高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理精品课堂检测

第01讲  分类加法计数原理与分步乘法计数原理

知识点

　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.

【微点拨】分类应满足：不重不漏；   分步必须注意：步与步间的连续性

2. 与两个计数原理有关问题的解题策略

（1）在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理.

（2）对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观.

3. 应用分类加法计数原理应遵循的两原则

（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准.

（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类即标准明确，不重不漏.

【即学即练1】有3名防控新冠肺炎疫情的志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同的选择方法共有（     ）

（       ）

A．12种 B．9种 C．8种 D．6种

【即学即练2】若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（       ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【即学即练3】在1，2，3，4四个数字中任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有（       ）

A．8个 B．9个 C．10个 D．5个

【即学即练4】现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(　　)

A.120   B.140

C.240   D.260

【即学即练5】满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)

.A.14     B.13     C.12     D.10

【即学即练6】如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个.

【即学即练7】某公司招牌5名员工，分给下属的甲乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是______．

【即学即练8】如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.

【即学即练9】集合A＝{x1，x2，…，x2 022}的真子集个数为________.

【即学即练10】如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.

【即学即练11】已知直线方程，若从、、、、、这六个数中每次取两个不同的数分别作为、的值，则可表示______条不同的直线．

【即学即练12】按序给出，两类元素，类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在，两类中各取1个元素组成1个排列，求类中选取的元素排在首位，类中选取的元素排在末位的排列的个数．类的10个元素叫作天干，类的12个元素叫作地支．两者按固定顺序相配，形成古代纪年历法，求天干各地支相配可形成的纪年历法可以表示多少年.

考法01  

分类加法计数原理：

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中，有m1种不同的方法，第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

【典例1】从名女同学和名男同学中，选出人主持某次主题班会，不同的选法种数为______．

【典例2】如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开从不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（       ）

A．26 B．24 C．20 D．19

【典例3】设椭圆＋＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b＝{1，2，3，4，5，6，7}，则满足上述条件的椭圆个数为（       ）

A．20 B．24 C．12 D．11

【典例4】（多选题）某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（       ）

A．此人有4种选课方式 B．此人有5种选课方式

C．自习不可能安排在第2节 D．自习可安排在4节课中的任一节

【典例5】在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表：

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？

考法02  

分步乘法计数原理：

完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

推广：完成一件事需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

【典例6】今有2只红球、3只黄球，同色球不加以区分，将这5只球排成一列，有______种不同的方法（用数字作答）．

【典例7】如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)

【典例8】展开后的不同项数为（       ）

A．9 B．12 C．18 D．24

【典例9】（多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（       ）

A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种

B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种

C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种

D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种

考法03

两个计数原理的综合应用：分类加法计算原理和分步乘法计数原理的区别：两个原理都是有关做一件事的不同方法的种数问题，分类加法计数原理针对的是分类问题，其中每种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤都完成了才算做完这件事．

【典例10】将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为(　　)

A．40  B．28

C．24  D．16

【典例11】如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路（每条线路仅含1条通路）？

【典例12】一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N*)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．

（1）如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？

（2）如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法？

【典例13】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？

(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？

【典例14】现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．

(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？

(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

题组A  基础过关练

1．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有(　　)

A．512个　  B．192个

C．240个　  D．108个

2. 为促进中学生综合素质全面发展，某校开设5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有（       ）

A．60种 B．120种 C．125种 D．243种

3. 某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（       ）

A．18 B．24 C．36 D．72

4. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（       ）

A．360种 B．50种 C．60种 D．90种

5. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（       ）

A．（34，34） B．（43，34） C．（34，43） D．（A43，A43）

6. 从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为（       ）

A．18 B．20 C．25 D．10

7. 某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是（       ）

A．9×8×7×6×5×4×3×2

B．8×96

C．9×106

D．8.1×106

8. 若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有（       ）

A．10个 B．14个 C．15个 D．21个

9. 某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为（       ）

A． B． C． D．

10. 某旅行社共有名专业导游，其中人会英语，人会日语，若在同一天要接待个不同的外国旅游团，其中有个旅游团要安排会英语的导游，个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有（       ）

A． B． C． D．

11. 算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（       ）

A． B． C． D．

12. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A．243    B．252    C．261     D．279

13．现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A、B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有（　　）

A．13种 B．15种 C．20种 D．30种

14. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（　　）

A．24 B．48 C．96 D．120

15. 将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（    ）

A．16种 B．12种 C．9种 D．6种

16. 某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖则他获得奖次的不同情形种数为　　

A．9 B．12 C．18 D．24

17. 已知三边，，的长都是整数，，如果，则符合条件的三角形的个数是（　）

A． B． C． D．

18. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此，3可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9数字表示的两位数的个数为（       ）

A．9 B．13 C．16 D．18

19. 李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（       ）

A．     B．    C．     D．

20. 现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（       ）

A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种

20. 从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（       ）个

A．98 B．56 C．84 D．49

题组B  能力提升练

1.（多选题）1．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：

现有小花、小李两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是（       ）A．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有9种

B．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有18种

C．若小花、小李两人共花费6元，则小花、小李下地铁的方案共有27种

D．若小花、小李两人共花费6元，则小花比小李先下地铁的概率为

2. （多选题）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，下列结论正确的是（       ）

A．最高处的树枝为､当中的一个

B．最低处的树枝一定是

C．这九棵树枝从高到低不同的顺序共有33种

D．这九棵树枝从高到低不同的顺序共有32种

3.（多选题）现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（       ）

A．从中任选1个球，有15种不同的选法

B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法

C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法

D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法

4. （多选题）我国古代的《易经》与“二进制”有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“——”和“——”，其中“——”在二进制中记作“1”，“——”在二进制中记作“0”，其转化原理与“逢二进一”的法则相通，如符号“”对应的二进制数转化为十进制数的计算为．若从两类符号中任取2个符号排列，则组成的十进制数可以为（       ）

A．1 B．2 C．4 D．6

5.（多选题）用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、4123等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（       ）

A．组成的三位数的个数为60

B．在组成的三位数中，偶数的个数为30

C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20

D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为30

6. 已知集合，、，则对于方程的说法正确的是（       ）

A．可表示个不同的圆 B．可表示个不同的椭圆

C．可表示个不同的双曲线 D．表示焦点位于轴上的椭圆的有个

7.（多选题）某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（       ）

A．此人有4种选课方式 B．此人有5种选课方式

C．自习不可能安排在第2节 D．自习可安排在4节课中的任一节

8. 设为正六边形，一只青蛙开始在顶点处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一，若在5次之内跳到点，则停止跳动；若5次之内不能到达点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共____种．

9.某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从，，，，，6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从，两人中安排一人，第四节课只能从，两人中安排一人，则不同的安排方案共有______种．（用数字作答）

10. 王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.

（1）若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有________种不同的带法；

（2）若带外语、数学、物理参考书各1本，则有________种不同的带法；

（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有________种不同的带法.

11. 在某运动会的百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙3人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．

12. 习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________．

13. 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有       种（用数字作答）.

14. 设m∈{1，2，3，4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，则函数f(x)＝x3＋mx＋n在区间[1，2]上有零点的概率是________．

15. 圆周上有2n(n大于2)个等分点，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为__________．

16. 如图，要给地图上、、、四个区域分别涂上种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种．

C  培优拔尖练

1. 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

2. （1）如果，那么在平面直角坐标系内，集合中有多少个不同的点？

（2）如果，，那么在平面直角坐标系内，方程所表示的不同的直线共有多少条？

3. （1）乘积展开后共有多少项？

（2）展开后共有多少项？

4. 从数字1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，试求：

(1)这个两位数是5的倍数的概率；

(2)这个两位数是偶数的概率.

5. 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图，这是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？

6. 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成，第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号.其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？

7. 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.

（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？

（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？

（4）要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

8. 如图所示的，，，按照下列要求涂色．

（1）用3种不同颜色填涂图中，，，四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？

（2）若恰好用3种不同颜色给，，，四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？

（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？