人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用精品课后测评

专题8.3 一元线性回归模型及其应用（重难点题型精讲）

1．一元线性回归模型

把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称

为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.

2．线性经验回归方程与最小二乘法

设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+

(i=1，2，，n)，得|-(+a)|= ||，显然||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小.
通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线

y=bx+a的“整体接近程度”.

    当a，b的取值为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的经验回归方

程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二

乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.
经验回归直线一定过点(,).

3．残差分析

对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减

去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.

4．刻画回归效果的方式

(1)残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称

为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.
    (2)残差平方和法
    残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好.
    (3)利用刻画拟合效果
   =.
    越大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差.

(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用

相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：

    （其中，，，和，，，的均值分别为和）.

①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；

当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.
②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；

当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.

【题型1  一元线性回归模型】

【方法点拨】

根据一元线性回归模型的定义，结合具体题目条件，进行求解即可.

【例1】（2022·高二单元测试）根据如下样本数据，得到线性回归方程为，若样本点的中心为，则当X每增加1个单位时，Y平均（    ）

A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位 C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位

【变式1-1】（2022春·黑龙江大庆·高二期末）给出下列说法中错误的是（    ）

A．回归直线恒过样本点的中心

B．两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1

C．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变

D．在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位

【变式1-2】（2022春·河南南阳·高二期中）已知变量x和y的回归直线方程为，变量y与z负相关．下列结论中正确的是（    ）

A．x与y正相关，x与z正相关 B．x与y正相关，x与z负相关

C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关

【变式1-3】（2022春·陕西渭南·高一期末）根据如下样本数据：

得到线性回归方程为，则（    ）

A． B． C． D．

【题型2  残差的计算】

【方法点拨】

根据题目条件，得出经验回归方程，再进行残差的计算.

【例2】（2022春·湖北·高二期末）某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：

由表格中数据可得y关于x的经验回归方程为，则第7天的残差为（    ）

A．1.12 B．2.12 C． D．

【变式2-1】（2023春·河南开封·高三开学考试）某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：

其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为，则（    ）

A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0

【变式2-2】（2022春·河南许昌·高二期末）为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点（x，y）：

若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为1.1的样本点是（    ）A．（5.5，9） B．（6.5，8）              C．（7，6）              D．（7.5，4）

【变式2-3】（2022春·江苏宿迁·高二阶段练习）在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：

由表中数据求得关于的回归方程为，则，，这三个样本数据中，残差的绝对值最小的是（    ）

A． B． C． D．和

【题型3  刻画回归效果的方式】

【方法点拨】

根据刻画回归效果的三种方式，结合具体题目条件，选取适当的方式来刻画模型的拟合效果，即可得解.

【例3】（2022秋·宁夏银川·高三开学考试）下列说法正确的个数是（    ）

(1)在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差

(2)某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学

(3)回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好

(4)在回归直线方程，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位

A．2 B．3 C．4 D．1

【变式3-1】（2022春·山东菏泽·高二期末）关于线性回归的描述，下列命题错误的是（    ）

A．回归直线一定经过样本点的中心 B．残差平方和越小，拟合效果越好

C．决定系数越接近1，拟合效果越好 D．残差平方和越小，决定系数越小

【变式3-2】（2022秋·广东广州·高三阶段练习）对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，，…，则下列说法不正确的是（    ）

A．若变量和之间的相关系数为，则变量和之间具有较强的线性相关关系

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用决定系数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好

D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高

【变式3-3】（2022春·甘肃天水·高二阶段练习）关于线性回归的描述，有下列命题：

①回归直线一定经过样本中心点；

②相关系数的绝对值越大，拟合效果越好；

③相关指数越接近1拟合效果越好；

④残差平方和越小，拟合效果越好.

其中正确的命题个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【题型4  代入法求线性经验回归方程】

【方法点拨】

经验回归直线一定经过样本点的中心(,)，求出样本点的中心后代入线性回归方程求解相应字母.

【例4】（2023秋·四川广安·高二阶段练习）已知两个变量和之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组，的样本数据如下表所示：

根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是（    ）

A． B．

C． D．

【变式4-1】（2022秋·陕西榆林·高二期中）已知，的取值如下表所示：

若与线性相关，且，则（   ）

A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6

【变式4-2】（2023秋·河南焦作·高二期末）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：

根据如表可得回归方程中的为7．根据此模型预测广告费用为10万元时销售额为（    ）万元A．63.6 B．75.5              C．73.5              D．72.0

【变式4-3】（2023秋·四川宜宾·高二期末）某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y关于x的线性经验回归方程为，则测此回归模型第4周的治愈人数为（    ）

A． B． C． D．

【题型5  经验回归模型的应用】

【方法点拨】

(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量；

(2)画出解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；

(3)确定经验回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性经验回归方程)；

(4)按一定规则(如最小二乘法)估计经验回归方程中的参数；

(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)，若存在异

常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.

【例5】（2023秋·四川雅安·高二期末）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表．

(1)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．

（参考公式，）

(2)若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，请预估销售额需要达到多少?

【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）目前手机已经成为人们生活中的必需品，国内市场已经进入成熟期，下表是2016—2021年某市手机总体出货量（单位：万部）统计表．

(1)已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回归模型拟合，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；

(2)预测2022年该市手机总体出货量．

附：线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．

【变式5-2】（2023秋·四川成都·高二期末）某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：

假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，

(1)求2022年售卖出的产品件数y（单位：万件）关于销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；

(2)根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.

参考公式：，.

【变式5-3】（2023·山东·模拟预测）我国技术给直播行业带来了很多发展空间，加上受疫情影响，直播这种成本较低的获客渠道备受商家青睐，某商场统计了2022年1~5月某商品的线上月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表示．

(1)求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；

(2)建立关于的线性回归方程，并估计当售价为元/件时，该商品的线上月销售量估计为多少千件？

(3)若每件商品的购进价格为元/件，如果不考虑其他费用，由（2）中结论，当商品售价为多少时，可使得该商品的月利润最大？（该结果保留整数）

参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．参考数据：．

【题型6  非线性经验回归方程的求法】

【方法点拨】

(1)作散点图确定曲线模型：曲线所对应的函数种类繁多，这就要求我们充分想象，大胆猜测拟合函数类型，

粗略估计使用哪个函数拟合.

(2)非线性转化为线性：先通过适当变换化非线性关系为线性关系，然后按照线性检验回归方程的求解步骤

进行求解.

(3)分析模型的拟合效果，得出结论.

【例6】（2023·陕西西安·统考一模）为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：

(1)判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值，

（ⅰ）证明：对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即为常数）；

（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．

附：对于一组数据其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

【变式6-1】（2023·云南·高三阶段练习）近年来，云南省保山市龙陵县紧紧围绕打造“中国石斛之乡”的发展定位，大力发展石斛产业，该产业带动龙陵县近四分之一人口脱贫致富．2022年8月，龙陵紫皮石斛获国家地理标志运用促进工程重点项目，并被评为优秀等次．在政府的大力扶持下，龙陵紫皮石斛产量逐年增长，2017年底到2022年底龙陵县石斛产量统计如下及散点图如图．

(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)经计算得下表中数据，根据（1）中结果，求出y关于x的回归方程；

其中．

(3)龙陵县计划到2025年底实现紫皮石斛年产量达1.5万吨，根据（2）所求得的回归方程，预测该目标是否能完成？（参考数据：）

附：，．

【变式6-2】（2023·江西抚州·高三开学考试）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5．

(1)由上表数据知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；

(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）某企业为改进生产，现 某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①，②进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：

表中，．

若用刻画回归效果，得到模型①、②的值分别为，．

(1)利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

(2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．