数学必修 第二册6.4 平面向量的应用教案

这是一份数学必修 第二册6.4 平面向量的应用教案，共22页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《平面向量的应用》教学设计
课时4 余弦定理、正弦定理应用举例

必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
1.平面几何中的向量方法
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学抽象直观想象逻辑推理
【考查内容】
利用向量方法解决简单的平面几何问题;通过对向量的垂直、平行、模长等的内容的应用转化为三角函数的求值、化简或者解决函数的综合问题
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
2.向量在物理中的应用举例
直观想象数学运算逻辑推理
数学建模
3.余弦定理、正弦定理
数学抽象直观想象数学运算
逻辑推理
数学建模
4.余弦定理、正弦定理应用举例
数学抽象直观想象数学运算
逻辑推理
数学建模
一、本节内容分析
本节内容是本章的最后一节,教材选取例题说明向量作为工具在数学、物理中的广泛应用性.
在本节教学内容中,教材介绍用向量方法解决一些简单的平面几何问题和物理问题,为了更好地体现向量的价值,教材在本节介绍了余弦定理和正弦定理,并借助向量的运算,探索三角形边长与角度之间的关系.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.平面几何中的向量方法
2.向量在物理中的应用举例
3.余弦定理、正弦定理
4.余弦定理、正弦定理应用举例
直观想象
数学抽象
逻辑推理
数学运算
数学建模
核心素养






二、学情整体分析
在前面的学习当中,学生已较好地理解了向量的概念,比较熟练地掌握了向量的运算和性质,并能进行简单应用,有“数形结合”的应用意识,善于思考和发现,有较高的认知水平.因此,有可能也有必要引导他们进行问题探究.本节课以“向量在代数中的应用”为载体,进一步让学生体验“数形结合”“转化”的思想应用为目标,以培养学生的探究精神为归宿,促进学生思维能力的提高.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.平面几何中的向量方法
2.向量在物理中的应用举例
3.余弦定理、正弦定理
4.余弦定理、正弦定理应用举例
【教学目标设计】
1.会用向量方法解决简单的几何问题.
2.用向量的方法解决物理中的关于力学、运动学的相关问题.
3.运用余弦定理、正弦定理解三角形.
【教学策略设计】
本课是在学生已经学习“向量在平面几何中的应用”基础上,学习“向量在代数中的应用”,围绕以上向量的概念和运算性质的应用问题,引导学生观察、分析表达式的特征,联想向量知识,通过构造向量将已知条件或结论转化为向量表达、进行向量运算或向量性质的应用将所得的结果转化为所求结论的过程,学生会对数学思想方法中的“数形结合”“转化”等有更深刻的理解,通过变式教学、特殊与一般的研究,感受数学发现的乐趣,通过错误辨析、一题多解、一题多变的探究,夯实学生基础,达到深刻理解向量的概念,熟练掌握向量的运算和性质的目的.
【教学方法建议】
情境教学法、探究教学法,还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 1.学习用向量法解决平面几何问题.
2.运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析计算.
3.余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
4.正弦定理的内容、证明及应用.
难点 1.运用向量法将几何问题转化为平面向量问题.
2.会将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
3.利用向量的数量积推导余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路.
4.正弦定理的探索及证明,已知两边和一对角解三角形时三角形解的个数.
5.利用正弦、余弦定理解决实际应用问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在实践中,我们常常遇到测量距离、高度、角度等实际问题,例如:
(1)现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢?又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?
(2)在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题:在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?
具体测量时,我们常常遇到“不能到达”的困难,这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是,题中为什么要给出这些已知条件,而不是其他的条件事实上,这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案,而且是这种情境与条件限制下的恰当方案.
【以学论教】
通过引言,让学生体会解三角形在生活中的广泛应用,激发学生对于新讲解内容的浓厚兴趣,让学生感受生活中的数学,体会了生活中测量距离的现实需要
【情境学习】
通过实例,引导学生体会生活中的距离问题,学生讨论建立数学建模的方法上着重强调可行性,让学生充分展示自己的见解,营造一个探讨和辩论的氛围,激发学生的创造力
教学精讲
探究1 距离问题
师:请看下面的例题.
【典型例题】
利用余弦定理、正弦定理解决距离问题
例1 如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B间的距离.

师:你能把它转化成数学问题,写出已知量和要求的量吗?
【学生分组、讨论,师生互动回答问题,教师点评】
生:测量者可以在河岸边选定两点,测得,并且在两点分别测得,
师:如何求间的距离?
生:在和中,应用正弦定理,得

于是,在中,应用余弦定理可得两点间的距离



师:根据上面的问题的探究,我们总结一下测量距离问题的策略.
生:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正余弦定理求解.
师:在上述测量方案下,还有其他计算两点间距离的方法吗?
生:先求的长度,进而在三角形中,求的距离.
师:可见,在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些过程较繁复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算方式.下面我们来看一个重要的概念.
【发现创新能力】
数学源于生活,生活依靠数学,而数学建模问题贴近生活,充满趣味性,使学生更深切地感受到数学与实际的联系,感受到数学问题的广泛,使学生对于学习数学的重要性理解得更为深刻,并从中体会数学建模的思想
【以学论教】
探究前介绍与研究问题相关的基线概念,让学生借助这些概念更好地分析问题,努力去创造一个环境去诱导学生的学习欲望,培养他们的自学能力,增强他们的数学素养和创新能力
【要点知识】
基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.
师:如例1中的,为使测量具有较高精准度,应根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.选择基线的原则是:基线越长,测量的精确度越高.
【概括理解能力】
在测量距离的问题的解决的前提下,引出基线的概念,通过探究培养学生数学素养和创新能力,强调的是获取新知识的方法和能力,重在解决问题的过程
探究2 底部不可到达的建筑物的高度
师:我们利用余弦定理和正弦定理解决应用实际问题中,会遇到一些常用角.我们看下面几个重要的概念.
【教师引导学生回忆常用角的概念,并进行多媒体展示】
【要点知识】
常用角的概念
1.仰角和俯角
如图,与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.

2.方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角,如图(1),南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转.

3.方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如图(2),B点的方位角为.
4.坡角
坡面与水平面的夹角.
5.坡度
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比.

师:下面研究一个测量高度的问题.
【情境学习】
引导学生记忆相关概念,并运用这些概念分析问题,通过问题情境,提高学生对概念的理解能力
【典型例题】
测量高度
例2 如图,是底部不可到达的一座建筑物,为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度的方法,并求出建筑物的高.

师:由锐角三角函数知识可知,只要获得一点(点到地面的距离可求)到建筑物的顶部的距离,并测出由点观察的仰角,就可以计算出建筑物的高度.为此,应再选取一点,构造另一个含有的,并进行相关的长度和角度的测量,然后通过解三角形的方法计算出.
【深度学习】
通过例题让学生进步理解用正弦定理、余弦定理求高度,引导学生将实际问题抽象概括出示意图,并建立数学模型,再经过数学模型来解答实际问题,提高学生的分析问题、解决问题的能力
【分析计算能力】
根据题中条件概括出几何图形,利用正弦定理解决几何问题的方法解决问题,将新旧知识融会贯通,让学生理解知识的关联性,提高分析计算的能力
【学生分组讨论,教师点拨】
生:我们研究得出:如图,求长的关键是先求,在中,如能求出点到建筑物顶部的距离,再测出由点观察的仰角,就可以计算出的长.
生解:选择一条水平基线,使三点在同一条直线上.在两点用测角仪器测得的们角分别是,测角仪器的高是,那么,在中,根据正弦定理可得

所以,这座建筑物的高度为

师:在实际操作时,使三点共线不是一件容易的事情.你有什么替代方案吗?
生:如图,选择一条基线不共线),在两点测得的仰角分别为,测出的长及.
设,则.
在中,利用余弦定理可列出关于的方程,解方程求出后再加上即可.
师:根据上面的问题的探究,我们总结一下测量高度问题的策略如下.
“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面.将空间问题转化为平面问题,利用“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思想.

【概括理解能力】
讨论问题时把重点放在解决测量高度问题的可行性上,可以让学生整理思路,抓住本质,提高具体实际问题的认知程度,体现正、余弦定理的应用广泛性
探究3 测量角度问题
师:下面研究一个测量角度的问题.
【典型例题】
测量角度
例3 位于某海域处的甲船获悉,在其正东方向相距20 n mile的处有一艘渔船遇险后拋锚等待营救.甲船立即前往营救,同时把消息告知位于甲船南偏西,且与甲船相距7 n mile的处的乙船,那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到)?需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）?
师:首先我们审题,找出题中关键信息.
生:“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”.
师:根据这些关键信息画出示意图.
生:
师:利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型.
【学生分组讨论,独立做题,教师点评】
生解:如图,由余弦定理,
得.
于是(nmile).
【深度学习】
例3重在学生培养“翻译”能力,学会分析关系、领悟实质.弄清问题所述的事件和研究对象;抓住题目中的关键字句,正确把握其含义
【简单问题解决能力】
根据题意,弄清题中各有关量的数量关系;抓住问题中的主要问题,正确识别其类型.培养学生将实际问题抽象为数学问题,从实际问题关系中找出最关键的数量关系,将此关系用有关的量及数字、符号表示出来,体会建模的过程,提升简单问题解决能力
由正弦定理,得,于是.由于,所以.
因此,乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东,大约需要航行24 n mile.
师:将三角形的解还原为实际问题时,要注意实际问题中的单位、近似值要求,同时还要注意所求的结果是否符合实际情况.
师:根据上面的问题的探究,我们总结一下测量角度问题的策略.
生:测量角度问题主要指在海上或空中测量角度的问题,如确定目标的方位、观察某一建筑物的视角等,解决它们的关键是根据题意和图形的有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需求哪些量,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求量.
师:通过上面的三个问题的探究,我们一起总结下解三角形应用题的基本步骤.
【学生分组讨论,教师点拨,师生共同总结】
【分析计算能力】
利用正弦定理和余弦定理综合解决实际问题,计算的准确度尤为重要,教师适当点拨,提升计算的技巧和方法
【归纳总结】
解三角形应用题的基本市步骤
1.分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形).
2.建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型.
3.求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解.
4.检验;检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.
师:下面我们根据所学巩固练习.
【概括理解能力】
根据探究,师生共同总结出解三角形应用题的基本步骤,通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理的核心素养
【巩固练习】
测量高度
如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.现测得,并在点测得塔顶的仰角为,求塔高.

师:先根据三角形内角和为得.再根据正弦定理求得,进而在Rt中,根据求得.
本题主要考査了解三角形的实际应用.正弦定理是解三角形问题的常用方法,应熟练记忆.
【教师分析解题思路,学生独立做题,教师做个别指导】
生解:在中,.
由正弦定理,得,
所以.
在Rt中,
.
师:接下来我们继续巩固练习吧.
【以学定教】
通过以上探究,让学生继续探究解决测量高度的问题,同样弄清问题所述的事件和研究对象;抓住题目中的关键字句,正确把握其含义;根据题意,弄清题中各有关量的数量关系;抓住问题中的主要问题,正确识别其类型.培养学生将实际问题抽象为数学问题的应用能力
【分析计算能力】
通过练习巩固本节所学知识,锻炼学生分析计算的能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识
【巩固练习】
测量角度
如图所示,在海岸处发现北偏东方向,距处()海里的处有一艘走私船,在处北偏西方向,距处2海里的处的我方缉私船,奉命以海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,从处向北偏东方向逃窜.问:缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.

师:根据题中条件可以判断这是关于余弦定理和正弦定理的综合应用题.
【学生分组讨论,教师点拨,师生共同解题,教师板书】
师解:设缉私船应沿方向行驶小时,才能最快截获(在点)走私船,则海里,海里.
在中,由余弦定理,得
,
海里.
又,
.
点在点的正东方向上,
.
在中,由正弦定理,得,
.
缉私船应沿北偏东的方向行驶.
又在中,,
,即小时.
缉私船应沿北偏东的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要小时.
师:本节课同学们有哪些收获呢?
【简单问题解决能力】
引导学生寻求解决测量角度问题时,根据两个定理找到多种解决问题的方案,但有些过程较繁复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算方式,并强化学生的数学建模意识
【设计意图】
本节课主要学习正弦、余弦定理在实际应用中的举例,在讲解正、余弦定理的实际应用问题时,体现数学对生活的影响无处不在.数学方法是解决实际问题的一大途径.实际问题推动数学发展,数学发展推动科学技术发展.最后总结又对知识进行归纳比较,发现特征,便于学生识记,提高了学生的思维层次
【课堂小结】
余弦定理、正弦定理应用举例
1.利用余弦定理、正弦定理解决距离问题
2.利用余弦定理、正弦定理解决底部不可到达的建筑物的高度
3.利用余弦定理、正弦定理解决角度问题
4.利用余弦定理、正弦定理解决三角形应用题的基本步骤
【课后作业】教材P51练习题第1~3题
教学评价
学完本节课,我们应该理解用向量解决平面几何问题的方法,进一步加深对向量工具性的理解,以及用向量知识硏究物理问题的基本思路和方法;掌握余弦定理、正弦定理的综合应用,它们也是解决实际生活中许多测量问题的工具.在应用向量知识的同时注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.通过向量运算的学习理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强数学的应用意识.
【设计意图】
本部分知识能够使学生理解到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用,使学生建立起理解和使用向量概念的背景支持.通过辨析计算和归纳概括使问题简单化.提高学生利用数学运算、数学抽象、逻辑推理、数学建模的思想解决问题的能力,让学生体会从同类事物抽象出共同本质的研究过程.
应用所学知识,完成下面各题:
1.如图,在平行四边形中,已知,则的值是__________.

解析:本题考查平面向量在几何中的应用,首先利用向量的运算法则表示向量和,根据平面向量的数量积公式进行运算,推导出的值.
由,得
.因为,所以,即.又因为,所以.
答案:22
【分析计算能力】
通过练习巩固本节所学知识,提高向量运算的实际应用能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识和分析计算能力
2.在中,内角的对边分别为,已知,则_______.
解析:先用边表示边、边,桹据余弦定理的推论求.
由,
可得,
所以.
答案:
3.在中,,则________.
解析:先根据正弦定理求,再由三角形内角和定理求角.从而根据正弦定理表示.
由,得.
又,所以.所以.
答案:1
【简单问题解决能力】
使学生理解向量在解决物理当中相关问题的工具性特点,用向量的方法解决物理当中的关于力学、运动学等的相关问题.同时回顾了学生已有的相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律,提升简单问题解决能力
4.一艘船从南岸出发,向北岸横渡.根据测量,这一天水流速度为3 km/h,方向正东,风的方向为北偏西,受风力影响,静水中船的漂行速度为3 km/h,若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 km/h的速度横渡,求船本身的速度大小及方向.
解析:本题考查向量在物理中的应用,根据题中条件画出数学几何图形,先确定的方向和大小,根据向量的运算法则数形结合求的方向和大小.
解:如图,设水的速度为,风的速度为,

易求得的方向是北偏东,的大小是3km/h.设船的实际航行速度为,方向由南向北,大小为 km/h船本身的速度为,则,即,由数形结合知,的方向是北偏西,大小是 km/h.
【分析计算能力】
利用正弦定理、余弦定理解三角形,加深公式记忆,让学生进一步巩固定理的运用能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理的核心素养
5.已知是底部不可到达的建筑物,是建筑物的最高点,为测量建筑物的高度,先把高度为1.5米的测角仪放置在位置,测得的仰角为,再把测角仪放置在位置,测得的仰角为,已知米,在同一水平线上,求建筑物的高度.

解析:首先根据正弦定理求,然后根据两角和的正弦公式求的值,从而求出的长度,确定建筑物的高度.
解:中,由正弦定理得,

在Rt中,,
,
所以
即建筑物的高度为米.
【意义学习】
通过题5的练习使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提升学生简单问题解决能力和数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养
【综合问题解决能力】
解综合题使学生成为学习的主体,由被动的接受变成主动的获取,提升综合问题解决能力
【以学定教】
向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,本节内容要注重数形结合思想,提升学生直观想象、数学建模的核心素养
教学反思
本节的教学中学生存在的问题是在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题,构造模型的能力有待提高.另外学生计算能力不够熟练,对知识运用不能得心应手,需要教师适当点拨.对于难度较大问题的探究过程,可以把一个大问题分解成几个小问题来引导,学生探究起来会更容易一些,并且从中都是以学生为主开展的,体现了以学生为主体,教师为主导的教学理念.在教学中,适时地对学生学习过程给予评价,适当地评价可以培养学生的自信心,合作交流的意识,更进一步地激发了学生的学习兴趣,让他们体验成功的喜悦.
【以学论教】
本节主要介绍平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例以及能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.通过这些实例使学生了解向量的物理背景、几何背景,引导学生理解向量作为描述现实问题的数学模型的作用.同时还要通过解决一些实际问题或几何问题,使学生学会用向量这个数学模型处理问题的基本方法