中考数学解题技巧（9）旋转聚一起（零散线段问题）

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中考数学解题技巧（九）、旋转聚一起（零散线段之间关系）                （马铁汉）有时遇到较难的选择题或填空题，是在特殊几何图形背景下，有零散的几条线段（一般2、3条），要我们寻找它们之间关系时，可以通过三角形的旋转把它们连在一起（或形成三角形）——这就是“旋转聚一起”，构成了新的特殊几何图形（一般是特殊的三角形）。然后通过特殊几何图形的性质解决问题。近几年，也有零散的三角形，通过旋转组合到一起的情况。    下面通过几个中考真题，作简要介绍。鉴赏题：1、（2022十堰）16. 【阅读材料】如图 ①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则． 分析：此问题背景比较特殊：AB=AD，∠B+∠D=180°。要证明三条线段EF、BE、DF之间的大小关系：EF=BE+DF。BE、DF是分散的，可通过三角形的旋转，将这两条线段组合到同一个三角形中，连在一起，成为一条线段。如右上图将△ADF绕点A顺时针旋转∠BAD的度数，得到△ABF’。这样△ABF’替换了△ADF，线段BF’替换了线段DF。△ABF’与△ABE组合成△AEF’。可以证明∆AEF≌∆AEF’,得出结论。证明：将△ADF绕点A顺时针旋转∠BAD的度数，得到△ABF’。有旋转得DF=BF’,AF=AF’∠DAF=∠BAF’∵∠DAB=2∠EAF∴∠DAF+∠BAE=∠EAF∵∠DAF=∠BAF’∴∠BAF’+∠BAE=∠EAF∴∠EAF’=∠EAF在△EAF和△EAF’中AF=AF’∠EAF’=∠EAFAE=AE∴△EAF≌△EAF’（SAS）∴EF=EF’∵EF’=BE+BF’=BE+DF∴EF=BE+DF.【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少___370______（结果取整数，参考数据：）． 分析：对照图1的背景条件知，本题已经有CB=CD，∠ABC+∠D=120°+60°=180°两个条件。连接CM、CN，若∠BCD=2∠MCN，则完全符合图1结论的背景条件，可以直接用图1得出的结论,如图3。解：如图3，延长AB、DC相交于点H.∵∠ABC=120°,∠BCD=150°,∴∠HBC=60°，∠HCB=30°∴∠H=90°∵BC=100   ∴HB=50，HC=∴HN=50+=∴HC=HN∴∠HCN=45°∴∠BCN=15°∵CD=DM=100，∠CDM=60°∴∆CDM是等边三角形。∴∠DCM=60°∴∠MCN=150°-60°-15°=75°=∠BCD.符合图①中条件∴MN=DM+BN=100+=50+在Rt∆AHD中：∵HD=100+,∠A=30°∴AH=(100+)=150+100  AD=200+100∴AN=150+100-50=150+50  AM=200+100-100=100+100∴MA+AN-MN=100+100+150+50-(50+)=200+100≈370说明：本题是类比探究题变成了填空题，要读懂阅读材料，深入理解其性质，然后将实际问题转化到基本图形问题中去，找到解决问题的途径。若有必要，可以用图4，写出完整的解题过程。鉴赏题：2、(2022仙桃)23．（10分）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE与△BDF的面积之和为S．（1）填空：当∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，①如图1，若∠B＝45°，m＝5，则n＝　   　，S＝　   　；②如图2，若∠B＝60°，m＝4，则n＝　   　，S＝　   　；（2）如图3，当∠ACB＝∠EDF＝90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；（3）如图4，当∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4时，请直接写出S的大小． 解：（1）如图1，△ACB中∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，∴∠A=45°∴CA＝CB，∵CD平分∠ACB，∴AD＝DB＝5，又∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠A＝∠B＝45°，∴△ADE，△BDF都是等腰直角三角形。∴BF＝DF＝5，AE＝DE＝5将△DEA绕点D顺时针旋转90°，与△DFC重合.△ADE与△BDF合成一个△DBC了.（旋转聚一起）∴S＝×BC×DF=×(5+5)×5＝25，故答案为：5，25；②如图2，在Rt△ADE中，AD＝4，∠A＝90°﹣∠B＝30°，∴DE＝AD＝2，AE＝DE＝6，∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB，∴DE＝DF＝2，∴BF＝2，BD＝2BF＝4，∴n＝4，这样△ADE与△BDF合成一个△BDA’了.（旋转聚一起）∴S＝×BA’×DF＝×（2+6）×2＝8.故答案为：4，8；（2）如图3中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，∴DM＝DN，又∵∠DMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，∴四边形DMCN是正方形，∴∠MDN＝∠EDF＝90°，∴∠MDE＝∠NDF，又∵∠DME＝∠DNF，DM=DN∴△DME≌△DNF（ASA），∴S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，把△DBF绕点D逆时针旋转90°,得到△DB’F’，△ADE与△DBF合成△ADB’.（旋转聚一起）∠MDB’=∠NDB,∴∠ADB’=∠ADM+∠MDB’         =∠ADM+∠NDB         =180°-∠MDN         =90°AD＝m，DB’＝DB=n，∴S＝mn；（3）如图4中，DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，∴DM＝DN，∵∠DMC＝∠DNC＝90°，∴∠MDN＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠EDF＝∠MDN＝120°，∴∠EDM＝∠FDN，又∵∠DME＝∠DNF＝90°，DM=DN∴△DME≌△DNF（ASA），∴S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，把△ADM绕点D顺时针旋转120°得到△DNT，这样△ADE与△BDF合成△BDT.（旋转聚一起）∠BDT＝60°，DT＝6，DB＝4，过点B作BH⊥DT于点H，∴BH＝BD×sin60°＝4×＝2，∴S＝S△BDT＝×6×2＝6．例1、（2021黄石18）．如图,，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．   （1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 　 　．解：如图1，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△易证△AEF≌△∴EF==DF+BE∴△CEF的周长CE+CF+EF=CE+CF+ DF+BE=2+2=4（2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 ①　③（把你认为所有正确的都填上）．解：①如图2，作AH⊥EF于H，连接MH,NH      由（1）知∠AEB=∠AEH      ∴AB=AH,BE=HE      易证MB=MH,∠MHE=∠MBE=45°;      同理ND=NH, ∠NHF=∠NDF=45°       ∴∠MHE+∠NHF=90°       ∴BM2+DN2＝MN2       （将三条线段转化到一个直角三角形中.）   故①正确.②在原图中，设BE=x，（求比值经常设过渡参数）点F是CD的中点，CD=2，∴则DF=FC=1由（1）知，EF=BE+DF=1+x,EC=2-x，由，得,tan∠AEB=     故②错误.③如图3，∠MAF=∠MDF=45°∴A,M,F,D四点共圆∴∠AMF=∠ADF=90°（辅助圆助力，使过程简洁明了）∴∠MAF=∠MFA=45°∴△AMF为等腰直角三角形。   故③正确.例2、（2019武汉16.）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE.分析：PA+PC转化到一条线上，再证相等就好了，按这个思路思考下去。证明：作∠PAF=60°，交BC于点F。则∠PAF+∠PAC=∠EAC+∠PAC∴∠EAP=∠CAF于是有△EAP≌△CAF (ASA) (根据条件和结论的联系，联想到构造全等三角形，让两条线段合到一起。)∴ PE=FC,AP=AF又∠PAF=60°  ∴AP=FP  ∴PA+PC=PE想一想：在PE上取一点F，使得∠PAF=60°，再证△EAF≌△CAP,得到EF=CP.这样证出了PE-PA=PC.这条思路行得通吗？解决问题：如图2，在△MNG中，MN=6,MG=,∠M=,点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是          。分析：将△MOG绕点M逆时针旋转60°，至△作。∵∠NMG=75°,∠GMG’=60°∴∠,∠△是等边三角形，△等腰直角三角形。∴MO=MO’=OO’,GO=O’G’（旋转60°进行线段代换）∴ NO+MO+GO =.（通过旋转将线段MO、NO、GO连在一条折线上了.当这条折线变直时，其长度最小。）连接，其长度即为最小值。HM=HG’=,  NH=6+4=10.说明：求几条线段之和最小值，一般运用轴对称、旋转等几何变换（特殊时平移线段或构造全等三角形，进行线段代换），将这几条线段转化到同一条折线上。根据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”确定其最小值。 例3、（2020十堰）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____． 解：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACD’，   则△ADD’是等边三角形。AD=DD’,CD’=BD=8在△CDD’中,  CD’-CD≤DD’≤CD’+CD∴8-6≤DD’≤8+6∴ 2≤AD≤14  ∴ AD最大值与最小值的差为：14-2=12.（等边三角形外一点与三顶点所连的三条线段，通过60°旋转，聚到一个三角形中，运用三边关系，确定可变线段最值）   例4、（2019巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP,BP,CP.若AP=6,BP=8,CP=10.则         .分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°到△BDA，连接DP.     则BP=BD=DP=8     DA=PC=10,AP=6∴∠APD=90°（由勾股定理的逆定理得知）（等边三角形内一点与三顶点所连三线段，通过60°旋转，聚到一个三角形中了.） 例5、（2019绍兴）Rt△ABC中，AB=AC, ∠BAC=，∠ADC=，AD=30,CD=60,则BD的长         。分析：△ABD绕点A逆时针旋转90°到△.则,,又∴（等腰直角三角形内一点与三顶点所连三线段，通过90°旋转，线段代换，聚到一个三角形中了.）