新教材2023年高中数学模块综合测评1新人教A版选择性必修第三册

这是一份数学选择性必修 第三册全册综合一课一练，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合测评(一)
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·辽宁本溪)有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　C　)
A．10种 B．20种
C．25种 D．32种
[解析]　每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有5×5＝25 (种)选法．故选C．
2．(2022·河北武邑)若A＝3C，则n的值为(　C　)
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析]　因为A＝3C，所以n(n－1)＝，即n＝6.故选C．
3．(2022·江西临川)独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是(　D　)
A．在100个男性中约有90人喜爱喝酒
B．若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%
C．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10%
D．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90%
[解析]　独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故A、B错误．由已知，得认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为10%，故C错误，D正确．
4．(2022·广西南宁三中)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　B　)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
[解析]　由题意得μ＝0，σ＝3，∴P(3<ξ<6)＝P(μ＋σ<ξ<μ＋2σ)
＝
＝＝13.59%.
5．(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　解法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素)　4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将4个1和2个0随机排成一行有A种排法，将1A，1B，1C，1D排成一行有A种排法，再将OA，OB插空有A种排法，所以2个0不相邻的概率P＝＝.
解法二(含有相同元素的排列)　将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C种排法．所以2个0不相邻的概率P＝＝.
6．已知(1－x)6的展开式中x3的系数为－8，则a＝(　A　)
A．－2 B．－3
C．－1 D．2
[解析]　依题意，注意到(1－x)6的展开式的通项为Tr＋1＝C·(－x)r＝C·(－1)r·xr，因此(1－x)6展开式中x3的系数为1×C×(－1)3＋a×C×(－1)5＝－8，解得a＝－2，故选A．
7.2020年初，新型冠状肺炎在多地爆发，卫健委第一时间内向相关地区派出由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的地区可供选择，每个医疗小组只去一个地区，设事件A＝ “4个医疗小组去的地区各不相同”，事件B＝ “小组甲独自去一个地区”，则P(A|B)＝(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　事件A＝ “4个医疗小组去的地区各不相同”，事件B＝ “小组甲独自去一个地区”，则P(AB)＝＝，P(B)＝＝，P(A|B)＝＝，故选A．
8．甲袋内装有2个红球和3个白球，乙袋内装有1个红球和n(n∈N*)个白球．现分别从甲、乙两袋中各取1个球，若将事件“取出的2个球恰为同色”发生的概率记为f(n)，则以下关于函数f(n)(n∈N* )的判断正确的是(　C　)
A．f(n)有最小值，且最小值为
B．f(n)有最大值，且最大值为
C．f(n)有最小值，且最小值为
D．f(n)有最大值，且最大值为
[解析]　事件A＝{取出2个球同为红色}，事件B＝{取出的2个球同为白色}，则事件A与事件B是互斥事件，所以f(n)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝，由于函数f(n)＝－在[1，＋∞)上是单调递增函数，所以当n＝1时，函数f(n)(n∈N*)取得最小值f(1)＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9.袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则(　ACD　)
A．X～B B．P(X＝2)＝
C．X的期望E(X)＝ D．X的方差D(X)＝
[解析]　由于每次取球互不影响，故所有结果有4类：
①4次全是白球，X＝0，记其概率为P(X＝0)＝4＝；
②4次只有1次是黑球，X＝1，记其概率为P(X＝1)＝C3＝；
③4次只有2次是黑球，X＝2，记其概率为P(X＝2)＝C22＝；
④4次只有3次是黑球，X＝3，记其概率为P(X＝3)＝C3＝；
⑤4次全是黑球，X＝4，记其概率为P(X＝4)＝4＝.
故X～B(4，)，故A正确，B错误；
因为X～B(4，)，所以X的期望E(X)＝4×＝，故C正确；
因为X～B(4，)，所以X的方差D(X)＝4××＝，故D正确．
故选ACD．
10.8展开式中系数最大的项为(　BC　)
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
[解析]　8的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·()8－r·r＝r·C·x4－r，其展开式的各项系数依次为1，4，7，7，，，，，，所以，展开式中系数最大的项是第3项和第4项．
11．下列说法中，正确的命题是(　BC　)
A．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ<4)＝0.84，则P(2<ξ<4)＝0.16
B．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3
C．已知两个变量具有线性相关关系，其经验回归方程为＝＋x，若＝2，＝1，＝3，则＝1
D．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为16
[解析]　∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ<4)＝0.84，
∴P(2<ξ<4)＝P(ξ<4)－0.5＝0.84－0.5＝0.34≠0.16，即A错误．
∵y＝cekx，∴ln y＝ln(cekx)，
∴ln y＝kx＋ln c.
∵z＝0.3x＋4，∴ln y＝0.3x＋4，
从而k＝0.3，ln c＝4，
∴k＝0.3，c＝e4，即B正确．
∵直线＝＋x过样本中心点(，)，即3＝＋.
∵＝2，∴＝1，即C正确．
∵样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，
∴数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为2×22＝8，即D错误．
12．下列说法中正确的是(　AC　)
A．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法
B．502 021＋1被7除后的余数为5
C．若(x－2)5＋(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a2＋a4＝－81
D．抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆x2＋y2＝16内的次数ξ的均值为
[解析]　6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，即每个盒子至少1个，采用隔板法共C＝10(种)，A正确；502 021＝(49＋1)2 021，展开式中只有最后一项1不是7的倍数，所以502 021＋1被7除后的余数为2，B错误；在(x－2)5＋(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5中，分别令x＝1和x＝－1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝80，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－242，两式相加除以2，得a0＋a2＋a4＝－81，C正确；点P共有36种情况，其中在圆x2＋y2＝16内的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8种，所以掷这两枚骰子一次，点P在圆内的概率为.因为ξ～B，所以ξ的均值为3×＝，D错误．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．某学生为了研究高二年级同学的体质健康成绩与学习成绩的关系，从高二年级同学中随机抽取30人，统计其体质健康成绩和学习成绩，得到2×2列联表如表：

体质健康成绩高
体质健康成绩低
总计
学习成绩高
17
2
19
学习成绩低
3
8
11
总计
20
10
30
有_99.9%__的把握认为学生的体质健康成绩高低与学习成绩高低有关．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
[解析]　由列联表中数据，计算χ2＝≈12.129>10.828，所以有99.9%的把握认为学生的体质健康成绩高低与学习成绩高低有关．
14．若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为_2__.
[解析]　Tr＋1＝C(ax2)6－rr＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3.∴Ca3b3＝20，即ab＝1.∴a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取“＝”，即a2＋b2的最小值为2.
15．某公园有甲、乙、丙三艘大小不同的游艇，甲可坐3人，乙可坐2人，丙只能坐1人．现有3个大人带2个小孩租艇，但小孩不能单独坐艇，则不同的坐法种数是_27__.(用数字填写)
[解析]　把大人和小孩进行组合，设大人为D，小孩为H.
①甲、乙、丙：{1D＋1H}，{1D＋1H}，{1D}，有(C×C)×(C×C)×C＝12(种)；
②甲、乙、丙：{1D＋2H}，{1D}，{1D}，有C×C×C＝6(种)；
③甲、乙：{2D＋1H}，{1D＋1H}，有(C×C)×(C×C)＝6种；
④甲、乙：{1D＋2H}，{2D}，有C×C×C＝3(种)；
故共有12＋6＋6＋3＝27种不同的坐法．
16．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝___，E(ξ)＝_1__.
[解析]　1个红球，1个绿球，2个黄球，共有A＝12(种)排列．
①红球前面没有黄球，有A＋1＝4(种)，
P(ξ＝0)＝＝；
②红球前面有1个黄球，有A＋A＝4(种)，
P(ξ＝1)＝＝；
③红球前面有2个黄球，有1＋A＝4(种)，
P(ξ＝2)＝＝.
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)若n的二项式展开式中前三项的系数和为163，求：
(1)该二项式展开式中所有的有理项；
(2)该二项式展开式中系数最大的项．
[解析]　(1)展开式中前三项的系数和为C＋2C＋22C＝163，解得n＝9，
所以展开式的通项公式为Tr＋1＝C()9－rr＝C2rx，
因为令∈Z，则r＝2或6，
所以展开式的有理项为T3＝144x3，T7＝5 376.
(2)令第r＋1项系数最大，则
解得≤r≤，
因为r∈N，所以r＝6，
所以展开式中系数最大的项是T7＝5 376.
18．(本小题满分12分)五位师傅和五名徒弟站一排．
(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？
(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法？
(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？
[解析]　(1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有A种排法，五名徒弟在内部全排列有A种，据乘法原理排法共有AA＝86 400(种)．
(2)先将五位师傅全排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有A种排法，据乘法原理，排法共有AA＝86 400(种)．
(3)先将五位师傅排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上有2A种排法，据乘法原理排法共有2AA＝28 800(种)．
19．(本小题满分12分)某市热线网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票，按照该市暴雨前后两个时间各收集了50份有效投票，所得统计结果如下表：

支持
不支持
总计
暴雨后
x
y
50
暴雨前
20
30
50
总计
A
B
100
已知工作人员从所有投票中任取一张，取到“不支持投入”的投票概率为.
(1)求列联表中x，y，A，B的值，并绘制条形图，通过图形判断本次暴雨是否影响到该市民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；
(2)能够有多大把握认为暴雨与该市民众是否赞成加大修建城市地下排水设施的投入有关？
(3)用样本估计总体，在该市全体市民中任意选取4人，其中“支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解析]　(1)设“从所有投票中任取一张，取到‘不支持投入’的投票”为事件A，
由已知得P(A)＝＝，
所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60，
暴雨后支持率为＝，不支持率为1－＝，
暴雨前支持率为＝，不支持率为1－＝.
绘制条形图，如图所示：

通过图形可判断出本次暴雨影响到了该市民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度．
(2)χ2＝≈16.67>10.828，
故有99.9%的把握认为暴雨对该市民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关．
(3)ξ的可能取值为0，1，2，3，4，用样本估计总体，任取一人支持的概率P＝＝，所以ξ～B，P(ξ＝k)＝C·k·4－k(k＝0，1，2，3，4)．
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P





E(ξ)＝np＝4×＝.
20．(本小题满分12分)(2022·北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)
[解析]　(1)甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率＝.
(2)用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为＝，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为＝，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)甲成绩的平均值为9.479，乙成绩的平均值为9.46，丙成绩的平均值为9.465，
故甲获得冠军的概率估计值最大．
21．(本小题满分12分)某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2022年连续六个月(5—10月)的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示．

(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y(单位：百万元)与月份代码x之间的关系，求y关于x的经验回归直线方程，并据此预测该公司2022年12月份的利润；
(2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新型材料的不稳定性会导致材料损坏的时间不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到如下频数统计表．若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？ (用频率估计概率)
　　　使用寿命
材料类型
1个月
2个月
3个月
4个月
合计
A
20
35
35
10
100
B
10
30
40
20
100
参考数据：x＝91，xiyi＝371.
参考公式：经验回归直线方程＝x＋，其中＝＝，＝－.
[解析]　(1)由折线图可知统计数据(x，y)共有6组，即(1，11)，(2，13)，(3，16)，(4，15)，(5，20)，(6，21)．
计算可得
＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，
＝×(11＋13＋16＋15＋20＋21)＝16，
∴＝＝＝2，
＝－＝16－2×3.5＝9.
∴月利润y关于月份代码x的经验回归直线方程为＝2x＋9，当x＝8时，＝2×8＋9＝25.
故预测甲公司2022年12月份的利润为25百万元．
(2)由题意知，A型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数A＝1×0.2＋2×0.35＋3×0.35＋4×0.1＝2.35.B型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2.∴B型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数B＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.2＝2.7.
∵A 22．(本小题满分12分)某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8 000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩(百分制)作为样本，得到频率分布直方图，如图所示．

(1)规定预赛成绩不低于80分为优良， 若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求恰有1人预赛成绩为优良的概率；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且σ2＝ 362.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于91分的人数；
(3)预赛成绩高于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分，②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花” 掉(即减去)一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k，③每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分，④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？
参考数据：≈19；或Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997.
[解析]　(1)由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有(0.012 5＋0.007 5)×20×100＝40(人)，其中成绩优良的人数为0.007 5×20×100＝15(人)，记C：从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，恰有1人预赛成绩为优良，则P(C)＝＝.
(2)由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：＝10×0.1＋30×0.2＋50×0.3＋70×0.25＋90×0.15＝53，则μ＝53.
又σ2＝362，∴σ≈19，
∴P(Z>91)＝P(Z>μ＋2σ)＝[1－ P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)]≈0.023，
∴估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于91分的人数为8 000×0.023 ＝184.
(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ～B(n，0.7)，且E(ξ)＝0.7n，记甲答完n题后所加的分数为随机变量X，则X＝1.5ξ，
∴E(X)＝1.5E(ξ)＝1.05n.
为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为0.1×(1＋2＋3＋…＋n)＝0.05(n2＋n)．
设甲答完n题的分数为M(n)，则M(n)＝100－0.05(n2＋n)＋1.05n＝－0.05(n－10)2＋105，
由于n∈N*，∴当n＝10时，M(n)取最大值105，即甲复赛成绩的最大值为105.
∴若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10.