苏科版九年级上册1.1 一元二次方程优秀达标测试

第1章 一元二次方程

1.1  一元二次方程

知识点01  一元二次方程的概念

一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
【注意】（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是

【即学即练1】关于方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是（　　）

A．m＝1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＜2

【答案】B

【解析】解：根据题意得：m﹣1≠0

解得m≠1．

故选：B．

知识点02  一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

【即学即练2】一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（　　）

A．8 B．﹣1 C．0 D．2

【答案】D

【解析】解：方程可化为：x2+4x﹣3＝0，

二次项系数为1、一次项系数为4、常数项为﹣3．

所以二次项系数、一次项系数及常数项之和为：1+4﹣3＝2，

故选：D．

知识点03  一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【即学即练3】若a是的一个根，则的值是（       ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】D

【解析】解：是方程的一个根，

，

即，

．

故选：D．

考法01  一元二次方程的定义

【典例1】若关于的方程是一元二次方程，则________．

【答案】-1

【解析】解：∵关于x的方程是一元二次方程，

∴k−1≠0且|k|＋1＝2，

解得：k＝−1，

故答案为：−1．

考法02  一元二次方程的解

【典例2】在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．

（1）方程的中点值是______；

（2）已知的中点值是3，其中一个根是2，则此时mn的值为______．

【答案】     4     48

【解析】解：（1）由，得，

，

该方程的中点値为．

（2）由，得，

该方程的中点值为，

，解得．

的一个根是，

，即，

解得．

符合题意．

．

故答案为：；．

题组A  基础过关练

1．一元二次方程的常数项是（       ）

A．－1 B．1 C．－6 D．6

【答案】A

【解析】解：原方程可化为：

．

是二次项，系数为2；-6x是一次项，-6是一次项系数；-1是常数项．

故选：A．

2．下列方程是关于的一元二次方程的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】是一元二次方程，故A正确,符合题意；

是分式方程，故B错误，不符合题意；

是二元一次方程，故C错误，不符合题意；

是一元一次方程，故D错误，不符合题意；

故选：A．

3．已知是方程的一个解，则的值为（       ）

A．10 B．－10 C．2 D．－40

【答案】B

【解析】∵a是方程的一个解，

∴有，即，，

∴，

故选：B．

4．已知x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的一个根，则实数a的值是（　　）

A．﹣1 B．1 C．0 D．2

【答案】B

【解析】解：根据题意，将x＝1代入x2﹣2x+a＝0，

得：1﹣2+a＝0，

解得：a＝1，

故选：B．

5．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________．

【答案】2

【解析】解：把代入方程得：，

去括号得：，

解得：，

故答案为：2

6．将方程（3x－1）（2x＋4）＝2化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．

【答案】     3x2＋5x－3＝0     3     5

【解析】将，开展为一般形式为：；

则可知一次项系数为5，二次项系数为3，

故答案为：，3，5．

题组B  能力提升练

1．若是一元二次方程的其中一个解，则的值为（     ）

A．3 B．-3 C． D．2

【答案】A

【解析】解：将是代入方程

得

m2=9

m=±3

∵m+3≠0

∴m≠-3

∴m=3

故选：A．

2．方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（       ）

A．m≠±1 B．m≥-1且m≠1 C．m≥-1 D．m＞-1且m≠1

【答案】D

【解析】解：∵方程是关于x的一元二次方程，

∴，

解得，

由有意义得，

解得：，

∴且，

故选：D．

3．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（       ）

A．2021 B．2022 C．2023 D．2024

【答案】B

【解析】解：把代入一元二次方程得，

，

，

∴，

故选：B．

4．已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，则－4b+2c=（   ）

A．8 B．－8 C．4 D．－4

【答案】A

【解析】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一个根，

∴4+2b-c =0，

∴2b-c =-4．

∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．

故选：A．

5．若是方程的根，则____________．

【答案】1

【解析】把x=1代入方程，得1−2+a=0，

解得a=1，

故答案为：1．

6．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为____________．

【答案】14

【解析】解：把代入方程中得

，

解得．

故答案为：14．

题组C  培优拔尖练

1．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（       ）

A．3 B． C． D．0或

【答案】B

【解析】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得

m2-9=0，

解得m=-3或3，

当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，

∴m=-3

故选：B．

2．下列方程中，一元二次方程共有（       ）个．

①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；

②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；

③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；

④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；

⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；

⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程．

综上所述，一元二次方程共有2个．故选：B．

3．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（       ）．

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】A

【解析】解：对于一元二次方程即，

设t＝x＋2，则可得，

而关于x的一元二次方程的一个根是，

所以有一个根为t＝2022，

所以x＋2＝2022，

解得x＝2020，

所以一元二次方程必有一根为x＝2020，

故选：A．

4．若一元二次方程有一个解为，则k为（   ）

A． B．1 C． D．0

【答案】C

【解析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0，

解得k1=1，k2=-1，

而k-1≠0，

所以k=-1．

故选：C．

5．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，则m＝_____．

【答案】﹣2

【解析】解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，

而m﹣2≠0，

所以m＝﹣2．故答案为：﹣2．

6．关于x的方程是一元二次方程，则________．

【答案】

【解析】解： 关于x的方程是一元二次方程，

由①得：

由②得：

所以

故答案为：

7．设a为一元二次方程的一个实数根，则___________．

【答案】

【解析】∵a为一元二次方程2x2+3x-2022=0的一个实数根，

∴2a2+3a-2022=0，

∴2a2+3a=2022，

∴，故答案为：．

8．已知是关于x的一元二次方程的解，则的值为________．

【答案】1

【解析】解：∵是关于x的一元二次方程，

∴，

解得：，

即m=2，

将代入，得：m-2a=1，

即，

∴．

故答案为：1．

9．若是方程的一个根，求代数式的值．

【答案】2022

【解析】解：根据题意，得，则，

即，

则

．

10．已知a是方程x2－2x－1＝0的一个根，求代数式(a－2)2＋(a＋1)(a－1)的值．

【答案】5

【解析】∵是方程的一个根，

∴．

∴．

∴

．