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    【同步讲义】(苏教版2019)高中数学必修一:第16讲 三角函数的概念 讲义

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    这是一份【同步讲义】(苏教版2019)高中数学必修一:第16讲 三角函数的概念 讲义,文件包含第16讲三角函数的概念原卷版docx、第16讲三角函数的概念解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共22页, 欢迎下载使用。

    16 三角函数的概念

    【知识梳理】

    知识点一 任意角的三角函数

    (1)单位圆

    在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.

    (2)定义

    在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(xy),那么:

    y叫做α正弦,记作sin_α

    sin αy

    x叫做α余弦,记作cos_α,即cos αx

    叫做α正切,记作tan_α,即tan α (x≠0)

    对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.

    知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

    由三角函数定义可知,在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(xy),则sin αycos αxtan α(x≠0).当α为第一象限角时,y>0, x>0,故sin α>0cos α>0tan α>0,同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号,如图所示.

    梳理 记忆口诀:全正,二正弦,三正切,四余弦

     

    知识点三 三角函数的定义域

    正弦函数ysin x的定义域是R;余弦函数ycos x的定义域是R;正切函数ytan x的定义域是.

     

     

    知识点四 三角函数线

     

    图示

    正弦线

    α的终边与单位圆交于点P,过点PPM垂直于x轴,有向线段MP即为正弦线

    余弦线

    有向线段OM即为余弦线

    正切线

    过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T,有向线段AT即为正切线

     

    知识点四 同角三角函数

    (1)同角三角函数的基本关系式

    平方关系:sin2αcos2α1.

    商数关系:tan α .

    (2)同角三角函数基本关系式的变形

    sin2αcos2α1的变形公式

    sin2α1cos2αcos2α1sin2α.

    tan α的变形公式

    sin αcos αtan αcos α.

    知识点  函数名不变

     诱导公式一

    sinαk·2πsin α

    cosαk·2πcos α

    tanαk·2πtan α

    其中kZ.

     

    诱导公式二

    sinπα=-sin α

    cosπα=-cos α

    tanπαtan α.

     

    诱导公式三

    sinα=-sin α

    cosαcos α

    tanα=-tan α.

     

    诱导公式四

    sin(πα)sin α

    cos(πα)=-cos α

    tan(πα)=-tan α.

     

    梳理 公式一~四都叫做诱导公式,它们分别反映了2kπα(kZ)πα,-απα的三角函数值与α的三角函数之间的关系,这四组公式的共同特点是: 

    2kπα(kZ)πα,-απα的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为函数名不变,符号看象限

     

    知识点  函数名改变

     角α的终边与角α的终边关于y=x对称。

    诱导公式五

    sincos α

    cossin α

     

    诱导公式六

    sincos α

    cos=-sinα

     

     

    诱导公式的推广与规律

    sincos αcossin α

    sincos αcossin α.

    【典型例题】

    考点一.任意角的三角函数的定义

    1.已知点是角α终边上一点,则cosα=(  )

    A B C D

    2.若角α的终边经过点P3a)(a0),则(  )

    Asinα0 Bsinα0 Ccosα0 Dcosα0

    3.已知角θ的终边经过点Px1)(x0),且tanθx,则sinθ的值为      

    考点二.三角函数线

    4.“α210°”是“sinα0”的(  )

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    5.已知asin1bcos1,则下列不等式正确的是(  )

    Alogababba Blogabbaab 

    Cabbalogab Dbaablogab

    6.已知,则下列大小关系中正确的是(  )

    A.(sinαcosα>(sinαcosβ 

    Blogsinαcosαlogsinαcosβ 

    C.(cosαsinα>(cosβsinβ 

    D.(cosαsinβ<(sinαcosβ

    考点三.三角函数值的符号

    7.如果cosθ0,且tanθ0,则θ是(  )

    A.第一象限的角 B.第二象限的角 

    C.第三象限的角 D.第四象限的角

     

    (多选)8.若α3radrad为弧度制单位),则下列说法正确的是(  )

    Asinαcosα Bcosα0 

    Ctanα<﹣1 Dα是第二象限角

    9.当α为第二象限时,的值是     

    考点四.同角三角函数间的基本关系

    10.已知α是第二象限角,且,则cosα的值是(  )

    A B C D

    11.若2sin2θ+3cos2θ3,则cosθ=(  )

    A1 B.﹣1 C.±1 D0

    12.若tanθ=﹣2,则的值为      

    13.已知sinα+cosα,那么角α是第     象限的角.

    14.(1)已知,求下列各式的值.

    2已知,求tanx

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    15.已知,其中α为第二象限角.

    1)求cosαsinα的值;

    2)求的值.

     

     

     

     

     

     

    考点五.运用诱导公式化简求值

    16tan600°=     

    17.计算:sin+tanln1cos     

    18.设tanα3,则=(  )

    A3 B2 C1 D.﹣1

    19.已知α是第二象限的角,,则     

    20.已知,且,则tanθ9π)的值是     

    21.已知sinx)=,则cosx+)=(  )

    A.﹣ B.﹣ C D

    22.已知sinx)=,则cosx+)等于(  )

    A B C.﹣ D.﹣

     

     

    23.已知函数

    1)化简fα);

    2)若角α终边有一点,且,求m的值;

    3)求函数的值域.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    24.在平面直角坐标系xOy中,△OAB的顶点O与坐标原点重合,点Ax轴的正半轴上,点B在第二象限,且OAOB3,记α=∠AOB,满足

    1)求点B的坐标;

    2)求的值.

     

     

     

     

     

     

     

     

    25.已知tanθ是关于x的方程的两个实根,且

    1)求的值;

    2)求sin2θ+sinθcosθ1的值.

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