新教材2023高中数学第四章数列章末复习课新人教A版选择性必修第二册 试卷

这是一份新教材2023高中数学第四章数列章末复习课新人教A版选择性必修第二册，共12页。
第四章 数列
章末复习课

回顾本章学习过程,建构“基本思想、基础知识、基本技能、基本活动经验”之间的联系.


要点训练一　数列中有关量的计算
数列是一种特殊的函数,特殊性主要表现在其定义域和值域上.数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数.数列通项公式及前n项和公式中含有5个基本量,知道其中3个量,就可以求出另外2个量.求解过程中体现了方程的思想.　　　　　　　　　　　　
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a3=6,S10=100,则a5= (　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
解析:设等差数列{an}的公差为d,
因为a1+a3=6,S10=100,
所以解得
因此,a5=a1+4d=9.
答案:B
2.已知等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,若a2=2,a5+a6=6a4,则a5=(　　)
A.4 B.10 C.16 D.32
解析:设数列{an}的公比为q,易知q>0.由a5+a6=6a4,得q2+q-6=0,解得q=2(负值舍去),从而a5=a2×23=16.
答案:C
3.在等比数列{an}中,若a1-a5=-,前四项的和S4=-5,则a4=(　　)
A.1 B.-1 C. D.-
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由a1-a5=-,得a1(1-q4)=-.　　　①
由其前四项的和S4=-5,得S4==-5, ②
①÷②,得q=-,所以a1=-8,
所以a4=a1q3=(-8)×=1.
答案:A
4.若数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=.
解析:将a8=2代入an+1=,得a7=;将a7=代入an+1=,得a6=-1;将a6=-1代入an+1=,得a5=2.由此可知数列{an}是一个周期数列,且周期为3,所以a1=a7=.
5.已知所有项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S4=a4+21,则公比q=4.
解析:由题意,得S4-a4=21,所以S3=21,
因为a1=1,所以S3==21,
解得q=4或q=-5(舍去),
所以q=4.
6.已知等比数列{an},若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,则an=2n-1或.
解析:由a1a2a3=8,得=8,
所以a2=2.
设等比数列{an}的公比为q,
则由a1+a2+a3=7,得+2+2q=7,
解得q=2或q=.
所以an=a2qn-2=2×2n-2=2n-1或an=a2qn-2=2×=.
要点训练二　等差数列、等比数列的性质
在解决等差数列、等比数列的运算问题时,恰当地应用等差数列、等比数列的性质,如等差中项与等比中项的概念、下标和相等的两项的和(等差数列)与积(等比数列)也分别相等.在方程组中整体代入或整体观察某些项的和与积,可以大大减少运算量,达到事半功倍的效果.
1.已知等比数列{an}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12=12,则a6a7=(　　)
A.1　　　B.3　　　C.6　　　D.9
解析:由log3a1+log3a2+…+log3a12=12,
可得log3(a1a2·…·a12)=12,
所以a1a2·…·a12==312 ,
所以a6a7=9.
答案:D
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5=2S4,a2+a4=8,则a5=(　　)
A.6 B.7 C.8 D.10
解析:因为S5=2S4,a2+a4=8,
所以S5-S4=S4,所以a5=S4=S5,a1+a5=a2+a4=8.
因为S5=×5,所以S5=×5=20.
所以a5=S5=10.
答案:D
3.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a100,所以a8>0.又因为a7+a10=a8+a9a2
解析:取特殊值可排除A,C,D项,易知+≥2a1a3=2.
答案:B
2.记Sn为正项等比数列{an}的前n项和,若S4-2S2=2,则S6-S4的最小值为8.
解析:在正项等比数列{an}中,有Sn>0.
根据等比数列前n项和的性质,可得S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列,所以=S2(S6-S4),所以S6-S4=.
因为S4-2S2=2,即S4-S2=S2+2,所以S6-S4===S2++4≥2+4=8,当且仅当S2=,即S2=2时,等号成立,所以S6-S4的最小值为8.
3.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,则k的值为20.
解析:设等差数列{an}的公差为d,
由解得
所以Sn=na1+=39n-n(n-1)=-n2+40n=-(n-20)2+400.
所以当n=20时,Sn取得最大值.
因为对任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,所以Sk为数列{Sn}的最大值,因此,k=20.
4.设数列{an}的前n项和Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Tn,求使|Tn-1|