【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：6.2.2 排列数 讲义

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6.2.2 排列数

课程标准
课标解读
1.理解与掌握排列数公式，熟练应用排列数公式及性质求解与排列数有关的量，并能证明恒等式，求方程的解及不等式的解.
2. 能解决一些简单的实际问题.熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题.
通过本节课的学习，要求能准确判断排列问题，准确用排列数公式表达排列的关系，并能应用排列数的公式求解与排列有关的实际问题与数学问题.


考点一 排列数公式的应用
（一）利用排列数公式求值
（二）利用排列数公式化简
（三）利用排列数解不等式
（四）利用排列数公式证明
考点二 无限制条件的排列问题
考点三 有限制条件的排列问题
（一）“相邻”问题
（二）“不相邻”问题
（三）定序问题
（四）间接法
（五）元素的“在”与“不在”问题
考点四 数字排列问题
考点五 排列的综合应用

知识点1 排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
注：排列与排列数不相同，排列数是元素排列的个数，两者显然不同．
【即学即练1】甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
【解析】甲､乙､丙三名同学排成一排，不同的排列方法有 种故选：C

知识点2　排列数公式及全排列
1．排列数公式的两种形式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)A＝.
2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
【即学即练2】等于（ ）
A．9×3 B．93
C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3
【解析】根据排列数的计算公式可得，故选：C.

【即学即练3】＝________.
【解析】＝＝36.

【即学即练4】89×90×91×92×…×100可表示为(　　)
A．A B．A C．A D．A
【解析】89×90×91×92×…×100＝＝＝A.故选C

【即学即练5】【多选】下列各式中与排列数A相等的是(　　)
A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C. D．A·A
【解析】∵A＝，而A·A＝n·＝，
∴A＝A·A.故选AD.

【即学即练6】在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（ ）
A．4种 B．12种 C．18种 D．24种
【解析】由题意可得不同的采访顺序有种，
故选：D.


知识点3 求解排列应用问题的六种常用方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
【即学即练7】三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
【解析】(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A种不同的排法．因此共有A·A＝4 320(种)不同的排法．
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A种排法，因此共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
(3)方法一　(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
方法二　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14 400(种)不同的排法．
方法三　(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400(种)不同的排法．
(4)方法一　(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法，因此共有A·A＋A·A·A＝36 000(种)不同的排法．
方法二　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法A·A种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A－A·A＝36 000(种)不同的排法．


考点一 排列数公式的应用
解题方略：
排列数公式的选择
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
（一） 利用排列数公式求值
【例1-1】计算：A和A.
【解析】A＝15×14×13＝2 730，A＝6×5×4×3×2×1＝720.

变式1：_________．
【解析】根据排列数的计算公式，可得.故答案为：.

变式2：下列各式中，不等于的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】A，，
B，，
C，，
D，，
故选：C


变式3：已知A－A＝10，则n的值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.故选B

变式4：（1）已知，那么______；
（2）已知，那么______；
（3）已知，那么______．
【解析】（1）由，
则，
即，解得.
（2）由，
则，解得.
（3）由，
则且，
解得或（舍）.
故答案为： ； ；


（二） 利用排列数公式化简
【例1-2】(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n