初中数学沪科版八年级上册15.2 线段的垂直平分线精品课后作业题

沪科版数学八年级上册同步学案

第15章　轴对称图形与等腰三角形

15.2　线段的垂直平分线

要  点  讲  解

要点一　线段垂直平分线的作法

利用尺规作图法作出线段的垂直平分线．

根据两点确定一条直线，只要找出到这条线段的两个端点距离相等的两个点，过这两个点作直线就能得到这条线段的垂直平分线．

已知：线段AB，如图所示．

求作：线段AB的垂直平分线．

作法：(1)分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D.

(2)过C，D两点作直线CD，则直线CD即为线段AB的垂直平分线．

经典例题1　如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上作点P，使P到A，B的距离相等(保留作图痕迹)．

解析：P到A，B的距离相等，说明P在线段AB的垂直平分线上，也就意味着这一点是线段AB的垂直平分线与AC的交点．

解：如图所示．分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧分别交于M，N两点，过M，N作直线交AC于点P，则点P即为所求作的点．

要点二　线段垂直平分线的性质

1. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，这个性质是证明线段相等的方法之一．

2. 这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度．

3. 在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段．

经典例题2　如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm.则AC的长等于多少？

解析：由于直线DE是线段AB的垂直平分线，因而有AE＝BE，所以AC＝AE＋EC＝BE＋EC，结合△BCE周长等于18cm，BC＝8cm，问题便可轻松获解．

解：∵△BCE的周长为18cm，

∴BE＋CE＋BC＝18cm，

又∵BC＝8cm，∴BE＋CE＝10cm.

又∵直线DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，

∴AE＋CE＝10cm，

即AC＝10cm.

要点三　线段垂直平分线的判定

1. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

2. 证明某一条直线是一条线段的垂直平分线有两种方法：

第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分．

第二种：在已知直线上找两点，设法证明这两点到已知线段两端的距离相等，这样就可以证得已知直线是已知线段的垂直平分线．

经典例题3　如图，AB＝AD，BC＝DC，E是AC上的一点．求证：BE＝DE.

证明：∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上．

又∵BC＝DC，

∴点C在线段BD的垂直平分线上．

∵两点确定一条直线，

∴AC是线段BD的垂直平分线．

又∵点E在AC上，∴BE＝DE.

当  堂  检  测

1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　)

A. 6                    B. 5                 C. 4                D. 3

第1题                                   第2题

2. 如图，AB是CD的垂直平分线，若BD＝1.6cm，AC＝2.3cm，则四边形ACBD的周长是(　　)

A. 3.9cm             B. 7.8cm              C. 4cm           D. 4.6cm

3. 如图，CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，下列结论：①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°.其中正确的有(　　)

A. 2个               B. 3个               C. 4个           D. 5个

第3题                              第4题

4. 如图，已知OC＝OD，则下列说法不正确的是(　　)

A. OP＝DP                                 B. CA＝DA

C. OP⊥CD                                 D. 点O在CD的垂直平分线上

5. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝       .

第5题                                  第6题

6. 如图，在△ABC中，直线DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长＝          .

7. 如图，点A，点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

8. 如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上.若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长.

9. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点G，△ADF的周长为14.

(1)求BC的长；

(2)若∠B＋∠C＝70°，求∠DAF的度数.

当堂检测参考答案

1. B  2. B  3. D  4. A

5. 50° 

6. 23cm 

7. 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，如图所示.

8. 解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC，∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE，∴AB＝CD.∵AB＝5cm，BD＝3cm，∴CE＝5cm，CD＝3cm.∴BE＝BD＋DC＋CE＝11cm.

9. 解：(1)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴BD＝AD，AF＝CF，∴BC＝BD＋DF＋FC＝AD＋DF＋AF＝14.　

(2)∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，∴△DBE和△DAE关于DE对称，△FGC和△FGA关于FG对称，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAF.∵∠B＋∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－70°＝110°，∠BAD＋∠CAF＝70°，∴∠DAF＝110°－70°＝40°.