人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀一课一练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀一课一练，文件包含第4讲等比数列的通项及性质5大题型总结解析版docx、第4讲等比数列的通项及性质5大题型总结原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
第4讲 等比数列的通项及性质5大题型总结
【考点分析】
考点一：等比数列的基本概念及公式
①等比数列的定义：（或者）．
②等比数列的通项公式：．
③等比中项：若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项，且有（）．
考点二：等比数列通项的性质
①通项下标和性质：在等比数列中，当时，则．
特别地，当时，则．
②等比数列通项的性质：，所以等比数列的通项为指数型函数．
【题型目录】
题型一：等比数列的通项公式基本运算
题型二：等比中项问题
题型三：等比数列通项下标的性质及应用
题型四：等比数列的单调性
题型五：等比数列通项新文化试题
【典型例题】
题型一：等比数列的通项公式基本运算
【例1】（2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列中，，．则的公比q为（       ）
A．2 B．2或 C． D．3

【例2】（2023·陕西·安康市教学研究室二模（理））在数列中，，且，则（    ）
A． B． C． D．

【例3】（2023·广东汕头·高三阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，且，则使得成立的正整数的最小值为（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11

【例4】（2023·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（理））若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ）
A． B． C． D．

【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的各项均为正数，数列满足，，，则数列前n项和的最大值等于（    ）
A．126 B．130 C．132 D．134
【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．

【例7】（2022·北京西城·高二期末）在等比数列{}中，．记，则数列{}（    ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

【例8】（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）在正项等比数列中，若存在两项，使得，且，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

【例9】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ）
A． B．是等比数列
C． D．

【例10】（2022·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则______．

【题型专练】
1．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知等比数列的公比，则（    ）
A． B． C． D．3

2．（2022·全国·模拟预测（文））设是等比数列，且，，则（    ）
A．12 B．24 C．32 D．48
3．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）在等比数列中，若，，则（    ）
A．6 B． C． D．

4．（2022·四川·射洪中学高二开学考试）已知等比数列满足，，则（    ）
A．18 B．24 C．30 D．42

5．（2022·山东泰安·三模）已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（       ）
A． B． C． D．

6．（2022·安徽省宣城市第二中学高二期末）已知各项都为正数的等比数列满足，存在两项，使得，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

7.（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

8．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列满足.则通项公式________．

9．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）在正项等比数列中，，，则通项公式________．

10．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列为等比数列，，，则______.

11．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知数列是等差数列，是等比数列，且.则数列___________.

12．（2022·福建泉州·模拟预测）已知等比数列的公比，则__________．

13．（2021·四川成都·高一期末）已知数列满足则___.

14．（2022·广西·模拟预测（文））已知等比数列满足，则___________.

15．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若、分别为等差数列的第3项和第5项，问是不是数列中的项？若是，求出是第几项；若不是，说明理由，

题型二：等比中项问题
【例1】（2022·上海·华师大二附中高一期末）“”是“G是a、b的等比中项”的（    ）条件
A．既不充分也不必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．充要

【例2】（2022·海南·高二期末）和的等差中项与等比中项分别为（    ）
A．， B．2， C．， D．1，

【例3】（2021·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））若四个正数成等差数列，是和的等差中项，是和的等比中项，则和的大小关系为（       ）
A． B． C． D．

【例4】（2022·全国·高二课时练习）若不为1的正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当时，，，（    ）．
A．依次成等差数列 B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列 D．各项的倒数依次成等比数列

【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则和的等比中项为________．

2．（2022·全国·高二课时练习）方程两根的等比中项是______．

3．（2022·全国·高二课时练习）若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，又依次成等比数列，则a＝______．

4.（2022·全国·高三专题练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（       ）
A． B． C． D．10

题型三：等比数列通项下标的性质及应用
【例1】（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（    ）
A． B．1011
C． D．1012

【例2】（2022·陕西西安·三模（文））已知为等比数列，，，则（    ）
A．1 B．-1 C．1或-8 D．-8


【例3】（2022·全国·高二课时练习）设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（    ）
A． B． C． D．


【例4】（2022·山东菏泽·一模）已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（    ）
A．36 B．35 C．34 D．33

【例5】（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（    ）
A． B．
C．的值是中最大的 D．使成立的最小正整数的值为4042

【例6】（2021·江苏·高二专题练习）已知数列为等比数列，且，数列满足，且，则（    ）
A．16 B．32 C．64 D．128

【例7】（2022·全国·高二课时练习）两个公比均不为的等比数列，其前项的乘积分别为，若，则(　　)
A．512 B．32 C．8 D．2

【例8】（2022陕西省商丹高新学校高二期中（文））已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（    ）
A． B． C． D．
【例9】（2023·全国·高三专题练习多选题）已知等比数列满足，公比，且，，则（    ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
【例10】（2022·湖南怀化·一模多选题）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，则下列选项中成立的是（    ）
A． B． C． D．与均为的最大值

【题型专练】
1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知为等比数列，，则（    ）
A．1或8 B．或8
C．1或 D．或 

2．（2021·江苏·高二专题练习）在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（    ）
A．2 B．4 C．8 D．16

3．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））已知递增等比数列，，，，则（    ）
A．8 B．16 C．32 D．64

4．（2021·贵州师大附中高一阶段练习）在等比数列中，，，则（    ）
A．5 B．7 C．－5 D．－7

5．（2022·全国·高二课时练习）在正项等比数列中，若，，则公比（    ）
A． B．或 C． D．或
6．（2022·全国·高二课时练习）正项等比数列中，，且与的等差中项为，则的公比是（    ）
A． B． C． D．

7．（2018·江西省信丰中学高二阶段练习）等比数列满足且，则当时，（    ）
A． B． C． D．

8．（2021·江西·模拟预测（理））在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（    ）
A．25 B． C．5 D．

9．（2022·全国·高二课时练习多选题）在等比数列中，，，则可能为（    ）
A． B． C． D．


10．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习多选题）已知数列为等差数列，为等比数列，的前项和为，若，，则（       ）
A．
B．
C．
D．



11．（2022·湖北襄阳·高三阶段练习多选题）在正项等比数列中，，则（    ）
A． B．的最小值为1
C． D．的最大值为4

12．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，则______．

13．（2022·四川省通江中学高二期中（文））若等比数列的各项均为正数，且，则___________.

14．（2022·全国·高二课时练习）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是__．


15．（2021·福建省福州格致中学高三阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，且______．

16．（2021·辽宁沈阳·高三阶段练习）在正项等比数列中，若，则___________.

17．（2021·福建·莆田华侨中学高三阶段练习）等比数列中，且，则_______

18．（2021·全国·高二）已知数列满足，且，则________.
题型四：等比数列的单调性
【例1】（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设是公比为的等比数列，则“”是“”的（    ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要




【例2】（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（    ）
A．， B．，
C． D．

【例3】（2022·全国·高二课时练习多选题）关于递增等比数列，下列说法正确的是（    ）．
A．当时， B．当时，
C．当时， D．

【例4】（2022·全国·高二课时练习多选题）已知等比数列的各项均为正数，，，数列的前n项积为，则（　　）
A．数列单调递增 B．数列单调递减
C．的最大值为 D．的最小值为

【例5】（2022·天津·一模）在等比数列中，公比是，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【题型专练】
1．（2022·全国·高二课时练习）等比数列中，首项，则数列是严格递增数列的条件是公比满足（    ）
A． B． C． D．

2．（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列，下列选项能判断为递增数列的是(    )
A．， B．，
C．， D．，
3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（    ）
A． B． C． D．

4．（2021·江苏·高二专题练习）等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

5．（2021·江苏·高二课时练习）等比数列满足如下条件：①；②数列单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________.

题型五：等比数列通项新文化试题
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（       ）
A．420只 B．520只 C． 只 D． 只



【例2】（2022·湖南岳阳·高二期末）十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（       ）（参考数据：）
A． B． C． D．


【题型专练】
1.（2022·北京八十中模拟预测）数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向外作正三角形，再去掉底边（如图①､②､③等）.反复进行这一过程，就得到雪花曲线.


不妨记第个图中的图形的周长为，则（       ）
A． B． C． D．






2．（2022·河北秦皇岛·三模）北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（       ）（参考数据，）



A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（       ）．

A．7 B．8 C．9 D．10