人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理精品同步练习题

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 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课程标准
课标解读
熟练掌握两个计数原理，并能灵活应用两个计数原理解决数学与生活中的计数问题，理解两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的计数原则及分类标准.
通过本节课的学习，要求理解与掌握两个计数原理的计数方法，能应用两个计数原理解决一些简单的实际问题.




知识点1 分类加法计数原理
基本形式：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法
注：应用分类加法计数原理应遵循的两原则
（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准.
（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类即标准明确，不重不漏.
【即学即练1】某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(　　)
A．24种 B．9种 C．3种 D．26种

【即学即练2】某校高三共有三个班，各班人数如下表：

男生人数
女生人数
总人数
高三(1)班
30
20
50
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55

(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？


知识点2　分步乘法计数原理
基本形式：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1× m2×…×mn种不同的方法
注：1、如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．
2、应用分步乘法计数原理解题的一般思路

【即学即练3】已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　)
A．1 B．3 C．6 D．9

【即学即练4】已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．问：
(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？
(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？

【即学即练5】现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是(　　)
A．56 B．65
C. D．6×5×4×3×2

知识点3 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系和区别

分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
不同点
针对的是“分类”问题
不同点
各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事
各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事
注：1、分类应满足：不重不漏(“不重”即各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全集）
分步必须注意：步与步间的连续性
2、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

【即学即练6】现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？

【即学即练7】现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

知识点4 解答计数应用问题的总体思路
根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了. 此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：①枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；②转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；③间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得.
注：解决抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法.
(2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
【即学即练8】三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种．

【即学即练9】现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(　　)

A.120 B.140
C.240 D.260


考点一 分类加法计数原理
解题方略：
应用分类加法计数原理应注意如下问题
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．
(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．
【例1-1】某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ）
A．40种 B．20种 C．15种 D．11种

变式1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
二物理学
法学
工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？

【例1-2】设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　)
A．6个 B．8个
C．12个 D．16个

变式1：设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于y轴上的椭圆有(　　)
A．6个 B．8个
C．12个 D．16个

变式2：设集合A＝{1,2,3,4,5}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　)
A．8个 B．10个
C．12个 D．16个

【例1-3】如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是(　　)
A．5 B．12 C．15 D．4

变式1：我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（    ）．
A．18个 B．15个 C．12个 D．9个

变式2：如图，将钢琴上的12个键依次记为设．若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________．



考点二 分步乘法计数原理
解题方略：
利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步．
(2)计数：求出每一步中的方法数．
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
【例2-1】现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为______种．

【例2-2】从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)
A．30个 B．42个
C．36个 D．35个

变式1：若，则符合条件的二次函数的解析式有______个．


变式2：从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共______个，其中不同的偶函数共________个．(用数字作答)


【例2-3】全国中学生学科竞赛包含数学、物理、化学、生物、信息5个学科，4名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择1个学科参加竞赛，则不同的报名方法种数是_______________．


变式1：某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有(　　)
A．27种 B．36种 C．54种 D．81种

考点三 两个原理的综合应用
解题方略：
1、使用两个原理的原则
使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理．
2、应用两个计数原理计数的四个步骤
(1)明确完成的这件事是什么.
(2)思考如何完成这件事.
(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.
(4)选择计数原理进行计算.
3、与两个计数原理有关问题的解题策略
（1）在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理.
（2）对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观.
（一） 实际问题的中的占位模型中标准的选择
在占位模型中选择按元素还是按位置进行分解的标准是“唯一性”，即元素是否选、选是否只选一次，位置是否占、占是否只占一次．解题时一般选择具有“唯一性”的对象进行分解．
【例3-1】(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？
(3)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？

变式1：某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是______．

变式2：甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ）
A．65 B．73 C．70 D．60.

变式3：某高中为高一学生提供四门课外选修课：数学史､物理模型化思维､英语经典阅读､《红楼梦》人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理模型化思维，学生丙､丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可能情况有___________种.

变式4：中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（ ）
A．360种 B．50种 C．60种 D．90种

变式5：甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（    ）
A．64 B．80 C．96 D．120

（二） 代数中的数字排列问题
【例3-2】【多选】已知集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（    ）
A．表示不同的正数的个数是6
B．表示不同的比1小的数的个数是6
C．（a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6
D．（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是6

变式1：从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（    ）
A．64 B．56 C．53 D．51

变式2：对于自然数作竖式运算时不进位，那么称是“良数”，如32是“良数”，由于计算时不进位，23是“良数”，由于计算时要进位，那么小于1000的“良数”有
A．36个 B．39个 C．48个 D．64个

（三） 几何计数问题
【例3-3】若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有(　　)
A．10个 B．14个 C．15个 D．21个

变式1：如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.

变式2：过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（    ）
A．18 B．30 C．36 D．54

（四）数字排列问题
对于组数问题，应掌握以下原则
(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解．
(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位．
【例3-4】用0,1,2,3,4五个数字．
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
(4)可组成多少个无重复数字的四位奇数？

变式1：用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数？

变式2：在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有(　　)
A．512个　 B．192个
C．240个　 D．108个

变式3：由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：
(1)这些数的数字和；
(2)这些数的和．

变式4：已知集合，，从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个数作为个位数字，能组成______个不同的两位数，能组成______个十位数字小于个位数字的两位数．


（五）涂色问题
解决涂色问题的一般思路
(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．
(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题
【例3-5】如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)


变式1：如图，提供4种不同的颜色给图中，，，四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有___________种．


变式2：如图所示的五个区城中，现要求在五个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区城所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为________（用数字作答）．


变式3：给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（    ）

A．120种 B．720种 C．840种 D．960种

变式4：有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有(　　)

A．4 320种 B．2 880种
C．1 440种 D．720种

变式5：如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（　　）

A．24 B．48 C．96 D．120


变式6：如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，现有5种颜色可供使用，求不同的染色方法．


（六）种植问题
种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．
【例3-6】将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种．







变式1：从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．

题组A 基础过关练
1、图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，则不同的取法共有(　　)
A．120种 B．16种 C．64种 D．39种

2、满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为(　　)
A．14 B．13 C．12 D．10

3、把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有(　　)
A．24种 B．4种 C．43种 D．34种

4、若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；
在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．


5、电路如图所示，在，间有四个开关，若发现，之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有（    ）

A．3种 B．8种 C．13种 D．16种

6、甲、乙、丙3个班各有3，5，2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有______种推选方法．

7、用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数有________ 个.（用数字回答）

题组B 能力提升练
8、从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8

9、从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个元素组成子集，使得这5个元素中任意两个元素的和都不等于11，则这样的子集有(　　)
A．32个 B．34个 C．36个 D．38个

10、如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？



11、若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？

12、将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？


13、一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有(　　)

A．6种 B．8种
C．36种 D．48种


题组C 培优拔尖练

14、【多选】有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ）
A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
15、某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从，，，，，6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从，两人中安排一人，第四节课只能从，两人中安排一人，则不同的安排方案共有______种．（用数字作答）

16、设m∈{1,2,3,4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，则函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1,2]上有零点的概率是________．

17、用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的涂色方法？


18、“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”．

19、某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
（1）每位学生每天最多选择1项；
（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
课后服务
音乐、阅读、
体育、编程
口语、阅读、
编程、美术
手工、阅读、
科技、体育
口语、阅读、
体育、编程
音乐、口语、
美术、科技
若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示）

20、某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：
乘坐站数



票价（元）
2
4
6
现有甲､乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
(1)若甲､乙两人共付费6元，则甲､乙下地铁的方案共有多少种？
(2)若甲､乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？