数学八年级上册15.2 线段的垂直平分线优秀ppt课件

这是一份数学八年级上册15.2 线段的垂直平分线优秀ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了探究发现，线段垂直平分线的性质，你能验证这一结论吗，验证结论，典例精析，解1如图所示，逆命题，线段垂直平分线的判定，∴ACBC，知识要点等内容，欢迎下载使用。

某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
问题：怎样作出线段的垂直平分线？
做一做： 在半透明纸上画一条线段 AB，折纸使 A 与 B 重合，得到的折痕 l 就是线段 AB 的垂直平分线.想一想： 这样折纸怎么就是垂直平分线呢？
线段垂直平分线的尺规作图
(2) 作直线 CD. CD 即为所求.
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
猜想：点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等．
定理：线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等.
由此你能得到什么结论？
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上．求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又 AC = CB，PC = PC，∴ △PCA≌△PCB (SAS)．∴ PA = PB．
例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cmB．10 cmC．15 cmD．17.5 cm
解析：∵ △DBC 的周长为 BC＋BD＋CD ＝ 35 cm，又 DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
例2 如图，已知点 A、点 B 以及直线 l.(1)用尺规作图的方法在直线 l 上求作一点 P，使 PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若 AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
(2) 在△AMP 和△BNP 中， AM＝PN， AP＝PB， PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS).∴∠MAP＝∠NPB.
例3 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) FC＝AD；(2) AB＝BC＋AD.
解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADC＝∠ECF，再根据 E 是 CD 的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质证得结论；(2) 先根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BF，再结合 (1) 即可得证．
证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADC＝∠FCE.∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴ FC＝AD.(2) ∵△ADE≌△FCE，∴ AE＝FE.又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴ AB＝BF＝BC＋CF.∵ AD＝CF，∴ AB＝BC＋AD.
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
已知：PA = PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
证明：作 PC⊥AB，垂足为 C.
∴ ∠ACP =∠BCP = 90°.
在Rt△ACP 和 Rt△BCP 中，
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）.
∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
PA = PB，PC = PC，
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
应用格式：∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
例4 如图，已知△ABC 的边 AB，AC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上.
证明：连接 PA，PB，PC.∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，∴ PA = PB，PA = PC. ∴ PB = PC.∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能回答讲课前提出的问题吗？你知道购物中心应该建在何处了吗？
2. 在锐角△ABC 内有一点 P，满足 PA = PB = PC，则点 P 是△ABC 的 ( ) A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点
3. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合有 　　　种.
4. 下列说法：① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点， 则 EA＝EB，PA＝PB；② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB；③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点；④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB．其中正确的有 (填序号).
5.如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交AC 于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm.
6.已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC， AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.求证：AO = BO.
证明： ∵ AC = BC，AD = BD，
∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线.
又∵AB 与 CD 相交于点 O，
∴点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
7.如图，有 A，B，C 三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.
8. 如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，试说明 AD 与 EF 的关系.
解：∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.又∵ AD＝AD，∴△ADE≌△ADF(AAS). ∴ AE＝AF，DE＝DF.∴ A、D 均在线段 EF 的垂直平分线上， 即直线 AD 垂直平分线段 EF.