2024年高考数学一轮复习第四章第四讲数列求和课件

这是一份2024年高考数学一轮复习第四章第四讲数列求和课件，共46页。PPT课件主要包含了2基本步骤，⊙数列中的新定义问题等内容，欢迎下载使用。
1.特殊数列的求和公式
2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相
互抵消，从而求得其和.
【常用结论】常见的裂项公式
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n 项和可用错位相减法求解.
如果一个数列{an}的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解.
(1)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论
中形如 an，an+1 的式子应进行合并.
(2)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即
前剩多少项则后剩多少项.
考点一 分组转化法求和
[例 1](2021 年全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前 20 项和.
解：(1)因为bn＝a2n，且a1＝1，
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.
【题后反思】(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和.
{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前n 项和.
解：(1)∵a2＝b2＋1，a4＝S3，
∴1＋d＝q＋1，1＋3d＝1＋q＋q2，解得 d＝q＝2，
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，bn＝2n-1；
考点二 裂项相消法求和
【题后反思】裂项相消法求数列{an}的前 n 项和的基本步骤
【变式训练】(2022 年本溪市模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－3(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
考点三 错位相减法求和
[例 3](2022 年江门市模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝
(1)证明：数列{an＋n}是等比数列并求数列{an}的前 n 项和 Sn；(2)设 bn＝(2n－1)·(an＋n)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
(2)由(1)得bn＝(2n－1)(an＋n)＝(2n－1)2n，则Tn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，①2Tn＝22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n+1，②　①－②得－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)·2n+1＝2×(2＋22＋…＋2n)－2－(2n－1)·2n+1＝－(2n－3)·2n+1－6，所以Tn＝(2n－3)·2n+1＋6.
【规律方法】错位相减求和方法
(1)适用条件：若{an}是公差为 d(d≠0)的等差数列，{bn}是公
比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn.
(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误.
解：(1)在Sn＝2an－2中，令n＝1，则a1＝2a1－2，即a1＝2，
当n≥2时，有Sn－1＝2an－1－2，两式相减，得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列an＝2·2n-1＝2n.
考点四 并项法求和[例 4]已知等差数列{an}中，a3＝3，a2＋2，a4，a6－2成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；
【反思感悟】(1)用并项求和法求数列的前 n 项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和.可用并项求和法的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(－1)n”；三是数列{an}是周期数列.
(2)运用并项求和法求数列的前 n 项和的突破口是会观察数列
的各项的特征，如本题，数列{bn}的通项公式为
易知数列{bn}是摆动数列，所以求和时可以将各项进行适当合并.
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2kn(k∈N*)，Sn的最小值为
(1)确定 k 的值，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n·an，求数列{bn}的前2n＋1项和T2n＋1.
解：(1)由已知得Sn＝n2－2kn＝(n－k)2－k2，因为k∈N*，则
当n＝k时，(Sn)min＝－k2＝－9，故k＝3.
所以Sn＝n2－6n.因为Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝(n2－6n)－[(n－1)2－6(n－1)]＝2n－7(n≥2).当n＝1时，S1＝a1＝－5，满足an＝2n－7，综上，an＝2n－7.
(2)依题意，得bn＝(－1)n·an＝(－1)n(2n－7)，则T2n＋1＝5－3＋1＋1－3＋5－…＋(－1)2n(4n－7)＋(－1)2n+1[2(2n＋1)－7]＝5－ ＝5－2n.
已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)，则称数列{an}为“凸数列”.已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2 023项和为________.