人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置第2课时教案

2.5.1直线与圆的位置关系（第二课时）

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册)

一、教学目标

1.掌握利用直线与圆位置关系解决实际问题的一般方法；

2. 掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程；

  3.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

二、教学重难点

1.利用直线与圆的位置关系解决实际问题的一般方法和思想；

2.学生的数学抽象、数学转化能力与数学建模能力的培养。

三、教学过程

（一）复习回顾

1.直线与圆的位置关系的判断方法：直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断：

2. 直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有： ()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.

3.过某点的圆的切线方程问题：

（1）若点P(x0，y0)在圆上，利用切线和圆心与点P的连线垂直求解切线方程；

 (2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线，常利用几何方法求解，即：圆心到切线的距离等于半径，设切线方程，利用待定系数法求解。

易错提示：直线方程的点斜式无法表示斜率不存在的直线

【设计意图】以提问的方式，帮助学生复习前面所学知识，同时ppt动态演示复习内容，给学生以直观的感受和提醒，为本节课内容做好铺垫。

（二）问题引入新课

台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为多少？

【设计意图】通过现实生活中的实例，让学生体会到数学源于生活并可以指导生活，感受数学的魅力

（三）讲授新课

例3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m).

问题1.如何建立适当的平面直角坐标系？（大家分组讨论，给出方案）

（教师展示学生方案，引导学生回忆建立平面直角坐标系应该遵循的原则，选择最合适的坐标系。）

学生：（回忆回答建立直角坐标系的原则）

①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.

②常选特殊点作为直角坐标系的原点.

③尽量使已知点位于坐标轴上.

建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.

【设计意图】进一步巩固建立适当的坐标系的方法技巧

师生活动：选择最适合的坐标系后在平民啊直角坐标系下解决代数问题：

预设答案：

解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，

O为坐标原点，圆心在y轴上，由题意，点P,B的坐标分别为

（0,4),(10,0),设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2 .

因为P,B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得

到方程组     解得b=－10.5, r2=14.52所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52

答：支柱的高度约为3.86 m.

【设计意图】学习利用直线与圆的位置关系解决实际问题的解答过程

问题2.如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个个问题吗？

预设答案：

追问1：这两种方法有什么特点？

追问2：坐标法的基本步骤有哪些？（回到解答过程中去寻找答案）

预设答案：

第一步： 建系，转化；第二步：解答；第三步： “翻译”

【设计意图】及时归纳总结，力争达到举一反三的效果

例4一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？

(师生活动：教师引导学生按照上例总结归纳的步骤一步步解答例4)

预设答案：解：以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为(4,0).

则暗礁所在圆形区域边缘对应圆O的方为   ,其圆心坐标（0，0），半径为2；轮船航线所在直线l方程为                                      

联立直线与圆的方程：

方程组无解。所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险。

追问：还有没有其他方法解决这个问题？

师生活动：教师引导学生给出不同的解法并分析不同解法的特点

预设答案：

【设计意图】通过例4 的解答进一步熟悉、巩固坐标法解决实际问题的步骤

师生活动：解决导入时的问题：台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为多少？

预设答案：以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，

则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，

MN:y=x,   圆B：， 

利用弦长公式可求得|MN|＝20，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，所以时间为1 h.

【设计意图】1.巩固练习坐标法；2.前后呼应

（四）课堂小结

解决直线与圆的实际应用题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；

 第二步：通过代数运算，解决代数问题；

 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.

（五）课后作业

课本95页练习

1. 赵州桥的跨度是37.4 m，圆拱高约为7.2 m.求这座圆拱桥的拱圆方程.
2. 在一个平面上，机器人从与点C(5,-3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变.它在行进过程中到过点A(-10,0)与B(0,12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少？
3. 某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m。现有一船，宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过？