2024年高考数学一轮复习第九章第四讲随机事件与概率课件

这是一份2024年高考数学一轮复习第九章第四讲随机事件与概率课件，共44页。PPT课件主要包含了答案A，答案AB，＝－100，答案C，答案D，答案09等内容，欢迎下载使用。

(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称
(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加会逐渐稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A).
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.(3)不可能事件的概率P(∅)＝0.(4)互斥事件的概率如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
(6)如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B).
(7)设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，则有 P(A∪B)＝
P(A) ＋P(B)－P(A∩B).
【名师点睛】概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋
(1)为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件
(2)当随机事件 A，B 互斥时，不一定对立；当随机事件 A，B对立时，一定互斥.也即两事件互斥是对立的必要不充分条件.(3)随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件 A 发生的频率逐渐稳定于事件 A 发生的概率.
考点一 随机事件的关系1.在 5 张电话卡中，有 3 张 A 卡和 2 张 B 卡，从中任取 2 张，
若事件“2 张全是 A 卡”的概率是
A.至多有一张 A 卡C.都不是 A 卡
B.恰有一张 A 卡D.至少有一张 A 卡
2.(多选题)下列说法正确的是(
A.对立事件一定是互斥事件B.若 A，B 为两个互斥事件，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C.若事件 A，B，C 两两互斥，则 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D.若事件 A，B 满足 P(A)＋P(B)＝1，则 A，B 互为对立事件
解析：由互斥事件与对立事件的定义可知 A 正确；只有当事件 A，B 为两个互斥事件时有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故 B 正确；只有事件 A，B，C 两两互斥，且 A∪B∪C＝Ω时，才有 P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故 C 不正确；由对立事件的定义可知，事件 A，B 满足 P(A)＋P(B)＝1 且 A∩B＝∅时，A，B 才互为对立事件，故 D不正确.故选 AB.
3.设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，条件乙：“概
率满足 P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 A∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得 P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币 3 次，满足P(A)＋P(B)＝1，但 A，B 不一定是对立事件，例如，事件A为“至
【题后反思】(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
(2)一般用定义判断互斥事件、对立事件，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
考点二 随机事件的频率与概率
[例 1]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到
好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的
(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获
得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取 1 部电影，求这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化.那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140＋50＋300＋200
＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25＝50.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4 ＋ 50×0.2 ＋ 300×0.15 ＋ 200×0.25 ＋ 800×0.2＋
510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
【题后反思】(1)概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
(2)随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.
注意：概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于 25 ℃，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20 ℃，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率.
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25 ℃，由表中数据可知，最高气温低于 25 ℃的频率为
所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，
若最高气温低于 20 ℃，则 Y＝200×6＋(450－200)×2－450×
若最高气温位于区间[20，25)，则 Y＝300×6＋(450－300)×
2－450×4＝300；
若最高气温不低于 25 ℃，则 Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润 Y 的所有可能值为－100，300，900.当最高气温不低于 20 ℃时，Y 大于零，由表格数据知，最高
36＋25＋7＋490
＝0.8.因此 Y 大于零的概
气温不低于 20 ℃的频率为率的估计值为 0.8.
考点三 互斥事件、对立事件的概率
[例 2](1)某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10个，二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A、B、C.求：
①P(A)，P(B)，P(C)；②1 张奖券的中奖概率；
③1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
A.2 个都是正品B.恰有 1 个是正品C.至少有 1 个正品D.至多有 1 个正品
【题后反思】求复杂的互斥事件的概率的方法
(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事
件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算.
(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)
＝1－P( )，即运用逆向思维(正难则反).特别是“至多”“至少”
型题目，用间接求法更为简便.
【变式训练】1.(2021 年南城县月考)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件 B＝{抽到二等品}，事件 C＝{抽到三等品}，且已知 P(A)＝0.7，P(B)＝0.15，P(C)＝0.1，则事件“抽到的
不是一等品”的概率为(
解析：事件“抽到的不是一等品”与事件“抽到一等品”互
为对立事件，所以事件“抽到的不是一等品”的概率 P( )＝1－
P(A)＝1－0.7＝0.3.故选 D.
2.(2021年黄山市期末)已知三个事件 A，B，C 两两互斥且P(A)
＝0.3，P( )＝0.6，P(C)＝0.2，则 P(A∪B∪C)＝________.解析：三个事件 A，B，C 两两互斥，因为 P( )＝0.6，所以
P(B)＝1－0.6＝0.4，则 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.
⊙用“正难则反”的思想求对立事件的概率
[例 3](1)(2021 年湖州市期末改编)现有 5 个不同编号的小球，其中黑色球 2 个，白色球 2 个，红色球 1 个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是________.
(2)(2021 年洛阳市模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等
候的人数及相应的概率如下：
①至多 2 人排队等候的概率是多少？②至少 3 人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件B，“2 人排队等候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥.
①记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.②记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件
G，所以 P(H)＝1－P(G)＝0.44.
【反思感悟】“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现.在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度.在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件 A 与事件 B 互为对立事件，在求 P(A)或 P(B)时，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个.
1.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，数据如下表所示.
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将
解：(1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以 x＝15，y＝ 20.则顾客一次购物的结算时间的平均值的
2.一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，
1 个绿球.从中随机取出 1 球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；
(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率.