初中第2章 对称图形——圆2.4 圆周角评优课课件ppt

这是一份初中第2章 对称图形——圆2.4 圆周角评优课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了4圆周角，圆周角，操作与思考，思考与探索，拓展与延伸，外接圆，对角互补，习题24等内容，欢迎下载使用。

观察与思考(教材第 53 页)
图2－22中的∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C有什么共同特征?∠BA1C，∠BA2C，∠BA3C 的顶点都在⊙O上,并且角的两边都和⊙O相交，∠BA1C，∠BA2C，∠BA3C的度数相等.
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图2－22∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C都是⊙O中弧BC所对的圆周角
1在图2－23中，OB⊥OC，画弧BC所对的圆周角∠BAC.弧BC所对的圆周角可以画多少个?你所画的圆周角为多少度?试说明理由。
弧BC所对的圆周角可以画无数个测量得∠BA1C、∠BA2C、∠BA3C都等于45°
2.在图2－24中，∠BOC=60°，画弧BC所对的圆周角∠BAC.你所画的圆周角为多少度?为什么?你还有什么发现?
于是，我们得到如下定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以我们也可以说圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半
如图2－27，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD=150°，弧BC为70°。求∠ABD、∠AED的度数。解:在⊙O中，∵∠AOD=150°
∴∠ABD=75°(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半).∵BC为70，∴∠BDC=35°(圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半)
又∵∠ABD= ∠AED＋∠BDC，∴∠AED=∠ABD－∠BDC=75°－35°=40°
1.下列各图中的角是否是圆周角?为什么?
2.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC=35°.求∠BDC、∠BOC的度数。
.解:在O0中,·/BAC=35°,°,/BOC=2/BAC=2X35°-70°
3.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ACB=∠BDC=60°.BC=3，求△ABC的周长。
解:∵∠BDC=60°∴∠A=/BDC=60°.又∵∠ACB=60°∴△ABC 是等边三角形∴AB=AC=BC=3. ABC 的周长是 9.
 2.在图2－29中，圆周角∠BAC=90°若连接BC，则BC过圆心O吗?为什么?
由∠BAC=90°，可知∠BOC=180°，BC是⊙O的直径.直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径
如图2－30，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=60°,∠ADC=50°求∠CEB的度数。解:连接DB∵AB是⊙O的直径∴∠ADB－90°(直径所对的圆周角是直角)
∵∠ADC=50°，∴∠EDB=∠ADB－∠ADC=90°－50°=40°又∵∠ABD=∠ACD=60° (同弧所对的圆周角相等)，∴∠CEB=∠ABD+∠EDB=60°+40°=100°
如图2－31，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE=弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G.判断△FAG的形状，并说明理由.解:△FAG是等腰三角形.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°(直径所对的圆周角是直角)
∴∠ABE+∠AGB=90°∵AD⊥BC，∴∠ACB+∠DAC=90°又∵AE=AB.∴∠ABE=∠ACB(等孤所对的圆周角相等)
∴∠DAC =∠AGB∴△FAG是等腰三角形
在例3中，若点E与点A在直径延伸 BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变(如图2－32)，例3中的结论还成立吗?
例3 中的结论还成立∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC=90°.∴∠ ABG+∠G=90°.又∵ AD⊥BC， ∴∠ ADC=90°.∴∠ ACB+∠ CAF=90°
∵ 弧AE=弧AB，∴∠ ABG=∠ ACB∴∠G=∠CAF ∴FG=FA.∴△FAG 为等腰三角形.
1.利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径，为什么?你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗?
解:因为“90°的圆周角所对的弦是直径”,所以,由C=90°,可知 AB 是圆的直径.方法:把一个直角三角板的直角顶点放在圆周上,两直角边与圆分别有交点,连接两交点即是直径,然后改变位置再作一条直径,两直径的交点即是圆心.
2.如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE//AB，弧BD与弧BE相等吗?为什么?解:弧BD=弧BE.
连接 DE,交AB 于点 F(图略).∵CD 是⊙ O 的直径∴∠CED=90°又∵ CE//AB， ∴∠ OFD=∠CED=90°即AB⊥DE.又∵ AB 是OO的直径，∴弧BD=弧BE
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长.解:连接 CD(图略).∵AD 是⊙O 的直径∴ ∠ ACD=90°又∵ ∠ ABC= ∠ DAC， ∠ ABC= ∠ ADC∴ ∠ ADC= ∠ DAC, ∴ AC=CD.
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆，如图2－33，四边形ABCD是OO的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
1.如图2－34，在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径，∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系?
∠A=90°，∠C=90°，∠A与∠C互补由∠A+∠C=180°，可知∠ABC与∠ADC互补
2.如图2－35，若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，小明、小丽发现的结论是否仍然成立?
作直径DE，可得∠BAE=∠BCE，这样∠DAB+∠DCB=∠DAE+∠DCE=180°
于是，我们得到如下定理:圆内接四边形的对角互补.
如图2－36，在O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°。若点E在弧AD上，求∠E的度数。
解:连接BD。∵四边形ABCD是OO的内接四边形∴∠BAD十∠C=180(圆内接四边形的对角互补)
又∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形∴∠ABD+∠E=180°(圆内接四边形的对角互补)∴∠E=180°－∠ABD=180°－55°=125°
1.圆的内接平行四边形是矩形吗?为什么?解:圆的内接平行四边形是矩形∵平行四边形的对角相等,又圆内接四边形的对角互补，∴每一个内角都是 90°.∴圆的内接平行四边形是矩形
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角，若∠D=100，求∠CBE的度数
解:∵四边形ABCD 是⊙O的内接四边形∴∠D+∠ABC=180°.
∵∠ABC+∠CBE=180°.∴∠D=ZCBE.∴∠D=100°∠CBE=100°
3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=130°求∠BOD的度数。解:四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形∴ ∠ A+ ∠ C=180°∵∠ C=130° ∠ A=50°∴∠BOD=2∠A=100°
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，图中有几对相等的圆周角?是哪几对?
解:图中有 4 对相等的圆周角,分别是∠BAC= ∠ BDC， ∠ CBD=∠ CAD, ∠ ABD= ∠ ACD， ∠ ACB= ∠ ADB.
2.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且弧AE为40°.求∠B+∠D的度数.
解:∵∠B=弧CDE度数的一半, ∠D =弧ABC度数的一半,弧CDE的度数+弧ABC的度数 =360°－弧AE的度数=360°－40°=320°
3.如图，点A、B、C在⊙O上，D是弧AB的中点，CD交OB 于点E，若∠AOB=100°∠OBC=55°。求∠OEC的度数。
*4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，P是CD上一点(不与点C、D重合)。∠APC与∠APD相等吗?为什么?
解:∠APC= ∠ APD.∵AB 是⊙ O 的直径,CD⊥AB,。∴弧AC=弧AD∴ ∠ APC= ∠ APD.
5.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB=30°。求∠ABD的度数。
解:∵∠ DCB=30°∴ ∠ DAB= ∠ DCB=30°又∵AB 是⊙O 的直径∴ ∠ ADB=90°
∴∠ABD=180° － ∠ADB － ∠DAB=180° － 90°－30°=60°
7.如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD=AC，DB的延长线交⊙O于点E。CD与CE 相等吗?为什么?解:CD与CE 相等如图所示,连接 BC
8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是△ABC的一个外角，∠BAC、∠BAD的平分线分别交⊙O于点E、F，若连接EF，则EF与BC有怎样的位置关系?为什么?
∵AB 是OO 的直径,∴BC⊥AD.又∵ AC=CD, ∴ BC 垂直平分AD.∴ BA=BD, ∴ ∠BAD= ∠ BDA.又∵ ∠ BAD= ∠ BEC ∴ ∠ BDA= ∠ BEC， ∴ CD=CE.
9.在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3:4:6.求四边形ABCD各内角的度数。解:设∠ A, ∠ B, ∠ C 的度数分别为 3x,4x ,6x.由圆内接四边形的性质知,3x+6x=180°，解得 x=20°∴ ∠ A=3x=60°, ∠ B=4x-80° ∠ C=6x=120°∴ ∠ D=180°-80°=100°
10.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BAD=60°∠ACB=70°.求∠BCD和∠ABD的度数。
解:在⊙ O的内接四边形ABCD 中∵∠BAD=60°∴∠BCD=180°－/BAD=180° － 60°=120°.∵ ∠ ACB=70°∴ ∠ ACD= ∠ BCD － ∠ ACB=120° － 70°=50°∴ ∠ ABD= ∠ ACD=50°
11如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°弧AD=弧CD。求四边形ABCD各内角的度数。
∵AB 是半圆的直径∴∠ACB=90°∵ ∠ BAC=20°∴ ∠ B=90° － ∠ BAC=90° － 20°=70°∵四边形 ABCD 内接于半圆∴ ∠ D=180° － ∠ B=180° － 70°=110
12.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE与∠DAC相等吗?为什么?
解:∠DAE 与∠ DAC 相等∵四边形ABCD 内接于⊙O∴ ∠ DCB+ ∠ DAB=180°又∵ ∠ DAB+ ∠ DAE=180°∴ ∠ DCB= ∠ DAE