数学必修 第二册7.2 复数的四则运算教案设计

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第七章 复数
7.2 复数的四则运算
7.2.2 复数的乘、除运算
教学设计
一、 教学目标
1. 能进行复数代数形式的乘法和除法计算。
2. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。
二、 教学重难点
1. 教学重点
复数代数形式的乘法和除法运算法则。
2. 教学难点
复数除法的运算法则。
三、 教学过程
1. 新课导入
上节课我们学习了复数的加、减法运算，那么在复数集中乘法除法有哪些运算法则呢？
2. 探索新知
我们规定，复数的乘法法则如下：设z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)( c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i。很明显，两个复数的积是一个确定的复数。特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积。可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可。
容易得到，对任意z1，z2 ，z3∈C，有交换律z1z2= z2+z1，结合律(z1z2)z3=z1(z2+ z3)，分配律z1(z2+ z3)=z1z2+ z1z3。
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算。请探求复数除法的法则。
复数除法的法则是：(a+bi)÷( c+di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）。
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数。在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷( c+di)写成a+bic+di的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di，化简后就可得到上面的结果。这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”。
3. 课堂练习
1．复数z满足zi－1＝i则z的共轭复数为(　B　)
A．1－i　　 B．1＋i
C．－1＋i　　 D．－1－i
[解析]　z＝＝＝＝1－i.
2．已知i为虚数单位．若复数－3i(a＋i)(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝(　A　)
A．－1　　 B．－2
C．1　　 D．2
[解析]　－3i(a＋i)＝－3ai＋3，∴－3a＝3，∴a＝－1.
3．若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　D　)
A．－4　　 B．－3
C．3　　 D．4
[解析]　∵＝3＋i，∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，∴a＝4，选D．
4．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(－∞，1)　　 B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)　　 D．(－1，＋∞)
[解析]　∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，
又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，
∴解得a<－1.故选B．
5．(2019·山东滨州市高二期中测试)设(1＋i)z＝2－4i，则|z2|＝(　B　)
A．　　 B．10
C．5　　 D．100
[解析]　∵(1＋i)z＝2－4i，
∴z＝＝＝＝＝－1－3i，
∴z2＝(－1－3i)2＝－8＋6i，∴|z2|＝＝10.
6．若z＋＝6，z·＝10，则z＝(　B　)
A．1±3i　　 B．3±i
C．3＋i　　 D．3－i
[解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴，解得，即z＝3±i.
7．计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__.
[解析]　(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝1－i2＋1＋4i＋4i2＝1＋1＋1＋4i－4＝－1＋4i.
8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝__2＋i__.
[解析]　(1＋2i)·＝4＋3i，
＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.
9．计算：
(1)(－＋i)(2－i)(3＋i)；
(2).
[解析]　(1)(－＋i)(2－i)(3＋i)
＝(－＋i)(7－i)＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝＝－2－2i.
4. 小结作业
小结：本节课学习了复数代数形式的乘法和除法运算法则。
作业：完成本节课课后习题。
四、 板书设计
7.2.2复数的乘、除运算
复数乘法的法则： (a+bi)( c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i（a,b,c,d∈R）
复数乘法的运算律：对任意z1，z2 ，z3∈C，
交换律z1z2= z2+z1；
结合律(z1z2)z3=z1(z2+ z3)；
分配律z1(z2+ z3)=z1z2+ z1z3。
复数除法的法则：(a+bi)÷( c+di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）。