新教材2023年高中数学第八章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验素养作业新人教A版选择性必修第三册

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第八章　8.3

A组·素养自测
一、选择题
1．(多选)下列说法正确的是(　AB　)
A．事件A与B独立，即两个事件互不影响
B．事件A与B关系越密切，则χ2就越大
C．χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据
D．若判定两事件A与B相关，则A发生B一定发生
[解析]　由事件的独立性知，A选项正确；由独立性检验的意义知，B选项正确；χ2的大小是判定事件A与B是否相关的一种方法，不是唯一依据，C选项不正确；若事件A与B相关，则A发生B可能发生，也可能不发生，D选项不正确．
2．分类变量X和Y的列表如下，则下列说法判断正确的是(　C　)

y1
y2
合计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
A．ad－bc越小，说明X和Y关系越弱
B．ad－bc越大，说明X和Y关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
[解析]　列联表可以较为准确地判断两个变量之间的相关关系程度，
由χ2＝，
当(ad－bc)2越大，χ2越大，表明X与Y的关系越强．
(ad－bc)2越接近 0，说明两个分类变量X和Y无关的可能性越大．
3．为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：

根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是(　B　)
A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果
D．药物A，B对该疾病均没有预防效果
[解析]　从等高条形图可以看出，服用药物A后未患病的比例比服用药物B后未患病的比例大得多，预防效果更好．
4．为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关，随机抽取部分A品牌手机使用者和B品牌手机使用者进行统计，统计结果如下表：
年龄
手机品牌
合计
A品牌
B品牌
30岁以上
40
20
60
30岁以下(含30岁)
15
25
40
合计
55
45
100
根据表格计算得χ2≈8.249，据此判断下列结论正确的是(　C　)
A．没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
B．可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关”
[解析]　χ2≈8.249>6.635＝x0.01，由小概率值α＝0.01的独立性检验知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”．
5．利用独立性检验对事件A和B是否有关进行研究时，若有99%的把握认为事件A和B有关，则计算出的χ2的取值范围是(　A　)
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
A．χ2≥6.635 B．χ2<6.635
C．χ2≥3.841 D．χ2<3.841
[解析]　易知当χ2≥6.635时，有99%的把握认为事件A和B有关．故选A．
二、填空题
6．(一题两空)在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝7.63.根据这一数据分析，有_99%__的把握说，打鼾与患心脏病是_有关__的. (“有关”或“无关”)
[解析]　∵χ2＝7.63，∴χ2>6.635，因此，有99%的把握说，打鼾与患心脏病是有关的．
7．若两个分类变量x和y的列联表为：
　　y
x
y1
y2
x1
5
15
x2
40
10
则x与y之间有关系的概率约为_0.999__.
[解析]　χ2＝≈18.822.
∵18.822>10.828，
∴x与y之间有关系的概率约为1－0.001＝0.999.
8．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到χ2≈3.852＞3.841，则判断性别与是否爱好运动有关，那么这种判断犯错误的可能性不超过_5%__.
[解析]　因为P(χ2≥3.841)≈0.05.
所以判断性别与是否爱好运动有关，出错的可能性不超过5%.
三、解答题
9．(2021·全国甲卷)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2＝，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
[解析]　(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是＝0.75，乙机床生产的产品中一级品的频率是＝0.6.
(2)根据题表中的数据可得
K2＝＝≈10.256.
因为10.256>6.635，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
10．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
　　SO2
PM2.5
[0，50]
(50，150]
(150，475]
[0，35]
32
18
4
(35，75]
6
8
12
(75，115]
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
　　SO2
PM2.5
[0，150]
(150，475]
[0，75]


(75，115]


(3)根据(2)中的列联表，依据小概率α＝0.01的独立性检验，判断该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度是否有关？
[解析]　(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为＝0.64.
(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：
　　SO2
PM2.5　　
[0，150]
(150，475]
[0，75]
64
16
(75，115]
10
10
(3)零假设H0：该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关．
根据(2)的列联表得
χ2＝≈7.484>6.635＝x0.01.
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为H0不成立，
即认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.
B组·素养提升
一、选择题
1．(2022·北京五中模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下列联表：

优秀
非优秀
总计
甲班
10
b

乙班
c
30

总计105



已知在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，χ2≈6.109.则下列说法正确的是(　C　)
附：
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0. 001
k
3.841
6.635
10.828
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为成绩与班级有关系
D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为成绩与班级有关系
[解析]　∵在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，
∴成绩优秀的人数为105×＝30，非优秀的人数为105－30＝75，
∴c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，
∴χ2＝≈6.109>3.841.
∴若按95%的可靠性要求，能认为成绩与班级有关系．故选C．
2．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，

Y1
Y2
X1
a
20－a
X2
15－a
30＋a
其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为(　CD　)
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析]　根据公式，得
χ2＝
＝>3.841，根据a>5且15－a>5，
a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意．
3．(多选)(2021·江西省模拟)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了A地区的100天日落和夜晚天气的情况，得到如下2×2列联表：
　　　　夜晚天气
日落云里走
下雨
未下雨
出现
25
5
未出现
25
45
并计算得到χ2＝19.05，下列小波对A地区天气判断正确的是(　ABC　)
附：
P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.01
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
A．夜晚下雨的概率约为
B．在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为
C．有99.99%的把握认为“日落云里走”是否出现与当晚是否下雨有关
D．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨
[解析]　对于选项A，因为夜晚下雨的天数一共有25＋25＝50(天)，所以夜晚下雨的概率约为＝，故A正确．对于选项B，未出现“日落云里走”夜晚下雨的有25天，未出现“日落云里走”的一共有25＋45＝70(天)，所以在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为＝，故B正确．对于选项C，因为χ2≈19.05>10.828，所以有99.9%的把握认为“日落云里走”是否出现与当晚是否下雨有关，故C正确，D错误，故选ABC．
4．某校团委对“学生性别和喜欢某热门软件是否有关联”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢该软件的人数占男生人数的，女生喜欢该软件的人数占女生人数的.若有99%的把握认为喜欢该软件和性别有关联，则男生至少有(　B　)
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．12人 B．18人
C．24人 D．30人
[解析]　设男生人数为x，女生人数为.作出2×2列联表：

喜欢该软件
不喜欢该软件
合计
男生
x
x
x
女生
x
x

合计

x
x
可得χ2＝＝>6.635.
解得x>17.69，∵x为整数，所以，若在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有18人．故选B．
二、填空题
5．某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，实验班与对照班成绩统计如表所示(单位：人)：

80及80分以上
80分以下
总计
实验班
35
15
50
对照班
20
m
50
总计
55
45
n
(1)m＝_30__，n＝_100__；
(2)根据表中数据得到的结论是_有99%的把握说“教学方式与成绩有关系”__.
[解析]　(1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100.
(2)由表中的数据得χ2＝≈9.091.
因为9.091>6.635，所以有99%的把握说“教学方式与成绩有关系”．
6．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94，30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如表：
甲厂：
分组
[29.86，
29.90)
[29.90，
29.94)
[29.94，
29.98)
[29.98，
30.02)
[30.02，
30.06)
[30.06，
30.10)
[30.10，
30.14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂：
分组
[29.86，
29.90)
[29.90，
29.94)
[29.94，
29.98)
[29.98，
30.02)
[30.02，
30.06)
[30.06，
30.10)
[30.10，
30.14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)两个分厂生产的零件的优质品率分别为_72%，64%__；
(2)有_99%__的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
[解析]　(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为×100%＝72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为×100%＝64%.
(2)

甲厂
乙厂
总计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
总计
500
500
1 000
χ2＝≈7.35>6.635.
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
7．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：单位：人
性别
疗效
合计
无效
有效
男性患者
15
35
50
女性患者
6
44
50
合计
21
79
100
设H0服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2≈_4.882__，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为_5%__.
[解析]　由公式计算得χ2≈4.882.因为χ2>3.841，所以我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而出错的可能性为5%.
三、解答题
8．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图．

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法


新养殖法


附：
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
χ2＝.
[解析]　(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”，
∴P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，
旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，
故P(B)的估计值为0.62，
新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，
故P(C)的估计值为0.66，
则事件A的概率估计值为P(A)＝P(B)·P(C)＝
0.62×0.66＝0.409 2，
∴A发生的概率为0.409 2.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得到列联表：

箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
则χ2＝≈15.705，
由15.705>6.635.
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
9．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积x(单位：公顷)
1
2
3
4
5
管理时间y(单位：月)
8
10
13
25
24
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：

愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50

(1)求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？
(2)依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为村民参与管理的意愿与性别有关系？
(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．
[解析]　(1)依题意：＝＝3，＝＝16，故(xi－)(yi－)＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，(xi－)2＝4＋1＋1＋4＝10，(yi－)2＝64＋36＋9＋81＋64＝254，则
r＝
＝＝≈0.933，故管理时间y与土地使用面积x线性相关．
(2)依题意，完善表格如下：

愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
150
50
200
女性村民
50
50
100
合计
200
100
300
零假设H0：村民参与管理的意愿与性别无关．
根据表中数据计算得
χ2＝＝18.75>10.828＝x0.001，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，此推断犯错误的概率不大于0.001，故有99.9%的把握认为村民参与管理的意愿与性别有关系．
(3)依题意，X的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，
故P(X＝0)＝2＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝2)＝C××2＝，
P(X＝3)＝C3＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P




则数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.