高中人教A版 (2019)第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置第1课时教案

2.5.1直线与圆的位置关系（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)

一、教学目标

1. 掌握直线与圆的三种位置关系及判定方法（几何法和代数法），能够解决一些简单的直线与圆位置关系相关的问题；

2. 经历观察、探索、总结和运用直线与圆位置关系的判断方法的过程，培养直观想象、运算求解、总结概括的思维能力；

3. 学会用代数方法解决几何问题，体会数形结合、函数与方程、化归等数学思想.

二、教学重难点

1. 教学重点：直线与圆的三种位置关系及其判定方法.

2. 教学难点：用代数方法探求直线与圆的位置关系的过程.

三、教学过程

1. 创设情境

【实际情境】（展示日出的动图）古诗里描写道：“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，它生动地描绘了日出的绚丽景象。大家有没有想过，在日出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识。

问题1：如果我们把太阳近似看作一个圆，海天交线看做一条直线，请大家观察一下，在日出的过程，体现了直线与圆的哪些位置关系？

【预设的答案】直线与圆相交，相切，相离。

【设计意图】直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过日出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的.

2. 知识回顾

问题2：（呈现直线与圆的三种位置关系的图象）对于这三种位置关系，图象呈现出什么样的几何特征呢？在初中，我们是怎么判断直线与圆的位置关系的？

【预设的答案】通过直线与圆的公共点个数来判断，直线与圆相交时有两个公共点，相切时有一个公共点，相离时没有公共点。

问题3：除了公共点个数的不同，我们还能直观地看到，从相交到相离，圆和直线的“距离”在“变远”，如何从这个角度来刻画直线与圆的位置关系呢？

【预设的答案】比较圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系，当d<r时直线与圆相交，当d=r时直线与圆相切，当d>r时直线与圆相离。

问题4：这两种判定方法都是从几何特征来认识直线与圆的位置关系，前面我们学习了直线和圆的方程，已知直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系呢？下面，我们将通过具体例子来进行研究。

【设计意图】通过回顾初中时判定直线与圆位置关系的方法，调动学生原有的知识经验，在定性描述的基础上，结合直线和圆的方法，让学生思考如何定量刻画，从而引出本节课的主要内容。

3. 探究典例，总结方法

例1：已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.

【活动预设】探究直线与圆位置关系的判定方法，引导学生将问题进行转化，转化为判断它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解的问题。

【预设的答案】

解法1：联立直线l与圆C的方程，得

消去y，得，解得

所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.

把分别代入方程①，得

所以直线l与圆C的两个交点是，

因此

解法2：圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为，半径为，圆心C到直线l的距离

所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.

由垂径定理，得

【活动预设】引导学生总结直线与圆位置关系的判定方法以及求直线与圆相交时弦长的方法。

求直线与圆相交时弦长的两种方法：

(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.

(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝

【设计意图】通过对例1的探究，学会将几何问题代数化，总结出利用方程来判断直线与圆位置关系的两种方法，体会数形结合、转化与化归的数学思想。

例2：过点作圆的切下l，求切线l的方程.

【活动预设】探究过某一点求圆的切线方程的问题，先探究点在圆外的情况，再设计两个变式探究点在圆上、点在圆内的情况。

【预设的答案】

解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，即

由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得

解得或

因此，所求切线l的方程为或

解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为

因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解

消元，得        ①  

因为方程①只有一个解，所以

解得或

因此，所求切线l的方程为或

变式1：过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　)

A．2x－y＋9＝0   B．2x＋y－9＝0

C．2x＋y＋9＝0   D．2x－y－9＝0

【预设的答案】B

变式2：已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)

A．l与C相交   B．l与C相切

C．l与C相离   D．以上三个选项均有可能

【预设的答案】A

【活动预设】引导学生总结出求过某一点的圆的切线方程的方法。

（1）点(x0，y0)在圆上．

①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．

②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.

（2）点(x0，y0) 在圆外．

①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．

②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．

③过圆外一点的切线有两条．

【设计意图】通过对例2的探究，掌握求过圆外一点的圆的切线方程的两种方法，再通过变式将问题进行拓展，总结出点在圆外、点在圆上和点在圆内的情况。

4. 课堂练习

练习：已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.

（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；

（2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．

【预设的答案】

解：（1）圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2.

当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；

当斜率存在时，设直线l的方程为kx－y－4k－1＝0，

则＝2，解得k＝－，

所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.

综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.

（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，

圆心到直线l的距离d＝＝，

故所求弦长为2＝2＝2.

【设计意图】通过课堂练习，运用本节课所学知识来解决一些简单的与直线与圆位置关系相关的问题（求切线方程、求弦长），检测学生对知识的理解，巩固所学内容。

5. 课堂小结

【活动预设】引导学生总结本节课所学内容，结合图象进行理解。

（1）判断直线与圆的位置关系（几何法、代数法）

（2）求直线与圆相交时的弦长（几何法、代数法）

（3）求过某一点的圆的切线方程（点在圆上、点在圆外）

【设计意图】数形结合，总结本节课所学内容，形成知识框架。

四、课外作业

教材P98页“习题2.5”（复习巩固）