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    【同步讲义】(人教A版2019)高中数学选修第三册:6.3.1 二项式定理 讲义
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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理精品同步训练题

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理精品同步训练题,文件包含同步讲义人教A版2019高中数学选修第三册631二项式定理原卷版docx、同步讲义人教A版2019高中数学选修第三册631二项式定理解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共32页, 欢迎下载使用。

    6.3.1 二项式定理

    课程标准

    课标解读

    1. 理解二项式定理的概念,会用二项式定理求解二项展开式;
    2. 掌握二项式系数的规律和指数的变化规律.
    3. 掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数.

     

    通过本节课的学习,要求能运用二项式定理求解二项展开式,会求展开式中的二项式系数,特殊项及特殊项系数,能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题.

     

     

    知识点1 二项式定理

    (ab)nCanCan1bCan2b2CankbkCbn(nN*)

    (1)这个公式叫做二项式定理.

    (2)展开式:等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式,展开式中一共有n1项.

    (3)二项式系数:各项的系数C(k{0,1,2n})叫做二项式系数.

    注:①项数:展开式中总共有项。

    顺序:注意正确选择,,其顺序不能更改。是不同的。

    指数:的指数从逐项减到,是降幂排列。的指数从逐项减到,是升幂排列。各项的次数和等

    .

    系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是项的系数是的系数(包括二项式系数)。

    【即学即练1下列不属于的展开式的项的是(    

    A B C D

     

    【即学即练24的展开式.

     

    【即学即练3化简:C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.

     

    知识点2 二项展开式的通项

    (ab)n展开式的第k1项叫做二项展开式的通项,记作Tk1Cankbk.

    拓展:二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗?一般不同.前者仅为C,而后者是字母前的系数,故可能不同.

    【即学即练4的展开式的第8项的系数是(      

    A B C D

    【即学即练5的展开式中有理项有(   

    A B C D

     

    考点一 二项式定理的正用、逆用

    解题方略:

    (1)(ab)n的二项展开式有n1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:各项的次数和等于n字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.

    (2)逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.

    【例1-1利用二项式定理展开下列各式:

    (1)(2)

     

    变式1(1)4ab(ab为有理数),则ab________.

     

    【例1-2化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)________

     

    变式112C4C8C(2)nC等于(  )

    A1  B.-1  C(1)n  D3n

     

     

    变式2已知,则    

    A31 B32 C15 D16

     

     

    考点二 二项展开式的通项的应用

    解题方略:

    求二项展开式的特定项的常用方法

    (1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(0次项)

    (2)对于有理项,一般是先写出通项公式,求其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数集,再根据数的整除性来求解.

    (3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.

    【例2-1】【多选】对于二项式n(nN*),下列判断正确的有(  )

    A.存在nN*,展开式中有常数项

    B.对任意nN*,展开式中没有常数项

    C.对任意nN*,展开式中没有x的一次项

    D.存在nN*,展开式中有一次项

     

    变式16的展开式中的常数项为(  )

    A60  B.-60  C250  D.-250

     

    变式2(xy)10的展开式中x6y4的系数是(  )

    A840  B.-840  C210  D.-210

     

    变式3展开式中,的系数为(      

    A20 B C160 D

     

    变式4已知的展开式中含的项的系数为(    

    A30 B-30 C25 D-25

     

     

    变式5(1x)5(1x)6的展开式中,含x3的项的系数是(  )

    A.-5  B5  C.-10  D10

     

    变式6求下列各展开式中的指定项:

    (1)展开式中的第4项;

    (2)展开式中的第3项.

     

    变式76的展开式中,求:

    (1)3项的二项式系数及系数;

    (2)x2的项.

     

    变式8二项式的展开式的中间项为(      

    A B C D

     

    变式9的展开式中,含的正整数次幂的项共有    

    A4    B3    C2    D1

     

    变式10在二项式 的展开式中, 系数为有理数的项的个数是_____.

     

    【例2-2的展开式中第4项是常数项,则n的值为(      

    A14 B16 C18 D20

     

    变式1(xa)10的展开式中,x7的系数为15,则a______.(用数字填写答案)

     

    变式2如果n的展开式中,x2项为第3项,则自然数n________,其x2项的系数为________

     

    变式3已知在的展开式中,第项为常数项.

    (1)

    (2)求含项的系数;

    (3)求展开式中所有的有理项.

     

    变式4已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.

    (1)n的值;

    (2)求展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数.

    【例2-3的展开式中含的项.

     

    考点三 求两个多项式积的特定项

    解题方略:

    求多项式积的特定项的方法——双通法

    所谓的双通法是根据多项式与多项式的乘法法则得到(abx)n(stx)m的展开式中一般项为:Tk1·Tr1Cank(bx)k·Csmr(tx)r,再依据题目中对指数的特殊要求,确定rk所满足的条件,进而求出rk的取值情况.

    【例3-1(1)5的展开式中常数项等于________

     

    变式1(12x)3(1x)4的展开式中,含x项的系数为(  )

    A10  B.-10  C2  D.-2

     

    变式2(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字作答)

     

    变式3的展开式中的系数为(      

    A72 B60 C48 D36

     

    【例3-2已知(1ax)(1x)5的展开式中,含x2的项的系数为5,则a等于(  )

    A.-4  B.-3  C.-2  D.-1

    变式1的展开式中的系数为,则该二项式展开式中的常数项为(      

    A B C D

     

     

    考点四 三项展开式的通项的应用

    解题方略:

    【例4-1(abc)n(nN*)的展开式中的项数为________

     

    【例4-2展开式中的常数项是___________.

     

    变式1的展开式中常数项为(

    A B C D

     

    变式2展开式中含项的系数.

     

    变式3的展开式中的系数为(    

    A4 B6 C8 D12

     

    【例4-3的展开式中的系数为,则实数的值为

    A B2 C3 D4

     

    考点五 二项式定理的应用

    解题方略:

    利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系.

    (一)求余问题

    【例5-1试求2 01910除以8的余数

     

    变式1100除所得的余数.

     

    变式2,则当n=2021时,a除以15所得余数为(      

    A3 B4 C7 D8

     

    (二)整除问题

    【例5-2用二项式定理证明:能被100整除.

     

    变式1求证:32n28n9(nN*)能被64整除.

     

    变式2已知nN*,求证:122225n1能被31整除.

     

    变式3已知2×1010a(0a<11)能被11整除,则实数a的值为(  )

    A7  B8  C9  D10

     

    变式4,且,若能被13整除,则      

    A0 B1 C11 D12

     

    (三)近似值问题

    【例5-30.9986的近似值,使误差小于0.001.

     

    变式11.028的近似值是________(精确到小数点后三位)

     

    题组A  基础过关练

    1化简:(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)

     

    29的展开式中的第4项是(  )

    A56x3  B84x3  C56x4  D84x4

     

    3(x22)5的展开式的常数项是(  )

    A.-3  B.-2  C2  D3

     

    4的展开式中,的系数(      

    A B5 C35 D50

     

    5的展开式中常数项为,则实数的值是________

     

    6的展开式中,前3项的系数成等差数列,求展开式中x的一次项

     

    7的二项展开式中含项的系数为______

     

    题组B  能力提升练

    8的二项展开式中,第5项和第6项的二项式系数相等,则常数项为__________.

     

    9已知在n的展开式中,第9项为常数项,则:

    (1)n的值为________

    (2)x的整数次幂的项有________个.

     

    10n展开式中前三项系数成等差数列,求:

    (1)展开式中含x的一次项;

    (2)展开式中所有的有理项.

     

    11在二项式的展开式中,

    1)求展开式中含项的系数:

    2)如果第项和第项的二项式系数相等,试求的值.

    12的展开式中第项的系数为

    1)求的表达式;

    2)若,求展开式中的常数项;

    3)若,求的值.

     

    题组C  培优拔尖练

     

    13已知mnN*f(x)(1x)m(1x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.

     

    14在二项式的展开式中,______给出下列条件:

    若展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为72

    所有偶数项的二项式系数的和为256

    若展开式前三项的二项式系数的和等于46

    试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上,并且完成下列问题:

    1)求展开式的常数项;

    2)求展开式中系数绝对值最大的项.

     

     

    15已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1,公比为q的等比数列.

    (1)求和:a1Ca2Ca3Ca1Ca2Ca3Ca4C

    (2)(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明.

     

    16已知

    1)记展开式中的常数项为m,当时,求m的值;

    2)证明:当时,在的展开式中,与的系数相同.

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