高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用巩固练习，共8页。试卷主要包含了4，eq \i\sui＝13，41≈0，5，等内容，欢迎下载使用。

．0.6
C．0.7D．0.8
2．[2022·江苏连云港高二期末]某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)之间有如下数据
已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的经验回归方程是( )
A．eq \(y,\s\up6(^))＝0.2x－2B．eq \(y,\s\up6(^))＝0.2x－2.2
C．eq \(y,\s\up6(^))＝0.2x＋2D．eq \(y,\s\up6(^))＝0.2x＋2.2
3．[2022·湖南衡阳高二期末]铁路作为交通运输的重要组成部分，是国民经济的大动脉，在我国经济发展中发挥着重要的作用，近年来，国家持续加大对铁路行业尤其是高速铁路的投资力度，铁路行业得到了快速发展．用1，2，3，4，5分别表示2017年至2021年，得到动车组数量y与相应年份编号x之间的统计数据如下表．
由表格可知，y与x之间存在线性相关关系，经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.32x＋eq \(a,\s\up6(^))，则估计2023年动车组的数量为________千组．
4．[2022·广东云浮高二期末]某产品的广告费用支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如下表．
(1)在给出的坐标系中画出散点图；
(2)建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；
(3)利用所建立的模型，预测当广告费用支出为12万元时，销售额为多少．
(参考公式：线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up6(－))·\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)))
5.[2022·湖北部分市州高二期末]某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：
由表格中数据可得y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝2.04x＋eq \(a,\s\up6(^))，则第7天的残差为( )
A．1.12B．2.12
C．－1.12D．－2.12
6．[2022·广东湛江高二期末](多选)下列说法正确的是( )
A．经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点
B．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
C．经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))对应的经验回归直线恒过样本点的中心(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好
D．在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数R2的值越大，说明拟合的效果越好
7．已知某产品连续4个月的广告费xi(千元)与销售额yi(万元)(i＝1，2，3，4)，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①eq \i\su(i＝1,4,x)i＝18.4，eq \i\su(i＝1,4,y)i＝13.2；②广告费x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；③回归系数eq \(b,\s\up6(^))＝0.8.则广告费平均值为________千元，当广告费为6千元时，则可预测销售额为________万元．
8．[2022·河北沧州高二期末]下表是某农村居民2017年至2021年家庭人均收入(单位：万元).
(1)利用相关系数r判断y与x的相关关系的强弱(当0.75<|r|≤1时，y与x的相关关系较强，否则相关关系较弱，精确到0.01)；
(2)求y关于x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，并预测2022年该农村居民的家庭人均收入．
参考公式：相关系数
r＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,))（yi－\(y,\s\up6(－))）2)).
回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
参考数据：eq \r(2)≈1.414.
9．[2022·山东滨州高二期末]随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售．统计后得到其单价x(单位：元)与销量y(单位：顶)的相关数据如表：
(1)已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；
(2)若每顶帽子的成本为10元，试销售结束后，请利用(1)中所求的经验回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？(结果保留到整数)
附参考数据：eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝21200，eq \i\su(i＝1,5,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) ＝8250.
10.[2022·江苏宿迁高二期末]已知数据(x，y)的三对观测值为(1，3)，(3，5)，(5，4)，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是( )
A．y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(13,4)B．y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(9,4)
C．y＝eq \f(1,3)x＋3D．y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(5,2)
11．[2022·辽宁部分学校高二期末]红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物．为了防治虫害，从根源上抑制害虫数量．现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度x和产卵数y的观测数据于表Ⅰ中．根据绘制的散点图决定从回归模型①y＝C1eC2x与回归模型②y＝C3x2＋C4中选择一个来进行拟合．
表Ⅰ
(1)请借助表Ⅱ中的数据，求出回归模型①的方程；
表Ⅱ(注：表中ti＝lnyi)
(2)类似的，可以得到回归模型②的方程为y＝0.36x2－202.54，试求两种模型下温度为20℃时的残差；
(3)若求得回归模型①的相关指数R2＝0.95，回归模型②的相关指数R2＝0.81，请结合(2)说明哪个模型的拟合效果更好．
参考数据：e－3.41≈0.03，e0.26≈1.30，e1.79≈5.46，e5.20≈181.88.
课时作业(十八) 一元线性回归模型及其应用
1．解析：由表中数据可得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(0.5＋a＋1＋1.4＋1.5,5)＝eq \f(4.4＋a,5)，
将(3，eq \f(4.4＋a,5))代入eq \(y,\s\up6(^))＝0.28x＋0.16解得a＝0.6.故选B.
答案：B
2．解析：经验回归方程必过样本中心点，由题意得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(15＋20＋25＋30＋35,5)＝25，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋2＋4＋5,5)＝2.8，结合选项可知，
2．8＝0.2×25－2.2，即y与x的经验回归方程是eq \(y,\s\up6(^))＝0.2x－2.2.故选B.
答案：B
3．解析：根据表格可得：
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(2.4＋2.7＋2.9＋3.3＋3.7,5)＝3，
即样本中心为(3，3)，则可得：3＝0.32×3＋eq \(a,\s\up6(^))，则eq \(a,\s\up6(^))＝2.04，
∴eq \(y,\s\up6(^))＝0.32x＋2.04，
当2023年，则x＝7，eq \(y,\s\up6(^))＝0.32×7＋2.04＝4.28.
答案：4.28
4．解析：(1)如图所示，
(2)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(3＋5＋6＋7＋9,5)＝6，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(20＋40＋60＋50＋80,5)＝50，
则eq \i\su(i＝1,5,)(xi－eq \(x,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－30)＋(－1)×(－10)＋0×10＋1×0＋3×30＝190，
eq \i\su(i＝1,5,)(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝9＋1＋0＋1＋9＝20，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,)（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,5,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(190,20)＝9.5，
则eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝50－9.5×6＝－7，
所以销售额关于广告费用支出的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝9.5x－7.
(3)由(2)得，当x＝12时，eq \(y,\s\up6(^))＝9.5×12－7＝107，
所以当广告费用支出为12万元时，销售额为107万元．
5．解析：通过表格计算得，eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)(1＋4＋6＋9＋11＋12＋13)＝8，
因为经验回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝2.04x＋eq \(a,\s\up6(^))过点(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))，所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－2.04eq \(x,\s\up6(－))＝－0.16，
所以y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝2.04x－0.16.
所以回归模型第7天的残差13－(2.04×7－0.16)＝－1.12.故选C.
答案：C
6．解析：对于A，经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))对应的经验回归直线必过样本点的中心，不一定过样本数据点中的一个点，A不正确；
对于B，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，预测值与观测值越接近，模型的拟合效果越好，B正确；
对于C，在经验回归直线上的样本点越多，若有部分点离经验回归直线远，残差平方和较大，拟合效果不一定好，C不正确；
对于D，决定系数R2的值越大，则有残差平方和越小，拟合的效果越好，D正确．故选BD.
答案：BD
7．解析：由eq \i\su(i＝1,4,x)i＝18.4可知：广告费平均值为eq \f(\i\su(i＝1,4,x)i,4)＝eq \f(18.4,4)＝4.6；
由②可设经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，
由①③可知：eq \f(13.2,4)＝0.8×eq \f(18.4,4)＋eq \(a,\s\up6(^))⇒eq \(a,\s\up6(^))＝－0.38，即eq \(y,\s\up6(^))＝0.8x－0.38，
当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.8×6－0.38＝4.42.
答案：4.6 4.42
8．解析：(1)由题意得，eq \(x,\s\up6(－))＝3，eq \(y,\s\up6(－))＝1.5，
eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝23.9，eq \i\su(i＝1,5,)(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝10，eq \i\su(i＝1,5,)(yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝0.2，
所以r＝eq \f(23.9－5×3×1.5,\r(10×0.2))≈0.99>0.75，
所以y与x的相关关系较强．
(2)因为eq \(x,\s\up6(－))＝3，eq \(y,\s\up6(－))＝1.5，eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝23.9，eq \i\su(i＝1,5,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) ＝55，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －5\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(23.9－5×3×1.5,55－5×32)＝0.14，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝1.5－0.14×3＝1.08.
所以y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.14x＋1.08.
当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.14×6＋1.08＝1.92，
所以预测2022年该农村居民的家庭人均收入约为1.92万元．
9．解析：(1)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(30＋35＋40＋45＋50)＝40，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(140＋130＋110＋90＋80)＝110，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i))－5\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(21200－5×40×110,8250－5×402)＝eq \f(－800,250)＝－3.2，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝110－(－3.2)×40＝238，
所以y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋238.
(2)设销售单价为x元，销售利润为f(x)，则
f(x)＝(－3.2x＋238)(x－10)＝－3.2x2＋270x－2380(x≥10)，
对称轴为x＝－eq \f(270,2×（－3.2）)＝42.1875≈42，
因为二次函数的图象开口向下，
所以当单价为42元时，销售利润最大．
10．解析：当拟合直线为y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(13,4)时，预报值与实际值的差的平方和S1＝(eq \f(7,2)－3)2＋(4－5)2＋(eq \f(9,2)－4)2＝eq \f(3,2)，
当拟合直线为y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(9,4)时，预报值与实际值的差的平方和S2＝(eq \f(5,2)－3)2＋(3－5)2＋(eq \f(7,2)－4)2＝eq \f(9,2)，
当拟合直线为y＝eq \f(1,3)x＋3时，预报值与实际值的差的平方和S3＝(eq \f(10,3)－3)2＋(4－5)2＋(eq \f(14,3)－4)2＝eq \f(14,9)，
当拟合直线为y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(5,2)时，预报值与实际值的差的平方和S4＝(3－3)2＋(4－5)2＋(5－4)2＝2，
故S1最小，即效果最好的是y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(13,4).故选A.
答案：A
11．解析：(1)由y＝C1eC2x，得lny＝lnC1＋C2x，
令t＝lny，b＝C2，a＝lnC1，得t＝bx＋a，
由表Ⅱ数据可得，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,7,)（xi－\(x,\s\up6(－))）（ti－\(t,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,7,)（xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(41.86,162)≈0.26，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(t,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(25.27,7)－0.26×eq \f(189,7)＝－3.14，
所以eq \(t,\s\up6(^))＝0.26x－3.14，
所以经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝e0.26x－3.41(或eq \(y,\s\up6(^))＝).
(2)由题意可知，模型①在x＝20时残差为y1－eq \(y,\s\up6(^))1＝7－e0.26×20－3.41≈1.54，
模型②在x＝20时残差为y1－eq \(y,\s\up6(^))1＝7－0.36×202＋202.54≈65.54.
(3)因为0.95>0.81，即模型①的相关指数大于模型②的相关指数，由相关指数公式知，模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，因此模型①得到的数据更接近真实数据，所以模型①的拟合效果更好．
练基础
月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y(万元/kg)
0.5
a
1
1.4
1.5
x/℃
15
20
25
30
35
y/百元
1
2
2
4
5
年份编号x
1
2
3
4
5
数量y(千组)
2.4
2.7
2.9
3.3
3.7
广告费用支出x
3
5
6
7
9
销售额y
20
40
60
50
80
提能力
第x天
1
2
3
4
5
6
7
高度y/cm
1
4
6
9
11
12
13
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
家庭人均收入y(万元)
1.2
1.4
1.5
1.6
1.8
单价x(元)
30
35
40
45
50
日销售量y(顶)
140
130
110
90
80
培优生
温度x/℃
20
22
25
27
29
31
35
产卵数y/个
7
11
21
24
65
114
325
eq \i\su(i＝1,7,x)i
eq \i\su(i＝1,7,y)i
eq \i\su(i＝1,7,t)i
eq \i\su(i＝1,7,)(xi－ eq \(x,\s\up6(－)))2
eq \i\su(i＝1,7,)(yi－ eq \(y,\s\up6(－)))2
189
567
25.27
162
78106
eq \i\su(i＝1,7,)(ti－ eq \(t,\s\up6(－)))2
eq \i\su(i＝1,7,)(xi－ eq \(x,\s\up6(－)))(yi－ eq \(y,\s\up6(－)))
eq \i\su(i＝1,7,)(xi－ eq \(x,\s\up6(－)))(ti－ eq \(t,\s\up6(－)))
eq \i\su(i＝1,7,)(yi－ eq \(y,\s\up6(－)))(ti－ eq \(t,\s\up6(－)))
11.06
3040
41.86
825.09