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a
答案 B
解析 ∵y＝lg0.6x在(0，＋∞)上为减函数，
∴lg0.60.61.
同理，ln 0.5∵0<0.60.5<0.60，即0∴a>c>b.
2．已知集合A＝{x|y＝lg(2－x)＋lg x}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，R是实数集，则(∁RB)∩A等于( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．(－∞，0] D．以上都不对
答案 B
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x＞0，,x＞0，))得0＜x＜2，
故A＝{x|0＜x＜2}，由x＞0，得2x＞1，
故B＝{y|y＞1}，∁RB＝{y|y≤1}，
则(∁RB)∩A＝{x|0＜x≤1}．
3．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)>0，则实数a的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析 因为f(1－a)>f(a)，f(x)＝lg x单调递增，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a>a，,1－a>0，,a>0，))解得0即实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
4．函数f(x)＝lgaeq \f(3－x,3＋x)(a>0，且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
答案 －3
解析 ∵eq \f(3－x,3＋x)>0，∴－3∴f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝lgaeq \f(3＋x,3－x)＝－lgaeq \f(3－x,3＋x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
类型一 对数型复合函数的单调性
命题角度1 求单调区间
例1 求函数的单调区间．
解 令1－|x|>0，即|x|<1.
解得的定义域为(－1,1)．
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg1＋x，－1在区间(－1,0]上，y＝1＋x为增函数，
故为减函数．
同理在区间(0,1)上为增函数，
∴的增区间为(0,1)，减区间为(－1,0]．
点评： 求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．
(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”．
跟踪训练1 求y＝ln eq \f(1,x－1)的单调区间．
解 y＝ln eq \f(1,x－1)的定义域为(1，＋∞)，在区间(1，＋∞)上，y＝eq \f(1,x－1)为减函数，
∴y＝ln eq \f(1,x－1)也为减函数．
∴y＝ln eq \f(1,x－1)的减区间为(1，＋∞)，没有增区间．
命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围
例2 已知函数在区间(－∞，eq \r(2))上是增函数，求实数a的取值范围．
解 令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(a,2)))上是减函数，∵0∴是减函数，而已知复合函数在区间(－∞，eq \r(2))上是增函数，
∴只要g(x)在(－∞，eq \r(2))上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，eq \r(2))上恒成立，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)≤\f(a,2)，,g\r(2)＝\r(2)2－\r(2)a＋a≥0，))
∴2eq \r(2)≤a≤2(eq \r(2)＋1)，
故所求a的取值范围是[2eq \r(2)，2(eq \r(2)＋1)]．
点评： 若a>1，则y＝lgaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0跟踪训练2 若函数f(x)＝lga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,3)
C．(1,3] D．[3，＋∞)
答案 B
解析 函数由y＝lgau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝lgau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1类型二 对数型复合函数的奇偶性
例3 判断函数f(x)＝ln eq \f(2－x,2＋x)的奇偶性．
解 由eq \f(2－x,2＋x)>0可得－2所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．
方法一 f(－x)＝ln eq \f(2＋x,2－x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－x,2＋x)))－1＝－ln eq \f(2－x,2＋x)
＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln eq \f(2－x,2＋x)是奇函数．
方法二 f(x)＋f(－x)＝ln eq \f(2－x,2＋x)＋ln eq \f(2＋x,2－x)
＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－x,2＋x)·\f(2＋x,2－x)))＝ln 1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln eq \f(2－x,2＋x)是奇函数．
引申探究
若已知f(x)＝lneq \f(a－x,b＋x)为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？
解 由eq \f(a－x,b＋x)>0得－b∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b.
当a＝b时，f(x)＝lneq \f(a－x,a＋x).
f(－x)＋f(x)＝lneq \f(a＋x,a－x)＋lneq \f(a－x,a＋x)
＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋x,a－x)·\f(a－x,a＋x)))
＝ln 1＝0，
∴有f(－x)＝－f(x)，
∴此时f(x)为奇函数．
故f(x)为奇函数时，a＝b.
点评： (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．
跟踪训练3 判断函数f(x)＝lg(eq \r(1＋x2)－x)的奇偶性．
解 方法一 由eq \r(1＋x2)－x>0可得x∈R，
所以函数的定义域为R且关于原点对称，
又f(－x)＝lg(eq \r(1＋x2)＋x)
＝lg eq \f(\r(1＋x2)＋x\r(1＋x2)－x,\r(1＋x2)－x)
＝lg eq \f(1,\r(1＋x2)－x)
＝－lg(eq \r(1＋x2)－x)＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)．
所以函数f(x)＝lg(eq \r(1＋x2)－x)是奇函数．
方法二 由eq \r(1＋x2)－x>0可得x∈R，
f(x)＋f(－x)＝lg(eq \r(1＋x2)－x)＋lg(eq \r(1＋x2)＋x)
＝lg[(eq \r(1＋x2)－x)(eq \r(1＋x2)＋x)]
＝lg(1＋x2－x2)＝0.
所以f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝lg(eq \r(1＋x2)－x)是奇函数．
类型三 简单的对数型不等式的解法
例4 已知函数f(x)＝lga(1－ax)(a＞0，且a≠1)，解关于x的不等式lga(1－ax)＞f(1)．
解 ∵f(x)＝lga(1－ax)，∴f(1)＝lga(1－a)，
∴1－a＞0，∴0＜a＜1，
∴不等式可化为lga(1－ax)＞lga(1－a)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－ax＞0，,1－ax＜1－a，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＜1，,ax＞a，))∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为(0,1)．
点评： 对数不等式解法要点
(1)化为同底lgaf(x)＞lgag(x)．
(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向．
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.
跟踪训练4 函数f(x)＝eq \f(1,\r(lg2x－1))的定义域为( )
A．(0,2) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 C
解析 要使函数有意义，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,lg2x－1>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,lg2x>lg22，))解得x>2，
即函数的定义域为(2，＋∞).
教材中留有许多思考和旁白，没有做过多的研究，对一些问题的解决过程也没有作详细的阐述，旨在为学生的合理探索留下了空间，为学有余力的学生提供继续发展的平台．在教学过程中，可以根据实际情况，适当地让学生进行探索、交流、合作、比较．通过指数函数、对数函数的相似性研究和整体化处理，达到螺旋式上升的目的．
课程目标
学科素养
1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.
2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.
3.会解简单的对数不等式.
a数学抽象: 对数型复合函数单调性的判定方法.
b逻辑推理: 对数型复合函数奇偶性的判定.
c数学运算: 求对数型复合函数的参数的取值范围、对数型不等式的解法.