数学选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题

这是一份数学选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题，共6页。试卷主要包含了1分类加法原理和分布乘法原理等内容，欢迎下载使用。

1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有
A．3种B．6种C．7种D．9种
【答案】C
【解析】分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7（种）．
2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为
A．7B．12C．64D．81
【答案】B
【解析】要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12（种）不同的配法．
3．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种．
A．64B．98C．108D．112
【答案】C
【解析】A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3×3＝108（种）涂法．
4．若x∈{1，2，3}，y∈{5，7，9}，则x·y的不同值个数是
A．2B．6C．9D．8
【答案】C
【解析】求积x·y需分两步取值：第1步，x的取值有3种；第2步，y的取值有3种，故有3×3＝9个不同的值．
5．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为
A．40B．16C．13D．10
【答案】C
【解析】分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．
6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有
A．24种B．18种C．12种D．6种
【答案】B
【解析】法一：（直接法）若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故共有6×3＝18种不同的种植方法．
法二：（间接法）从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有24－6＝18种不同的种植方法．
7．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为
A．18B．20C．25D．10
【答案】A
【解析】第一步，给A赋值有5种选择，
第二步，给B赋有4种选择，由分步乘法计数原理可得：5×4＝20（种）．
又因为A＝1，B＝2，与A＝2，B＝4表示同一直线．A＝2，B＝1与A＝4，B＝2，也表示同一直线．
∴形成不同的直线最多的条数为20－2＝18．
8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有
A．30种B．50种C．60种D．90种
【答案】B
【解析】①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，
②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，
所以总共有20+30＝50种．故选B．
9．我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入3×3的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等（如图所示），我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是
A．9B．8C．6D．4
【答案】B
【解析】三阶幻方，是最简单的幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9．其中有8种排法492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276；816、357、492；618、753、294；672、159、834；834、159、672．
故选B．
10．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有
A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法
B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法
C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D．要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法
【答案】ABC
【解析】对于A：分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2十7＝14（种）不同的选法，A正确；
对于B：分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70（种）不同的选法，B正确；
对于C：分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10（种）不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35（种）不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14（种）不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59（种）不同的选法，C正确；
对于D：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝6．D错误，故选ABC．
11．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
【答案】13
【解析】按照焊点脱落的个数进行分类：
第一类：脱落一个焊点，只能是脱落1或4，有2种情况；
第二类：脱落两个焊点：有（1，4），（2，3），（1，2），（1，3），（4，2），（4，3）共有6种情况；
第三类：脱落三个焊点：有（1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）共有4种情况；
第四类：脱落四个焊点，只有（1，2，3，4）一种情况．
于是脱落焊点的情况共有2＋6＋4＋1＝13（种）．
12．将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入图中的5个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有________种不同的涂色方法．
【答案】72
【解析】给出区域标记号A，B，C，D，E（如图所示），则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种．但E区域的涂色依赖于B区域与D区域涂的颜色，如果B区域与D区域涂的颜色相同，则有2种涂色方法；如果B区域与D区域所涂的颜色不相同，则只有1种涂色方法．因此应先分类后分步．
（1）当B与D同色时，有4×3×2×2＝48（种）．
（2）当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24（种）．
故共有48＋24＝72（种）不同的涂色方法．
13．如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．
【答案】40
【解析】满足条件的有两类：
第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8个；
第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32个，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40个．
14．如图所示，要给梓、耕、教、育四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？
【解析】梓、耕、教、育四个区域依次涂色，分四步完成：
第1步，涂梓区域，有3种选择；
第2步，涂耕区域，有2种选择；
第3步，涂教区域，由于它与三、维区域颜色不同，有1种选择；
第4步，涂育区域，由于它与维、设区域颜色不同，有1种选择．
所以根据分步乘法计数原理，共有3×2×1×1＝6种不同的涂色方法．
15．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
【解析】分两类完成：
第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条．
第2类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成：
第1步，确定A的值，有4种不同的方法；
第2步，确定B的值，有3种不同的方法．
由分步乘法计数原理知，共可确定4×3＝12条直线．
由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线的条数共有2＋12＝14．
【规律方法】在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．
16．用0，1，2，3，4五个数字，
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
【解析】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125（种）．
（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100（种）．
（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12（种）排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18（种）排法．因而有12＋18＝30（种）排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．A
B
C
D
8
3
4
1
5
9
6
7
2