高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第八章　8.2

A组·素养自测
一、选择题
1．(多选)小明同学在做市场调查时得到如下样本数据：
x
1
3
6
10
y
8
a
4
2
他由此得到经验回归方程为＝－2.1x＋15.5，则下列说法正确的是(　ABC　)
A．变量x与y负线性相关
B．当x＝2时，＝11.3
C．a＝6
D．变量x与y之间是函数关系
[解析]　A．因为＝－2.1，所以变量x与y负线性相关，正确；B．将x＝2代入经验回归方程，得＝11.3，正确；C．将(，)代入经验回归方程，得a＝6，正确；D．变量x与y之间是相关关系，不是函数关系，错误．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如表：

甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好(　A　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[解析]　相关指数R2越大，表示回归模型的效果越好．
3.2020年初，新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：
周数(x)
1
2
3
4
5
治愈人数(Y)
2
17
36
103
142
由表格可得Y关于x的非线性经验回归方程为＝6x2＋a，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为(　C　)
A．5 B．－13
C．13 D．0
[解析]　因为＝(1＋4＋9＋16＋25)＝11，＝(2＋17＋36＋103＋142)＝60，所以a＝60－6×11＝－6，则Y关于x的非线性经验回归方程为＝6x2－6.取x＝4，得＝6×42－6＝90，
所以此回归模型第4周的预报值为90，
则此回归模型第4周的残差为 103－90＝13.
4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x/万元
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y/万元
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得经验回归方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为(　B　)
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
[解析]　由题意可得＝×(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9)＝10，
＝×(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8)＝8，
所以＝8－0.76×10＝0.4，
所以线性经验回归方程为＝0.76x＋0.4，把x＝15代入，可得＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
5．已知x与Y之间的几组数据如表：
x
1
2
3
4
5
6
Y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得经验回归方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　C　)
A．>b′，>a′ B．＞b′， C．＜b′，>a′ D．＜b′，＜a′
[解析]　过(1，0)和(2，2)的直线方程为y′＝2x－2，画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示，

显然，b′＞，＞a′.
二、填空题
6．已知经验回归方程＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.2)，则残差平方和是_0.06__.
[解析]　因为＝2x＋1，所以当x＝2时，＝5，e1＝－0.1；x＝3时，＝7，e2＝0.1；x＝4时，＝9，e3＝0.2.
所以残差平方和为e＋e＋e＝0.01＋0.01＋0.04＝0.06.
7．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的经验回归方程为＝x＋1，则＝_0.8__.

[解析]　由题图知＝＝2，
＝＝2.6，
将(2，2.6)代入＝x＋1中，解得＝0.8.
8．期中考试后，某校高二(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的经验回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差_20__分．
[解析]　令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，
所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.
三、解答题
9．(2022·山东潍坊高二月考)某人计划购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：
月份编号t
1
2
3
4
5
销量y(万辆)
0.5
0.6
1
1.4
1.7
经分析发现，可用线性回归模型拟合该品牌新能源汽车的实际销量y(万辆)与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的经验回归方程＝t＋，并预测月份编号t为6时，该品牌新能源汽车的销量．
[解析]　易知＝＝3，
＝＝1.04，
＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
iyi＝1×0.5＋2×0.6＋3×1＋4×1.4＋5×1.7＝18.8，
＝＝
＝＝0.32，
＝－＝1.04－0.32×3＝0.08.
则y关于t的经验回归方程为＝0.32t＋0.08，
当t＝6时，＝2，即月份编号为6时，当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆．
10．在一段时间内，某淘宝网店一种商品的销售价格x(元)和日销售量Y(件)之间的一组数据为：
价格x(元)
22
20
18
16
14
日销售量Y(件)
37
41
43
50
56
求出Y关于x的经验回归方程，并说明该方程拟合效果的好坏．
参考数据：iyi＝3 992，＝1 660.
[解析]　作出散点图(此处略)，观察散点图，可知这些点散布在一条直线的附近，故可用线性回归模型来拟合数据．
因为＝＝18，
＝＝45.4.
所以＝＝－2.35，
＝45.4－(－2.35)×18＝87.7.
所以经验回归方程为＝－2.35x＋87.7.
yi－i与yi－的值如表：
yi－
1
0.3
－2.4
－0.1
1.2
yi－
－8.4
－4.4
－2.4
4.6
10.6
计算得(yi－i)2＝8.3，(yi－)2＝229.2，所以R2＝1－≈0.964.
因为0.964很接近于1，
所以该模型的拟合效果比较好．
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选)某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
▲
40
60
50
70
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失，已知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的有(　AB　)
A．销售额y与广告费支出x正相关
B．丢失的数据(表中▲处)为30
C．该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元
D．若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元
[解析]　由回归方程＝6.5x＋17.5，可知＝6.5，则销售额y与广告费支出x正相关，所以A正确；设丢失的数据为m，由表中的数据可得＝5，＝，把点代入经验回归方程，可得＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，所以B正确；该公司广告费支出每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以C不正确；若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为y＝6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，所以D不正确，故选AB．
2．(多选)某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为l1：y＝0.68x＋，计算其相关系数为r1.经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到经验回归直线的方程为l2：y＝x＋0.68，相关系数为r2，以下结论中，正确的是(　ACD　)

A．r1>0，r2>0 B．r1>r2
C．＝0.12 D．0<<0.68
[解析]　由图可知两变量呈现正相关，故r1>0，r2>0，且r1 3．某统计学家搜集了若干对夫妇及其儿子的身高数据，发现这些数据的散点图大致呈直线状态，即儿子的身高y(单位：cm)与父母的平均身高x(单位：cm)具有线性相关关系，通过样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，求得经验回归方程＝85.67＋0.516x，则下列结论中正确的是(　BCD　)
A．经验回归直线至少过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
B．若＝，＝，则经验回归直线过点(，)
C．若父母的平均身高增加1 cm，则儿子的身高估计增加0.516 cm
D．若样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)所构成的点都在经验回归直线上，则线性相关系数r＝1
[解析]　对于选项A，经验回归直线不一定经过(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点，故A不正确；对于选项B，经验回归直线过样本点中心(，)，故B正确；对于选项C，因为＝85.67＋0.516x，所以若父母的平均身高增加1 cm，则儿子的身高估计增加0.516 cm，故C正确；对于选项D，若样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)所构成的点都在经验回归直线上，则线性相关系数r＝1，故D正确．故选BCD．
4．已知变量y关于x的经验回归方程为＝ebx－0.5，其一组数据如下表所示：
x
1
2
3
4
y
e
e3
e4
e6
若x＝5，则预测y的值可能为(　D　)
A．e5 B．e
C．e7 D．e
[解析]　将式子两边取对数，得到ln＝bx－0.5，令z＝ln，得到z＝bx－0.5，列出x，z的取值对应的表格，
x
1
2
3
4
z
1
3
4
6
则＝＝2.5，＝＝3.5，
∵(，)满足z＝bx－0.5，∴3.5＝b×2.5－0.5，
解得b＝1.6，∴z＝1.6x－0.5，∴y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝e，故选D．
二、填空题
5．对某台机器购置后的运行年限x(x＝1，2，3，…)与当年利润y的统计分析知x，y具备线性相关关系，经验回归方程为＝10.47－1.3x，估计该台机器最为划算的使用年限为_8__年．
[解析]　当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y＝0时，令10.47－1.3x＝0，解得x≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．
6．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性经验回归方程z＝0.3x＋4，则c＝_e4__.
[解析]　由题意，得ln(cekx)＝0.3x＋4，所以ln c＋kx＝0.3x＋4，
所以lnc＝4，所以c＝e4.
7．(一题两空)某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量(y件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表.
时间
二月上旬
二月中旬
二月下旬
三月上旬
旬平均气温x(℃)
3
8
12
17
旬销售量y(件)
55
m
33
24
由表中数据算出线性经验回归方程＝bx＋a中的b＝－2，样本中心点为(10，38)．
(1)表中数据m＝_40__；
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为_14__件．
[解析]　(1)由＝38，得m＝40.
(2)由＝－得＝58，故＝－2x＋58，
当x＝22时，＝14，
故三月中旬的销售量约为14件．
三、解答题
8．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得x＝0.038，y＝1.615 8，xiyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.
已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数
r＝，≈1.377.
[解析]　(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积＝＝＝0.06，
估计该林区这种树木平均一棵的材积量＝＝＝0.39.
(2) (xi－)(yi－)＝xiyi－10　＝0.013 4，
(xi－)2＝x－10()2＝0.002，
(yi－)2＝y－10()2＝0.094 8，
所以＝＝≈0.01×1.377＝0.013 77，
所以样本相关系数r＝≈≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以＝，
所以Y＝＝1 209，
即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3.
9．如图是某企业2016年至2022年的污水净化量(单位：吨)的折线图．
注：年份代码1—7分别对应年份2016—2022.

(1)由折线图看出，可用线性经验回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的经验回归方程，预测2023年该企业的污水净化量．
[解析]　(1)由折线图中的数据得，
＝4， (ti－)2＝28， (yi－)2＝18， (ti－)(yi－)＝21，所以r＝≈0.94.
因为y与t的相关系数近似为0.94，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用线性经验回归模型拟合y与t的关系．
(2)因为＝54，＝＝＝，
所以＝－＝54－×4＝51，
所以y关于t的线性经验回归方程为＝t＋＝t＋51，将2023年对应的t＝8代入上式，得＝×8＋51＝57，
所以预测2023年该企业污水净化量约为57吨．