数学人教A版 (2019)4.3 等比数列精品当堂达标检测题

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第5讲 等比数列的前项和及性质6大题型总结
【考点分析】　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一：等比数列的前n项和公式
等比数列的前项和公式：
考点二：等比数列的前n项和公式的性质
等比数列前n项和的常用性质：，即，其中
【题型目录】
题型一：等比数列求和公式基本运用
题型二：等比数列前项片段和的性质及应用
题型三：等比数列前项和的特点
题型四：等比数列前奇偶项和的性质及应用
题型五：等比数列前项和新文化试题
题型六：等差等比数列的判定
【典型例题】
题型一：等比数列求和公式基本运用
【例1】（2022·河北深州市中学高三阶段练习）设正项等比数列的前n项和为，若，则（    ）
A．510 B．511 C．1022 D．1023
【答案】A
【分析】设正项等比数列的公比为，由等比数列的通项公式和前项和公式代入化简可得，即可求出，进而求出，再由前项和公式代入即可得出答案.
【详解】设正项等比数列的公比为，
则由得，
即，即，即，解得（舍去）．
由得，所以.
故选：A．
【例2】（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（    ）
A．该人第五天走的路程为14里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
【答案】D
【分析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列,由题意求出首项，可得其通项公式，即可求出，判断A,B;求出可判断C,D.
【详解】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列，
设数列前n项和为，则，
故 ，解得，
则，
故 ，该人第五天走的路程为12里，A错误；
，该人第三天走的路程为48里，B错误；
，该人前三天共走的路程为里，C错误；
由（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确，
故选：D
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，对于任意的，都有.若正整数满足,则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据可判断数列是首项为2、公比为2的等比数列，进而根据等比数列的性质以及求和求和公式即可求解.
【详解】令，则由，可得，即，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，所以，
由，得，解得，
故选：C.


【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前项和，满足，则的最小值为（    ）
A．   B．3   C．4 D．12
【答案】D
【分析】根据题意，设该等比数列的首项为，公比为，利用，可得，
则，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】根据题意，设该等比数列的首项为，公比为，
若，则有
，
又由数列为正项的等比数列，则，，
则，
则
，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为12.
故选：D.
【例5】（2023·全国·高三专题练习）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知,，则的值是（    ）
A．28     B．32     C．35     D．41
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，易知，由等比数列前项和公式列方程组求得，，然后由通项公式计算．
【详解】设等比数列的公比为，易知，
∵S3，S6，
∴，解得.
则a827＝32.
故选：B.
【例6】（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则________．
【答案】10
【分析】利用等比数列、等差中项列方程，可解出q，则可由求值.
【详解】由题意，，解得（舍）或，∴.
故答案为：10
【例7】（2022·江西·临川一中高三阶段练习（文））已知等差数列的前n项和为，且关于x的不等式的解集为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）先设等差数列的首项，公差为，根据不等式的解集求出首项与公差，进而可求出通项公式；
（2）由（1）得，再根据等差数列与等比数列的求和公式，即可求出结果.
（1）
设等差数列的公差为d，因为关于x的不等式的解集为，所以的根为，
所以，所以
又，所以，
所以数列的通项公式为；
（2）
由（1）可得，，
因为，所以，
所以数列的前n项和.
【例8】（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）在等差数列中，已知，，
(1)求此数列的通项公式；
(2)若从此数列中依次取出第二项，第四项，第八项，……，第项，……并按原来的先后顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式与前项和.
【答案】(1)，(2)，.
【分析】（1）设的公差为，依题意得到方程组，解得，，即可得到通项公式；
（2）由（1）可得，利用等比数列前和公式及分组求和法计算可得.
（1）
解：设的公差为，依题意可得.
解得，，
所以.
（2）
解：依题意，
所以


.
【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，且，，成等差数列．若，则（    ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【答案】B
【分析】设公比为，由，，成等差数列，列方程可求出公比，然后利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】设公比为，
因为，，成等差数列，
所以，
即，
因为，所以，解得
所以，
故选：B.
2．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（    ）
A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里
【答案】C
【分析】根据题意确定每天走的步数构成等比数列，根据数列的前7项和求解数列的首项，进而确定数列的第3项，即可得到此人第三天走的路程.
【详解】由题意得此人每天走的步数构成公比为的等比数列，且该数列的前7项和为378，
设该等比数列为，
则有，
解得，
则，即第三天走了48里.
故选：C.
3．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（    ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】先根据与的关系得到，设出公比，列出方程组，求出公比.
【详解】因为，
所以
设公比为q，可得：，
两式相除得：
故选：A
4．（2022·江西·高三阶段练习（文））记正项等比数列的前n项和为，若，则该数列的公比（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合等比数列的意义列出关于的方程，求解作答.
【详解】正项等比数列中，，由得，
整理得，即，解得，
所以数列的公比.
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（    ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】设公比为，则由已知可得，从而可求出公比.
【详解】设公比为，
因为，，所以，
所以，即
两个方程左右两边分别相除，得，
因为数列是正项等比数列，所以，
故选：D.
6．（2022·湖北武汉·高三开学考试）设正项等比数列的前项和为，若，则（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据第一个等量关系得到关于公比的方程，解方程得到公比的值，代入第二个等量关系得到关于首项的方程，解方程得到首项，从而得到的值.注意正项等比数列的公比大于0.
【详解】设正项等比数列的公比为q（q>0），
则由得，
即，即，
即，
解得（舍去）.
由得，即，
将代入得，
解得，
则.
故选：A.
7．（2022·四川·高三阶段练习（理））设等比数列 的前项和为，且，则（    ）
A．28 B．42 C．49 D．56
【答案】D
【分析】先求得公比，然后求得.
【详解】设等比数列的公比为，
则，
所以．
故选：D
8．（2022·上海市吴淞中学高三开学考试）已知数列满足，（），则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意推得，得到数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比都为，首项分别为和，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，数列满足，
当时，可得，则，
又由，可得，所以，
所以数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比都为，首项分别为和，
所以
.
故选：B.
9．（2022·全国·高三专题练习）设是正项等比数列，为其前项和，已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等比中项得，再利用和等比数列的通项公式计算，即可得到的值.
【详解】因为是正项等比数列，所以 ，，
由等比中项得，解得，
所以解得，，
所以.
故选：B.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等比数列的通项公式与求和公式求出公比q，进而即可求解
【详解】设公比为q（显然），
由得，
即，得或（舍去），
所以递增且，
所以最小值为．
故选：C
11．（2022·安徽省宣城中学高二期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（    ）天墙才能被打穿？
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】设需要n天时间才能打穿，结合题设列不等式并整理得，令，利用函数零点存在性定理及函数单调性即可求出结果．
【详解】解：设需要n天时间才能打穿，则，
化简并整理得，
令，则；，
又在单调递增，
∴在内存在一个零点，
∴至少需要4天时间才能打通．
故选：B．
12．（2022·新疆·乌市八中高二期末（理））已知正项等比数列的前项和为，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用等比数列的性质解得，在结合，即可解得与，最后代前项和公式即可求解
【详解】设正项等比数列的公比为

而，则，所以，所以
，解得
故选：C
13．（2023·全国·高三专题练习多选题）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（    ）
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
【答案】AD
【分析】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，由此可求出首项，然后逐个分析判断
【详解】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为的等比数列，且，
所以，解得，
所以，
对于A，因为，所以A正确，
对于B，因为，所以B错误，
对于C，，所以C错误，
对于D，该人最后三天共走的路程为，所以D正确，
故选：AD
14．（2022·上海·高三开学考试）已知是等比数列，为其前n项和，若是、的等差中项，，则______．
【答案】1
【分析】根据等比数列的通项公式和前n项和公式列方程组即可求解.
【详解】设，由题意得，
当公比时，有，解得，．
当公比时， 是常数列，不满足是、的等差中项.
综上：，.
故答案为：1
15．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，，，则项数______．
【答案】7
【分析】根据已知条件求得以及公比，从而求得.
【详解】设等比数列的公比为，
，
由，解得或，则.
①当时，，
.
②当时，.
.
综上所述，的值为.
故答案为：
16．（2022·云南曲靖·高二期末）已知等比数列的前n项和为，公比．若，则__________．
【答案】
【分析】由等比数列的求和公式化简求出公比即可.
【详解】由题意知，，解得或，又，则.
故答案为：.
17．（2022·安徽·高二期末）如图，在边长为的正方形ABCD中，点A1，B1，C1，D1分别为正方形ABCD各边的中点，点A2，B2，C2，D2分别为正方形A1，B1，C1，D1各边的中点，……，记正方形AnBnCnDn的面积为an，若数列{an}的前m项和Sm =，则m=___________.

【答案】6
【分析】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列求和公式计算可得；
【详解】解：因为，，
依题意可得，且，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，又，
所以，即，所以；
故答案为：
18．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）在等差数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)设为等比数列的前n项和，若，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题意，根据等差数列的定义，可得答案；
（2）由题意，根据等比数列的定义，求得公比，结合求和公式，可得答案.
（1）
设等差数列的公差为，由，则，，，则，
故的通项公式为.
（2）
由，两边同减，可得，则，
设等比数列的公比为，则，解得，
由，故数列是首项为，公比为的等比数列，
则.
19．（2022·四川内江·高一期末（文））已知等比数列的前n项和为，且，.
(1)求通项公式；
(2)若的前3项按某种顺序重新排列后是递增等差数列的第八、九、十项，求的前n项和的最小值.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，即可求出、，从而求出通项公式；
（2）列出数列的前项，再按照要求排列，即可求出的通项公式，再根据数列的单调性及前项和公式计算可得；
(1)
解：设等比数列的公比为，由，，
所以，，解得或，
所以或.
(2)
解：若，则前项均为，显然不满足是递增的等差数列，故舍去；
所以，则，，，
因为是递增的等差数列，所以，，，
所以公差，
所以，
所以当时，时，
所以当时取得最小值，即；

题型二：等比数列前项片段和的性质及应用
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（    ）
A． B． C．12 D．15
【答案】C
【分析】利用等比数列的性质可得，代入数据即可得到答案
【详解】解：由等比数列的性质可得也为等比数列，
又，故可得即，
解得或，因为等比数列各项为正，所以，
故选：C
【例2】（2022·全国·高三专题练习）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.
【详解】因为，且也成等比数列，
因为，，所以，
所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
【例3】（2022·四川省内江市第二中学高二开学考试（文））等比数列的前项和为，公比为，若，，则（　　）
A．50 B．100 C．146 D．128
【答案】C
【分析】根据题意，分析可得S6﹣S3＝16，进而由等比数列的性质可知，，即S9﹣S6＝128，变形可得答案．
【详解】解：根据题意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，
则S6﹣S3＝18﹣2＝16，
根据等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6构成等比数列，
故，即S9﹣S6＝128，
故S9＝S6+128＝146，
故选：C．
【例4】（2022·内蒙古包头·高一期末）若等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用等比数列的性质可得，所以，进行整理可得答案．
【详解】有题意可知：,由等比数列的性质可得：，，所以，整理可得：．进而得
故选：D
【例5】（2022·全国·高二课时练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（    ）
A．若数列的前n项和（a，b，c为常数），则数列为等差数列
B．若数列的前n项和，则数列为等比数列
C．数列是等差数列，为前n项和，则，，，…仍为等差数列
D．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列
【答案】BC
【分析】由得，进而可判断A和B；由等差数列的性质判断C；举反例判断D.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于选项A：因为，，
当时，，
所以，所以只有当时，数列成等差数列，故A错误；
对于选项B：因为，，
当时，，当时，，符合上式，
所以，则数列成等比数列，故B正确；
对于选项C：数列是等差数列，为前项和，则，，，是公差为（为的公差）的等差数列，故C正确；
对于选项D：令，则，，，是常数列，显然不是等比数列，故D错误.
故选：BC.
【题型专练】
1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））等比数列的前n项和为，已知，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据为等比数列可求的值.
【详解】因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
2．（2022·辽宁·高二期中）等比数列的前n项和为，若，，则（    ）
A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12
【答案】A
【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可；
【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，
因为，，所以，
解得或，因为，
所以，则．
故选：A
3．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【分析】用等比数列前项表示出，即可求出，代入即可求解.
【详解】由题知：显然
即，解得或（舍）
所以
故选：C
4．（2022·安徽滁州·高二期中）若等比数列的前n项和为，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用等比数列片段和的性质直接写出.
【详解】，，
由等比数列片段和的性质：，，，，…成等比数列，
所以，则．
故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，，，（　　）
A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40
【答案】D
【分析】由{an}是等比数列可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，列方程组，从而即可求出S40的值．
【详解】由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13
所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比数列，
即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13构成等比数列，
∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），
∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．
故选：D．
6．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））已知等比数列的前项和为，若，，则的值为_______
【答案】
【分析】利用等比数列片段和的性质可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为.
若，当为偶数时，，不合乎题意，所以，，
由等比数列片段和的性质可知，、、、成等比数列，
且公比为，所以，，，
因此，.
故答案为：.
7．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）设是等比数列的前n项和，若，则______.
【答案】
【分析】设，利用等比数列的性质求出即得解.
【详解】解：设，所以
因为数列是等比数列，所以成等比数列，
因为数列的公比为2，
所以，
所以.
所以.
故答案为：
8．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则______，最小值为______．
【答案】     2     8
【分析】根据等差中项可求出；利用，，成等比数列，结合基本不等式可得最小值.
【详解】因为，，成等差数列，所以，所以，
又因为各项均为正数的等比数列的前n项和为，
所以，，成等比数列，
所以，
所以，
当且仅当即时取“＝”．
故答案为：；.
题型三：等比数列前项和的特点
【例1】（2023·河北·大名县第一中学高三阶段练习）一个等比数列的前项和为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】讨论求得与题设不符，再由等比数列前n项和公式及已知即可求.
【详解】当时，，则，显然与题设不符；
∴，即等比数列不是常数列，
∴，则，可得．
故选：B．
【例2】（2022·全国·高二课时练习）若等比数列的前项和，则等于（    ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令得出，再由得出，由题意得出适合的表达式，从而可得出实数的值.
【详解】当时，；当时，.
由于数列是等比数列，适合，，解得.
故选C.
【点睛】本题考查利用前项和公式求，同时也考查了等比数列定义的理解，在由计算，利用公式，但要对是否满足进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
【例3】（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用先求出，然后计算出结果.
【详解】根据题意，当时，,,
故当时，,
数列是等比数列,
则，故,
解得,
故选.
【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断错误的有（    ）
A．为等比数列 B．为等差数列
C．为等比数列 D．若，则
【答案】BC
【分析】对于选项A，利用等比数列的定义判断即可；对于选项B，C，利用举反例的办法判断即可，对于选项D，先求出，，的值，再利用即可求出的值．
【详解】解：令，则，所以是等比数列，选项A正确；
若，则无意义，所以选项B错误；
当时，，此时不是等比数列，所以选项C错误；
若，则，
，
，
由是等比数列，得，即，解得，所以选项D正确．
故选：BC．
【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得是以为公比的等比数列，再根据求出的通项公式，即可得到方程组，解得即可.
【详解】解：若，则，又，显然不满足条件，
所以，又（为非零常数），所以，即是以为公比的等比数列，
当时，即，
当时，所以
又，所以，解得．
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）等比数列的前n项和，则（    ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】求出数列的通项公式，根据通项公式确定参数的值.
【详解】，当时，，
因为是等比数列，所以，得，所以A正确.
故选：A.
3．（2021·福建省长乐第一中学高二阶段练习）记为等比数列的前项和，已知，，则_______.
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，分、两种情况讨论，根据等比数列前项和的特点可求得实数的值.
【详解】设等比数列的公比为.
若，则，，不合乎题意；
若且，则，
又因为，故，解得.
故答案为：.
4．（2021·广西·柳州市第二中学高二期末（理））已知等比数列的前项和为，则数列的通项公式______________.
【答案】.
【解析】根据求出首项、第二项、第二项，从而得出t、公比及首项，可得数列的通项公式.
【详解】由得，
当时，，
当时，，，所以
当时，，
因为数列是等比数列，所以，即，所以，
，公比，
所以.
故答案为：.
题型四：等比数列前奇偶项和的性质及应用
【例1】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）在数列中，，，若，则（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题知当为奇数时，；当为偶数时，，前n项和为满足 ，，进而分为奇数和为偶数讨论求解即可.
【详解】解：由题意得，，，即，
所以当为奇数时，；当为偶数时，；
设的前n项和为，则，.
若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意；
当为偶数，则
，即，所以.
故选：B
【例2】（2021·全国·高二专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.
【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.
【详解】设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.
【答案】120
【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以

.
故答案为：120
【例5】（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，，则下列选项不正确的是（       ）
A．是等比数列 B．
C．是等比数列 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据递推公式得到是以首项为、公比为1的等比数列，即可判断选项A正确；根据A得到，即可判断选项B错误；根据递推公式得到，从而判断选项C正确；根据是等比数列，是等比数列，即可得到，即可判断选项D正确．
【详解】
对于A：当是奇数时，，
所以，
又因为，所以，
所以当是奇数时，，即．
即是以首项为，公比为1的等比数列，
即选项A正确；
对于B：由A知：当是奇数时，，
所以，
即选项B错误；
对于C：当为偶数时，，即，
又因为，所以，
所以是以首项为2，公比为2的等比数列，
故选项C正确；
对于D：

，即选项D正确．
故选：B.
【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（   ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】设等比数列项数为2n项,先根据奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比,可得通项公式，进而根据中间两项的和为24求得n.
【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,
则,又它的首项为1，所以通项为，
中间两项的和为，解得，所以项数为8，故选B.
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是利用奇数项的和与偶数相的和求得数列的公比.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，结合等比数列求和公式求出的值，进而可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，
则，
所以，，
又，则，
因此，.
故答案为：.
3．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．
【答案】450
【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解.
【详解】在等比数列中，公比，则有，
而，于是得，
所以数列的前100项和．
故答案为：450
4．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
【答案】
【分析】利用以及已知条件可求得的值.
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
由，得，因为，所以，所以，.
故答案为：.
题型五：等比数列前项和新文化试题
【例1】（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
【例2】（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（文））中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（    ）
A．该人第五天走的路程为14里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
【答案】D
【分析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列,由题意求出首项，可得其通项公式，即可求出，判断A,B;求出可判断C,D.
【详解】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列，
设数列前n项和为，则，
故 ，解得，
则，
故 ，该人第五天走的路程为12里，A错误；
，该人第三天走的路程为48里，B错误；
，该人前三天共走的路程为里，C错误；
由（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确，
故选：D
【例3】（2022·安徽滁州·高二期末）我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织出的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天织布多少？”这个问题体现了古代对数列问题的研究．某数学爱好者对于这道题作了以下改编：有甲、乙两位女子，需要合作织出尺布．两人第一天都织出一尺，以后几天中，甲女子每天织出的布都是前一天的倍，乙女子每天织出的布都比前一天多半尺，则两人完成织布任务至少需要（    ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】D
【分析】由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解．
【详解】解：设甲，乙每天织布分别记为数列，，
由题意得数列是以为首项，为公比的等比数列，是以为首项，以为公差的等差数列，
故，
即，
因为在上单调递增，当时，，而，
故的解为,故至少需要5天，
故选：D．
【例4】（2022·湖南岳阳·高二期末）十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（    ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用题中的条件，分别计算出每一次操作去掉的区间的长度，结合对数不等式即可解出.
【详解】第一次操作去掉的区间长度为，
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为，
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为，
，
第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为
，
由题意可知，，即，解得，又为整数，
所以需要操作的次数n的最小值为.
故选：A.
【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习（文））费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为记做，其中为非负数．费马对，，，，的情形做了检验，发现这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到年，数学家欧拉发现为合数，宣布费马猜想不成立．数列满足，则数列的前项和满足的最小自然数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，利用等比数列的前项和公式求得，进而求得的最小自然数，得到答案.
【详解】由题意，可得数列满足，
利用等比数列的前项和公式，可得数列的前项和，
当时，可得；
当时，可得，
又由，所以单调递增，
所以的最小自然数为.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第次生长得到的小正方形的个数为，则数列的前项和___________.

【答案】##
【分析】分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得.
【详解】由题意可得且，所以，数列为等比数列，且该数列的首项和公比均为，
因此，.
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则n的最小值为（       ）


A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据第1代“勾股树”，第2代“勾股树”中，正方形的个数，以此类推，得到第n代“勾股树”中所有正方形的个数，即，从而得到求解.
【详解】
解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为，第2代“勾股树”中，正方形的个数为，…，
以此类推，第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，即，
所以，
因为，所以数列为递增数列，
又，，
所以n的最小值为9．
故选：C．
4．（广东省广州市七区2021-2022学年高二下学期期末数学试题多选题）如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…．记图1中正方形的个数为，图2中正方形的个数为，图3中正方形的个数为，…，图中正方形的个数为，下列说法正确的有（       ）

A． B．图5中最小正方形的边长为
C． D．若，则图中所有正方形的面积之和为8
【答案】BCD
【解析】
【分析】
将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形个数成等比数列，可以求出数列的通项公式，然后分别验证各选项.
【详解】
将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形个数成等比数列，且公比为2，根据等比数列前项和可知.
选项A：，A错误.
选项B：又因自下而上每一“层”的正方形的边长也称等比数列，且公比为，所以每“层”正方形边长,所以，B正确.
选项C：
，C正确.
选项D：解得，每一“层”的面积和，
所以当时所有正方形的面积之和为8,D正确.
故选：BCD
5．（2022·山东东营·高二期末多选题）如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，再分别写出和的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】
根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故，即，故，，，…，累加可得，所以，故A正确，C错误；
又，故，即，故D正确；
又，，…，累加可得，故正确，故B正确；
故选：ABD
题型六：等差等比数列的判定
【例1】（2022·广东·佛山一中高二期中多选题）对任意数列，下列说法一定正确的是（       ）
A．若数列是等差数列，则数列是等比数列
B．若数列是等差数列，则数列是等差数列
C．若数列是等比数列，则数列是等比数列
D．若数列是等比数列，则数列是等差数列
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据等差数列和等比数列的定义逐一判断可得选项.
【详解】
解：对于A，设数列的公差为d，因为，所以公比为非零常数，所以数列是等比数列，故A正确；
对于B，不妨设而不是等差数列，故B不正确；
对于C，不妨令，数列是等比数列，而，所以此时数列不是等比数列，故C不正确；
对于D，设数列的公比为q，则，所以公差为常数，所以是等差数列，故D正确，
故选：AD.
【例2】（2022·海南华侨中学高二期末多选题）已知等比数列{}中，满足，，则（       ）
A．数列{}是等比数列 B．数列是递增数列
C．数列是等差数列 D．数列{}中，仍成等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】
先利用等比数列通项公式求出，从而得到，利用等比数列的定义判断A选项；得到，判断出为递减数列；求出，利用等差数列定义判断C选项，计算出，利用得到不成等比数列.
【详解】
由题意得：，所以，则，
所以数列{}是等比数列，A正确；
，所以，且，故数列是递减数列，B错误；
，所以，C正确；
，
因为，故数列{}中，不成等比数列，D错误.
故选：AC
【例3】（2022·湖北·鄂南高中模拟预测多选题）设公比为的等比数列的前项和为，则下列说法中一定正确的是（       ）
A．数列：，，，成等比数列
B．当时，数列是等比数列
C．是等比数列
D．是等比数列
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用等比数列的定义及求和公式，结合，等特殊情况，分析数据，即可判断选项正误.
【详解】
解：A选项中，当时，数列，，，，为等比数列，但，
所以，，，就不能构成等比数列，故A错误；
B选项中，当时，，，
则，所以为常数，
所以数列是等比数列，故B正确；
C选项中，当时，则，即，
所以不能构成等比数列，故C错误；
D选项中，，则为常数，
所以是等比数列，故D正确.
故选：BD.
【例4】（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末多选题）设是等比数列，则下列四个命题正确的是（       ）
A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由等比数列的通项公式及定义依次判断即可.
【详解】
设公比为，则，，即是首项为，公比为的等比数列，A正确；
，即是首项为，公比为的等比数列，B正确；
，即1an是首项为，公比为的等比数列，C正确；
若数列的首项，则，此时不是等比数列，D错误.
故选：ABC.
【题型专练】
1．（2022·湖北·荆州中学三模多选题）等差数列的前项和为，数列为等比数列，则下列说法正确的选项有 （       ）
A．数列一定是等比数列
B．数列一定是等比数列
C．数列一定是等差数列
D．数列一定是等比数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用等差、等比数列的定义判断A、B、C，特殊值判断D，即可得结果.
【详解】
若公差为d，公比为q，
A：由为定值，故为等比数列，正确；
B：由为定值，故为等比数列，正确；
C：由为定值，故为等差数列，正确；
D：当时，显然不是等比数列，错误.
故选：ABC
2．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习多选题）已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（     ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等比数列，则，，成等比数列
D．若是等差数列，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
对选项A，利用特值法判断即可得到A错误，对选项B，利用与的关系判断即可得到B正确，对选项C，利用特值法判断即可判断C错误，对选项D，根据等差数列公式即可判断D正确.
【详解】
对选项A，，，，
，不满足是等差数列，故A错误.
对选项B，当时，，
当时，，
检验：时，，所以，即是等比数列，故B正确.
对选项C，当时，是等比数列，
，，，
不满足，，成等比数列，故C错误.
对选项D，，故D正确.
故选：BD
3．（2022·辽宁·高二期中多选题）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（       ）
A．若，则是等比数列
B．若（n≥2），则是等比数列
C．若（n≥2），则是等比数列
D．若，则是等比数列
【答案】AB
【解析】
【分析】
对于选项A、D，根据与可求解判断，对于选项B，由等比数列的定义可判断，对于选项C，通过举反例可判断.
【详解】
对于A，由，得（n≥2）．当n＝1时，满足，则，即是等比数列，故A正确．
对于B，由，得是等比数列，则B正确．
对于C，当时，满足，即不是等比数列，则C错误．
对于D，由，得（n≥2）．当n＝1时，不满足，则当a＝1时，是等比数列；当a≠1时，不是等比数列，故D错误．
故选：AB
4．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习多选题）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（       ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质得到，求出首项，从而求出通项公式和求和公式，利用对数运算得到，得到数列是公差为1的等差数列，判断出四个选项.
【详解】
由题意得：，而，
解得：或
当时，，满足题意；
当时，，不合题意，舍去，
故A正确；
由于，所以，则，
其中，故是等比数列，B正确；
，C正确；
，则，则，
故数列是公差为1的等差数列，D错误.
故选：ABC
5．（2023广东高三阶段练习多选题）已知数列满足，，是数列的前项和，则（       ）
A． B．
C． D．数列是等比数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由递推关系，得，两式　相除可得数列的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，但整个数列不是等比数列，易得，由，用分组求和法计算．从而判断各选项，得正确结论．
【详解】
，则，两式相除得，
又，，，所以，
由，知数列的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是2，
，，，
，
所以，
，，不是等比数列，
故选：ABC．