中考数学解题技巧（10）反比例中的数形结合

这是一份中考数学解题技巧（10）反比例中的数形结合，共21页。试卷主要包含了的图象相交于A，如图，矩形的顶点A等内容，欢迎下载使用。
中考数学解题技巧（十）、反比例中的数形结合
(马铁汉)
反比例函数图像既是轴对称，又是中心对称，解答此类考题时，要充分运用数形结合思想。
反比例函数综合题，是以反比例函数为主题背景，加入一次函数、三角函数和三角形、四边形等几何知识，是函数与几何的综合考查。考查内容主要有以下几种：
① 求 的值
② 求点的坐标
③ 求几何图形的面积
④ 较复杂问题的学习探究
⑤ 多选题
解答反比例函数综合题，要注意反比例函数的几何意义的应用。很多问题涉及到面积的计算，计算面积时，常常划归到面积等于的三角形或直角梯形。有下面几种划归模型，经常用到。




通过面积等计算解决不了问题时，可以考虑用方程（或用函数）来解答。所用的相等关系，主要是一次函数、反比例函数的性质、已知条件或是由几何图形性质得出的一些相关结论。

一、 求k值
求反比例函数解析式（或求反比例函数的比例系数k的值），有两种途径：
①求双曲线上一点的坐标，代入解析式，求出k的值；（代数法）
②求与k相关的三角形或四边形的面积，得到k值。（几何法）
例1、（2017随州.20.）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的图象于点B，AB=．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数
图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、
Q各位于哪个象限？并简要说明理由．
解：（1）,
（2） 在二、四象限内，都是随增大而增大。
且在第二象限内，；在第四。
∵ x1＜x2时，y1＞y2，
∴P在第二象限，Q在第四象限。
例2、 （2021黄冈.20．）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于
A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）
是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴
交反比例函数y＝的图象于点M，连接CN，OM．
若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．
分析：
（1）先根据点的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析，从而可得点的坐标；再根据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再根据建立不等式，解不等式即可得．
解：
（1）将点代入得：，
则反比例函数的解析式为；
当时，，解得，即，
将点代入得：，解得，
则一次函数的解析式为；
（2）对于一次函数，
当时，，即，
，
轴，且，
，，
，
，
，
解得．
例3、（2022黄冈.20.）如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于，两点，与 轴交于点 将直线沿 轴向上平移 个单位长度得到直线，与 轴交于点．
（1）求与的解析式；
（2）观察图象，直接写出时的取值范围；
（3）连接，，若的面积为，则的值为______．
分析：
（1） 将点A代入中，求反比例函数的解析式；通过解析式求出B点坐标，然后将点A、B代入，即可求出一次函数的解析式；
（2） 通过观察图象即可求解；
（3） 由题意先求出直线DE的解析式为，过点F作GF⊥AB交于点G，连接AF，由∠OCA=45°，求出，再求出，由平行线的性质可知，则，即可求t．这里没有用ΔACD的面积为6列方程，而是转化到ΔACF的面积为6列方程，使问题得到解决，提供了方便。
解：
（1）将点A代入中，
，
∴
∵点B在双曲线上 ，
∴当时，
，
将点A、B代入，
，
解得
，
；
（2）一次函数与反比例函数交点为
，，

时，；
（3）在中，令，则，
，
直线AB沿y 轴向上平移t个单位长度，
直线DE的解析式为，
∴F点坐标为，
过点F作GF⊥AB交于点G，连接AF，
直线AB与x轴交点为，与y轴交点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
说明：
本题考查一次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．
例4、（2022恩施.21.）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，为等腰直角三角形的边上一点且反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若所在直线解析式为，
当时，求的取值范围．
分析：
（1） 根据等腰直角三角形的性质得出AC=BC=6，
由得到CD=2，即可求得D(6，4)，代入即可求得k的值；
（2）利用待定系数法求得的解析式，然后解析式联立，解方程组求得交点坐标，根据图形即可求得．
解：，，，
是为直角的等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形的边上一点，且．
，，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
，，
把、的坐标代入得，
解得，
，
解得或，
两函数的交点为F，E
当时，的取值范围是或． 
说明：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
例5、（2022随州.14.）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交A于点A，B，与反比例函数的图象在第一象限交于点C，若，则k的值为 2 ．

例6、（2019随州）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在轴、轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，
若△ODE的面积为3，则的值为 4 .
解：设D，则E
由△ODE的面积为3，得

∴
说明：这里把△ODE的面积为3，转化为梯形DECF的面积为3，列方程。
例7、（2018随州）如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C，
若tan∠AOC=，则k的值为　 　．
解：由 tan∠AOC= 设，代入y=x﹣2
得 ，∴ ， ∴ k=3
例8、（2020鄂州）如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，
点B在双曲线上移动，则k的值为______-9_____．
解：如图，ΔAOC∽ΔOBD
∴
∴ ∴k=-9
（本题是运用相似，划归到三角形）
例9、（2020荆门）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，则k的值为______．
解：,∴GC=
∴, ∴k=


例10、（2020十堰）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则（ ）
A. B. 3 C. D.
解：∵
∴∠CDA=60°
∴∠CDO=30°
∴
例11、（2019宁波）如图，过原点的直线与反比例函数 （k˃0）的图像交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴的正半轴上，连接AC交反比例函数的图像于点D。AE为BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE.若AC=3DC,ADE的面积为8，则= 6
分析：
Rt△ABE中，AO=OE=OB, ∴∠OAE=∠AEO,
又∠OAE=∠DAE,
∴∠AEO=∠DAE,∴AD∥OE.
∴
∵AC=3DC
∴AD=2DC
∴
∵
∴
∴
∴
说明：本题运用等高三角形面积的比，等于底边的比，还运用相似三角形面积的比，等于相似比的平方；且将三角形的面积转化到梯形的面积，综合性很强。
例12、（2022十堰.10.） 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（ ）

A. 36 B. 18 C. 12 D. 9
分析：设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3，），C（3-t，+t），由点C在反比例函数y=的图象上，推出t=3-，进而求出点B的坐标（3，6-），再点C在反比例函数y=的图象上，整理后，即可得出结论．
解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．
∴点D的坐标为（3，），
∴点C的坐标为（3-t，+t）．
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴（3-t）（+t）=k2，化简得：t=3-，
∴点B的纵坐标为+2t=+2（3-）=6-，
∴点B的坐标为（3，6-），
∴3×（6-）=，整理，得：+=18．
故选：B．
说明：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出，之间的关系．
另解一：
∵TC=DN, ∴SC=DV
又CK=KD, ∴SK=KV=3
∵BK=KD ∴
∴

另解二：
∵TC=DN,∴SC=MN
∴RQ=QP，即点Q在第一象限的角平分线上，
由于反比例函数图像、正方形都是轴对称图形，
∴图中小方块均为小正方形。边长为。
∴
说明：这里充分运用反比例函数系数的几何意义，及反比例函数图像、正方形的轴对称性。
二、 求点的坐标
求点的坐标的方法：
①代数法——解方程组求交点的坐标。
②几何法——用几何知识求点的坐标。
例13、（2020随州）如图，直线y=x+4与双曲线（k≠0）相交于A（﹣1，a）、B两点，在y轴上找一点P，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为　　　　　　．
分析：作点A关于y轴的对称点，连接B，交轴于点P。先求出直线B的解析式，然后求其与y轴的交点坐标。
解：A(-1,3),双曲线
由得，
点A关于轴对称点，连接交轴于点P
： ，∴
例14、（2022仙桃.20.）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求k1，k2的值；
（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和
y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，
是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，
请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：
（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AGO≌△OHB（AAS），可解答；
（2）根据△COD≌△AOB和反比例函数的对称性可得：B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，可得结论．
解：
（1）如图1，过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，
∵A（1，4），
∴k1＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4，
∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠AOG＝∠OBH，
∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4，
∴B（4，﹣1），
∴k2＝4×（﹣1）＝﹣4；
（2）如图2，∵△COD≌△AOB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，﹣4）．
说明：本题考查了全等三角形的判定与性质，反比例函数的对称的性质，熟练掌握反比例函数是轴对称图形是解本题的关键．
例15、（2020武汉）已知点A（a，m）在双曲线上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a=﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，
①若t=1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线经过点C，求t的值．
（2） 如图2，将图1中的双曲线（x＞0）
沿y轴折叠得到双曲线（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．
解：（1）
①C（1,3）
②设，
则，
∴
（2）
①点D与点A关于x轴对称时，

②点D与点D’关于第二象限角平分线对称时，
，
，
∴
例16、（2021十堰.10.）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），过A作AB⊥y轴于点B，连OA，直线CD⊥OA，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（　　）
A. B． C． D．
分析：（两头凑，找思路）
点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图像上
CD垂直平分BB′ DC过BB′的中点
DC⊥BB′ BB′∥OA（要作）
DC⊥OA（已知）
点 B′在双曲线上，
画图：作BB′∥OA交双曲线于点B′，取BB′的中点E，过点E作OA的垂线，交y轴于点D，则DC垂直平分BB′，点D即为所求。
先求点B′的坐标，再求BE长度，最后求点D的坐标。
解：连接OB′,分别过A、B′作x轴的垂线，垂直分别为M、N.
∵BB′∥OA
∴
由双曲线图像性质，得
设B′()
AM=1，NB′=，MN=2-
∴
解之得，
∴ B′（，）
（说明：也可先求直线OA的解析式，再上平移1个单位，得到BB′的解析式，跟反比例函数解析式联立起来求交点B′的坐标。）（代数法）
点E是BB′的中点，易求E的横坐标是，即HE=
∵∠HEB=∠EBA=∠BAO
∴
∴HB=
同理，HD=2HE=
∴OD=++1=
（说明：可以通过点E的坐标，和CD与BB′垂直的关系，求出直线CD的解析式，再求与y轴交点的坐标，即点D的坐标。）（代数法）
故选A.
（误区：CD垂直平分OA.）
三、求面积
几点说明：
①根据几何图形特征求面积。
②熟练掌握前面归纳的几种常见图形面积的求法。
③常常划归到有边与坐标轴平行的几何图形，求面积。
④经常用到平行线的性质，对面积进行转化。
例17、（2021随州.20.）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C(1,2),D(2,n).
(1)分别求出两个函数的解析式；
(第 20 题 )
（2）连接OD，求ΔBOD的面积。
解： (1)由 y2 = 过点 C (1,2)和 D (2 ，n )
可得：，
易求 y2 =
y1 = -x + 3 .
(2) 由 y1 = -x + 3过点 B，可知 B (0 ，3)，故 OB=3，
而点 D 到y 轴的距离为 2，
所以△BOD 的面积S =3.
例18、（2021黄石17.）如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 　6 　．
解法一：（先求ΔAOB的面积）
由AB＝2BC，得GB=2BE，且ΔAOB的面积等于ΔBOC面积的2倍。
设B，则A

∴
∴△AOC的面积=6
解法二：（先求ΔBOC的面积）

由AB＝2BC，得GB=2BE。
设B，则A
由点B、A的横坐标，得EF=2FO
又EF=GA=2CE
∴EF=2CE=2FO
∴EO=3CE
∴
∴
∴
∴△AOC的面积=6
解法三，再分析：（两头凑，找思路）
∵AB＝2BC，那么△AOB的面积是△BOC的2倍，
先求△AOB的面积时，
转化到求梯形ABEF的面积。
由于AB＝2BC，得GB=2BE，
∴矩形GPHB的面积等于矩形BHOE面积的2倍，等于6，
那么矩形GAFE的面积也等于6。
∵GB=2BE，∴矩形GAQB的面积等于4，
∴△GAB的面积等于2，梯形ABEF的面积等于6-2=4，
∴△AOB的面积是4，△BOC的面积等于2，
故△AOC的面积等于6.
（说明：解答本题这里充分运用了数形结合的思想。）
例19、（2019荆州）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y＝k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y＝的一支交其中两个正方形的边于C，D两点，
连接OC，OD，CD，则S△OCD＝　 　．
解：设A（4，h）
, ,
∴ ,
∴
∴ ，
∵
∴
（本题求三角形面积是划归到求直角梯形面积，求点A的坐标是关键。）
例20、 （2020孝感）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线
y＝和y＝（k＜0）上， ＝，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为　 　．

解：如图，△DGO∽△OHA
∴
∴ ，∴
∴ △OEF的面积：


四、学习探究
例21、（2021襄阳.21.）（本小题满分7分）
小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：下表是与的几组对应值，其中______；

…







0
1
2
…

…





3
2



…
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．
①函数值随的增大而减小：______
②函数图象关于原点对称：______
③函数图象与直线没有交点．______
解：
（1）=1；
②（描点如图所示）；
③（图象如图所示）．

（2）×；②×；⑤√．

例22、（2022荆州.22.）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图所示的图象．






























请根据图象解答：
（1） 【观察发现】
①写出函数的两条性质：______；______；
②若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？___
（填“一定”或“不一定”）
（2） 【延伸探究】
①如图2，将过，两点的直线向下平移个单位长度后，得到直线 与函数的图象交于点P，连接PA，PB求当时，直线的解析式和的面积；
②直接用含的代数式表示的面积．
分析：
（1）
①根据函数图象可得性质；
②易验证，不一定成立；
（2）
①首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，当n=3时，直线的解析式为，设直线AB与y轴交于C，利用平行线之间的距离相等，可得ΔPAB的面积=ΔAOB的面积，从而得出答案；
②设直线与y轴交于D，同理得ΔPAB的面积ΔAOB的面积，即可解决问题．
解：
（1）
①由图象知：函数有最大值为4，当>0时，随的增大而增大（答案不唯一）；
②假设，则，
，
，
，
故答案为：不一定；
（2）①设直线AB的解析式为，则
，
解之得
，
直线AB的解析式为
，
当时，直线的解析式为
，
设直线AB与轴交于C，
则ΔPAB的面积=ΔAOB的面积，
，
∴ΔPAB的面积为；
设直线与轴交于D，
，
∴ΔPAB的面积=ΔABD的面积
由题意知，CD=n，


．
∴ΔPAB的面积为
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，三角形的面积等知识，利用平行线进行等面积转化是解题的关键．
五、多选题
反比例函数、一次函数与几何的综合题，给出多个结论，选出其中正确的选项。可以是选择题，也可以是填空题。
例23、（2018安顺）如图，已知直线与、轴分别相交于P、Q两点，与的图像分别相交于A，B两点，连接OA，OB。给出下列结论：① ② ③ ④不等式的解集是或。其中正确的结论的序号是 ②③④
分析：①错误；
②A、B两点坐标代入得，判断正确；
③A、B两点坐标代入得，
，将代入得，
（这里巧妙运用方程思想，用表示一次函数解析式）
∴一次函数解析式是。
求出P、Q两点坐标，P(-1,0),Q(0,-)
计算两个三角形面积值结论正确。
④看图知正确。
∴正确的是②③④
例24、（2019长沙）如图，函数（为常数，˃0）的图像与过原点O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上是动点（点M在点A的左边），直线AM分别交轴，轴于C，D两点，连接BM分别交轴，轴于点E,F。现在以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA=;③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若MF=MB，则MD=2MA.其中正确的结论的序号是 ①③④
分析：
①如图，点A、M都在双曲线上，设A，M
代入直线CD：得方程组
{
解得，，
所以直线CD解析式为：
求得与坐标轴交点坐标C，D
∴DP==AQ,QC==PM
∴△DPM≌△AQC（这个结论带有普遍性）
易得①正确。
②若BM⊥AM且∠MBA=
则需△OMA为等边三角形，
这是不一定的，如右图。
所以②不正确。

③如右图，设M，A
由OM=OA得，
解得。∴A
由OM=AM得，
（这里体现方程思想的充分运用）
解得 所以③正确。
（这时△ABM是直角三角形，△CME是等腰直角三角形）
④如右图，作MG⊥轴交OA于点G.由MF=MB
得 ∴
又 ∴
（这里充分运用了平行线比例线段）
所以④正确。
∴正确的是①③④