高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数说课ppt课件

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1.对数函数的概念一般地,函数①    y=lgax(a>0,a≠1)    叫作对数函数,它的定义域是②　(0,+∞)    .2.两种特殊的对数函数以10为底的对数函数y=lg x叫作常用对数函数,以e为底的对数函数y=ln x叫作自 然对数函数.
1 | 对数函数的概念
1.对数函数y=lgax(a>0,a≠1)的图象与性质
2 | 对数函数的图象与性质
2.常见结论底数a对对数函数图象的影响.(1)a与1的大小关系决定了图象的“升”与“降”.(i)当a>1时,对数函数的图象从左到右是“上升”的,且当01时,图象在x轴上方.(ii)当01时,图象在x轴下方.(2)a的大小决定了图象相对位置的高低.(i)无论是a>1还是01时,a越大,图象越靠近x轴;当0(iii)左右比较:比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的 底数越大.
1.当a>0,a≠1时,⑧    y=lgax    称为y=ax的反函数.反之,y=ax也称为y=lgax的反函数.一般地,如果函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=f -1(x).2.(1)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.它们的定义域和值域正好互换.(2)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.
1.平移变换(a>0,a≠1)(1)左右平移:已知y=lgax的图象,把y=lgax的图象向⑨　左    平移b(b>0)个单位长度,得到y=lga(x+b)的图象;把y=lgax的图象向右平移b(b>0)个单位长度,得到y=lga(x-b)的图象.(2)上下平移:已知y=lgax的图象,把y=lgax的图象向上平移c(c>0)个单位长度,得到y=lgax+c的图象;把y=lgax的图象向下平移c(c>0)个单位长度,得到y=lgax-c的图象.　   简记为“左加右减,上加下减”.
4 | 对数函数图象的变换
2.对称变换(a>0,a≠1)(1)y=lgax的图象与y=-lgax(即y=l x)的图象关于x轴对称;(2)y=lgax的图象与y=lga(-x)的图象关于y轴对称;(3)y=lgax的图象与y=-lga(-x)的图象关于原点对称.
1.函数y=lg2(x+2)的定义域是[-2,+∞). (    ✕　)提示:由题意得x+2>0,解得x>-2,所以函数的定义域为(-2,+∞) 1.1>l 1.2. (　√　)提示:因为对数函数y=l x在(0,+∞)上是减函数,1.1<1.2,所以l 1.1>l 函数y=lg2(x+2)-1的图象恒过定点(-1,-1). (　√　)提示:函数y=lg2(x+2)的图象恒过点(-1,0),将点(-1,0)向下平移1个单位长度得到的 点的坐标为(-1,-1),故正确.4.函数y=|lg x|是偶函数. (    ✕　)提示:函数y=|lg x|既不是奇函数又不是偶函数.5.函数y=ln 的图象可由y=ln x的图象平移得到.(　√　)
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
提示:函数y=ln  =ln x-1的图象可由y=ln x的图象向下平移1个单位长度得到.
6.函数y=l (x2+1)在定义域R上没有单调递增区间. (    ✕　)7.函数f(x)=l  既不是奇函数又不是偶函数. (    ✕　)提示:函数f(x)=l  的定义域是(-1,1),关于原点对称,且f(-x)+f(x)=l =l 1=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.8.声音的等级f(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:W/m2)满足f(x)=10×lg . 喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140 dB;一般说话时,声音的等级约为60 dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍. (　√　)提示:设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1,x2,则f(x1)=10×lg =140,即x1=102,f(x2)=10×lg =60,即x2=10-6,所以 =108.因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍.
1 | 对数函数的图象及应用
1.对数型函数图象过定点问题求函数y=m+lga f(x)(a>0,且a≠1)的图象所过定点时,只需令f(x)=1,求出x,即得定点为(x,m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
3.函数y=lgax(a>0,且a≠1)的图象与函数y=l x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称设f(x)=lgax(a>0,且a≠1),则y=l x= =-lgax=-f(x),因为函数y=f(x)的图象与y=-f(x)的图象关于x轴对称,所以函数y=lgax(a>0,且a≠1)的图象与函数y=l x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.
4.函数图象的变换规律(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=lga(-x)的图象只能是 (　B　)      
思路点拨可利用函数的性质识别图象,注意底数a对图象的影响,也可根据图象的位置结合单调性来判断.
解析    解法一:首先,y=ax的图象只可能在x轴上方,y=lga(-x)的图象只可能在y轴左侧,从而排除A,C,然后,y=ax与y=lga(-x)的增减性正好相反,故排除D.故选B.解法二:若01,则函数y=ax在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=lga(-x)在其定义域上单调递减且图象过点(-1,0),只有B满足条件.
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(x)= 若函数y=f(x)与函数y=a的图象有六个交点,分别记为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1+x2+x3+x4+x5+x6的取值范围是(　A　)A. 　    B.  C.(2,4)　    D. 
思路点拨利用函数的奇偶性求得x<0时函数的解析式,作出函数y=f(x)和y=a在R上的图象,结合函数图象的对称性即可求解.
解析    由函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(x)= 得当x<0时,f(x)= 作出函数y=f(x)与函数y=a的图象如图所示. 
不妨设x12 | 与对数函数有关的定义域、值域问题
对数型函数的定义域求对数型函数的定义域时,要考虑真数大于0,底数大于0且不等于1.若底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,则在解答问题时需要保证各个方面都有意义.一般地,求y=lga f(x)(a>0,且a≠1)的定义域时,应首先保证f(x)>0.
求对数型函数值域的常用方法(1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的范围出发,通过对函数定义域、性质的观察,结合解析式,直接得出函数的值域.(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(lgax)]2+nf(lgax)+c(m≠0,a>0,a≠1))时,可以用配方法求函数的值域.(3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域.(4)换元法:求形如y=lga f(x)(a>0,a≠1)的函数值域的步骤为①换元,令u=f(x),利用函数的图象和性质求出u的范围;②利用y=lgau的单调性、图象求出y的取值范围.
(1)函数y= 的定义域是　(-∞,-1- )∪(-1- ,-3)∪[2,+∞)　  ;(2)函数y=lg0.4(-x2+3x+4)的值域是　 [-2,+∞)　 .
解析    (1)由题意得 即 解得x<-1- 或-1- 0,解得-1所以当x= 时,f(x)有最大值 ,又f(-1)=f(4)=0,所以03 | 与对数函数有关的复合函数的单调性
1.解决与对数函数有关的复合函数单调性问题的关键:一是求定义域;二是看底数是否含有参数,若有参数,则需分类讨论;三是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性.2.与对数函数有关的复合函数一般可分为两类:一类是y=lga f(x)(a>0,a≠1)型复合函数,当a>1时,y=lga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;当00,a≠1)型复合函数,一般用复合函数的单调性法则判断,即令t=lgax,只需研究t=lgax与y=f(t)的单调性即可.
 函数f(x)=l (-x2-2x+3)的单调减区间为 (　B　)A.(-∞,-1]　    B.(-3,-1]C.[-1,1)　    D.[-1,+∞)
思路点拨先求出函数f(x)的定义域,再根据复合函数的单调性可知,求f(x)=l (-x2-2x+3)的单调减区间,即求t=-x2-2x+3在f(x)的定义域上的单调增区间,然后根据一元二次函数的单调性在f(x)的定义域内求单调增区间即可.
解析    由题意得-x2-2x+3>0,解得-3解题模板求对数型复合函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域;(2)判断外层函数的单调性;(3)根据复合函数“同增异减”的原则判断内层函数的单调性;(4)求出单调区间.
已知函数f(x)=lga(3-ax)(a>0,且a≠1).(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存 在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.
解析    (1)设t(x)=3-ax,∵a>0,且a≠1,∴t(x)=3-ax为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a.当x∈[0,2]时, f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a< .又a>0,且a≠1,∴实数a的取值范围是(0,1)∪ .(2)假设存在这样的实数a. 由(1)知函数t(x)=3-ax为减函数.∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=lgat在区间[1,2]上为增函数,∴a>1,又x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a, f(x)的最大值为f(1)=lga(3-a),
∴ 即 无解.故不存在实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
易错警示(1)应用对数函数单调性时要注意真数必须为正,明确底数对单调性的影响.(2)解决与对数函数有关的复合函数问题时,首先要确定函数的定义域,再根据 “同增异减”的原则判断函数的单调性或利用函数的最值解决恒成立问题.
4 | 对数函数单调性的应用
利用对数函数的单调性比较对数式大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.(3)底数和真数都不同,找中间量.(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
利用对数函数的单调性解不等式(1)形如lga f(x)>lgab(a>0,且a≠1)的不等式,借助函数y=lgax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值不确定,则需分a>1与0b(a>0,且a≠1)的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=lgaab),借助函数y=lgax(a>0,且a≠1)的单调性求解;(3)形如lgf(x)a>lgg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
设a=lg2 ,b=lg3 ,c=l  ,则a,b,c的大小关系是 (　B　)A.c>b>a　    B.c>a>bC.a>c>b　    D.a>b>c
思路点拨不同底的对数比较值的大小时,可以找中间值0,1等比较.
解析    a=lg2 =lg23-1,b=lg3 =lg34-1,c=l  =lg34.∵lg23=l 33=lg827,lg34=l 42=lg916,lg827>lg927>lg916,∴lg23>lg34,∴lg23-1>lg34-1,即a>b.∵lg23lg33=1,∴lg34>lg23-1,即c>a.
易错警示对于底数以字母形式出现的对数的大小比较,需要对底数a进行讨论.对于不同底 的对数,可以估算范围,从而借助中间值比较大小.
已知函数f(x)=ex+x-e,若正实数a满足f <1,则a的取值范围为　 ∪(1,+∞)    .
思路点拨将不等式f <1变为f 1两种情况讨论,解不等式即可.