中考数学解题技巧（5）二大类八模型

这是一份中考数学解题技巧（5）二大类八模型，共15页。试卷主要包含了考查函数最值类，考查自变量范围类等内容，欢迎下载使用。

中考数学解题技巧（五）、两大类八模型
———二次函数综合应用题
(马铁汉)
函数的表示方法有表格法、解析式法和图像法三种方法。因此，二次函数综合应用题，题干图文并茂，内容丰富多彩，有时还有表格插入；由于题目较长，文字较多，数量复杂，光审题就是件困难的事。
审题一定要仔细。读题时，篇幅较大的背景文字了解即可，重点阅读有用的数量信息；为了弄清楚重要信息，可把各个量用不同记号标注出来，加深印象，以免搞糊涂。哪些是常量，哪些是变量；哪个是自变量，哪个是自变量的函数；有时还有参数渗入，它是什么含义，都要搞准确。
二次函数综合应用题，涉及的知识面较广（一次函数、二次函数，不等式，一元一次方程、一元二次方程、分式方程等）。解答此题，需要具备数形结合思想、方程思想、函数思想，建模思想等数学思想；需要扎实的基础知识和熟练的基本技能，然后做到稳扎稳打，层层分析，逐步解决。
二次函数综合应用题，考查方式有两大类八个模型。
1、考查函数最值类：
求实际问题中函数最值。有下面四个模型：
①求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值；
②求区间内函数最值，即为实际问题的最值；
③求函数整数点最值，即为实际问题的最值；
④分段函数，需比较各区间函数最值后，确定实际问题的最值。
2、考查自变量范围类：
求自变量取值范围或求复合函数中参数范围。有下面四种模型：
①由函数增减性，结合函数值要求，求自变量取值范围；
②复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，求参数；
③复合函数，由函数增减性，结合对称轴位置，确定区间最值，求参数；
④复合函数，由二次函数顶点坐标，求参数。
模型一、求二次函数顶点纵坐标，即为实际问题的最值
例1、（2022武汉.22.）（本小题满分10分）
在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处.

小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表.
运动时间
0
1
2
3
4
运动速度
10
9.5
9
8.5
8
运动距离
0
9.75
19
27.75
36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系.
（1） 直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式
（不要求写出自变量的取值范围）
（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由.
解：
（1），.
（2）解：依题意，得.
∴.
解得，，.
当时，；当时，（舍）.
答：黑球减速后运动时的速度为.
（3）解：设黑白两球的距离为.

.
∵，抛物线开口向上，
∴当时，的值最小为6. （在取值范围内，顶点纵坐标即为实际问题的最值）
∴黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球.
另解1：当时，，判定方程无解.
另解2：当黑球的速度减小到时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球。先确定黑球速度为时，其运动时间为，再判断黑白两球的运动距离之差小于.

例2、 （2019鄂州.22.）
“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
解：
（1）


（2）


∵-5<0，抛物线开口向下，
∴时， （在取值范围内，顶点纵坐标即为实际问题的最值）
∴单价为70元，即降价10元时，每月获得利润最大，最大利润为4500元。
（3）

当时，
，
∵ -5<0,抛物线开口向下，对称轴是x=70,
∴当 66≤≤74时，
∴让消费者得到最大的实惠，单价应定为66元。
模型二、求区间内最值，即为实际问题的最值.
例3、 （2022荆州.23.）
某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）经测算，该产品网上每年的销售量y万件与售价x元/件)之间满足函数关系式y=24-x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w万元与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降2元/件．
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
解：
(1) 根据题意得：；
(2)
①∵该产品第一年利润为4万元，
∴，
解得：=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，
∴
解得，
设第二年利润是W’万元，

∵-1<0，抛物线开口向下，对称轴为直线=16，又
∴=11时，W’有最小值，最小值为(11-6)×（24-11）-4=61（万元)，
答：第二年的利润至少为61万元．
（在区间范围内，求函数的最值，即为实际问题的最值）

例4、（2021武汉.22.）（本小题满分10分）
在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100 kg．生产该产品每盒需要A原料2 kg和B原料4 kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费十其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
解：
（1）设B原料单价m元，则A单价1.5m元。

解之得m=3, 1.5m=4.5
∴ 每盒产品的成本:2×4.5+4×3+9=30(元).
（2）W关于x的函数关系式为


（3）把一般式化为顶点式

-10<0，抛物线开口向下；
对称轴是x=70，参数a>60.
根据对称轴x=70，把a的值分类:a≥70和60 ①当a≥70时，每天的最大利润为16000元；
②当60˂a˂70时，每天的最大利润为（）元.
（在区间范围内，求函数的最值，即为实际问题的最值）

模型三、先求各区间内最值，比较后确定实际问题的最值
例5、（2020荆门.22.）
2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为
，
销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？
（销售额=销售量×销售价格）
解：
（1）{
（2）①0<≤20时


当时， （在0 ②20<≤30时，



∴抛物线开口向下。
∵对称轴x=35,在20 ∴当时， （在20 ∵ 500˃480 （比较区间最值后，确定实际问题的最值）
∴ 第15天，农产品的销售额最大，最大销售额是500元。

模型四、求函数整数点最值，即为实际问题的最值.
例6、 （2019荆门.22.）
为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足
m＝（x为正整数），
销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．
（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；
（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；
（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）
（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．
解：
（1）
{
（2）销售价格与销售量关于时间的函数的分段区间不同，那么销售利润关于时间函数分为3段.
①1≤≤10


∵6>0，抛物线开口向上；
对称轴是x=-5，在1≤≤10内，y随x增大而增大，
∴当时，
②10<≤15


对称轴x=
∵-4.2<0，抛物线开口向下，∴顶点纵坐标是函数最大值。
∵自变量时间是整数，
∴离顶点最近的整数点纵坐标，是实际的最大值。
∴ 当时，
（说明：-4.2<0，就二次函数而言，当时,函数有最大值。但是整数，所以最大值要取自变量最靠近对称轴的函数值）
③15<≤30


∵对称轴x= ,离对称轴最近的整数点，即得实际的最值；
∴ 当时，
（说明：1.4˃0，对称轴是，在15<≤30范围内，y随x增大而减小，所以x取区间内最小值时，函数值最大。）
比较三个最大值后，得知：第13天，日销售利润最大，最大利润为1313.2.
例7、（2022随州.22.）（本题满分10分）
2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会古祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面，某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空。
该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）。
经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量（单位：个）和需求量（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
第x天
1
2
…
6
…
11
…
15
供应量（个）
150

…

…

…

需求量（个）
220
229
…
245
…
220
…
164
（1）直接写出与x和与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；
（参考数据：前9天的总需求量为2136个
（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
解：
（1）
（或写作）
（或写作）
（2）
关于供应量，
前9天的总供应量为：

前10天的总供应量为：

关于需求量，

∵对称轴x=6
∴第10天的需求量与第2天需求量相同，均为229个，
（或直接代入解析式求第10天需求量）
故前10天的总需求量为；（个）
依题意可得
解得，因为m为正整数，故m的值为20或21．
（3）在（2）的条件下，m的最小值为20，
∵前9天的总需求量超过总供应量，且当天的需求量不包括前一天的预约数
∴第4天的销售量即为供应量：（个）
故第4天的销售题为：（元）
∵前10天的总需求量不超过总供应量
∴第12天的销售量即需求量．（个）
故第12天的销售额为：（元）
答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．
模型五、由函数增减性、函数值，确定自变量取值范围
例8、（2019咸宁）
某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．
（1）第40天，该厂生产该产品的利润是　 　元；
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？
解：（1）（80-40）×（-2×40+120）=1600
（2）
①根据生产成本区间，分段分析：
❶ 0≤≤30时



-2<0，抛物线开口向下， 对称轴 X=25在 0≤≤30内，
∴当时，
❷30<≤50时


-80<0，w随x增大而减小，
∴ 当时，
∵2450>2320 ∴第25天，利润最大，最大利润为2450元。
②
❶ 0≤≤30时
当时
，
∵ -2<0，抛物线的对称轴
∴ 20≤≤30时，。符合要求共有11天。
❷30<≤50时，
最大值2320<2400，此范围内没有符合要求的。
故当天利润不低于2400元的共有11天。

例9、（2021随州.22.）(本题满分 10 分)
如 今 我 国 的 大 棚(如 图 1) 种 植 技 术 已 十 分 成 熟．小 明 家 的 菜 地 上 有 一 个 长 为 16 米的 蔬菜大棚 ,其横截面顶部为抛物线型 ,大棚的一端固定在离地面高 1 米的墙体 A 处 ,另一 端固定在离地面高 2 米的墙体 B 处 , 现对其横截面建立如图 2 所示的平面直角坐标系． 已知大棚上某处离地面的高度 y(米) 与其离墙体 A 的水平距离x(米) 之间的关系满足 现测得 A、B 两墙体之间的水平距离为6米．

(1) 直接写出b,c 的值 ；
(2) 求大棚的最高处到地面的距离 ；
(3) 小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜 ,需搭建高为米的竹竿支架若干 , 已知大棚内可以 搭建支架的土地平均每平方米需要 4 根竹竿 ,则共需要准备多少根竹竿?
解：
(1) b = ，c = 1
(2)

可得当x = 时， y 有最大值 ,
即大棚最高处到地面的距离为 米；
（3）
当时，
∴
∴，
又∵0 x 6 ，∴舍去。
∴ ≤≤ 6
可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为(米)，
又大棚的长为 16 米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为16× = 88 (平方米)
∴共需要88×4 = 352 (根)竹竿
模型六、由函数增减性，结合对称轴位置，求参数
例10、（2019十堰）
某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：
①当1≤x≤30时，y＝40；
当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．
②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为　　；
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
解：（1）
（2）①1≤ ≤30时，

当 时，
②31≤ ≤50时，

当时，
∴当时，当天的销售利润最大，最大利润为4410元。
（3）

若31≤ ≤35，随 的增大而增大，则要求对称轴 ≥35.
∴
∴≥3
故a 的最小值是3.

模型七、由函数增减性，结合对称轴位置，确定区间最值，求参数
例11、（2019武汉）
某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）
(1)
① 求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
② 该商品进价是___元/件；当售价是___元/件时，周销售利润最大，最大利润是___元
(2) 由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值。
解：（1）
①
②商品进价：50-1000÷100=40（元/件）；
利润：
∴ 当售价为70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元。

（2）
-2<0，抛物线开口向下，
对称轴，对称轴右移了，
∴当 时，随增大而增大，且最大值是1400.（区间最值）
也就是时，。
∴
∴

模型八、由二次函数增减性，结合顶点坐标，求参数.
例12、（2020黄冈.22.）
网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：． 经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2） 当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3） 当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
解：（1）时，，，∴时，成本降低1元。
{
（2） 时，当时，；
时，当时，。
∴销售单价为28元时，日获利最大，最大利润为46400元。
（3） 最大值为42100元，由（2）知，自变量在范围内.


由最大值为42100，得

化简得
解得 ，（舍去）
当W取最大值42100时，

在范围内，符合题意。
故时，日获利的最大值为42100元。