最新中考数学思想方法讲与练 【数形结合】几何图形中的数形结合思想

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
几何图形中的数形结合思想
知识方法精讲
1．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
2．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
3．七巧板
（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．
（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．
（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．
4．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
5．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
6．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
7．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
8．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
9．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
10. 数形结合思想数形。1二113455511呃呃属性
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
2. 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）线与方程的对应关系；（4）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 。
3. 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。
一．选择题（共17小题）
1．（2021秋•襄汾县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是
A．函数思想B．数形结合思想C．分类思想D．统计思想
【考点】勾股定理的证明；数学常识
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
2．（2021秋•金水区校级期末）如图是一种正方形地砖的花型设计图，为了求这个正方形地砖的边长，可根据图示列方程
A．B．C．D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】根据正方形的四条边的长度相等列出方程．
【解答】解：由正方形的性质知：．
故选：．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．
3．（2021秋•宣化区期末）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形．把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是
A．B．
C．D．
【考点】平方差公式的几何背景
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
4．（2021•汝阳县二模）七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪．为祝贺辛丑年的到来，用一副七巧板（如图①，拼成了“牛气冲天”的图案（如图②，则图②中
A．B．C．D．
【考点】七巧板
【分析】七巧板是由七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．由此可知七巧板中的角都是特殊的，出现的角是、、和，再求解即可．
【解答】解：七巧板中的角都是特殊的，出现的角是、、和，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查七巧板，熟练掌握七巧板图形的构成特点，知道出现的角是、、和是解题的关键．
5．（2021秋•雁塔区校级月考）如图，在中，，，点为的中点，于点，则的值等于
A．B．C．D．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；解直角三角形
【分析】连接，由中，，，为中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得，再利用勾股定理，求得的长，那么在直角中根据三角函数的定义求出，然后根据同角的余角相等得出，于是．
【解答】解：连接，
中，，，为中点，
，，
，
．
，，
，，
，
，
故选：．
【点评】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
6．（2021秋•禹州市期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2022次变换后点的对应点的坐标为
A．B．C．D．
【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化对称
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可．
【解答】解：点第一次关于轴对称后在第二象限，
点第二次关于轴对称后在第三象限，
点第三次关于轴对称后在第四象限，
点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
余2，
经过第2022次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为．
故选：．
【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
7．（2021秋•高青县期中）已知长方形的周长为，它两邻边长分别为，，且满足，则该长方形的面积为
A．B．C．D．
【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】由题意可求得和，则可求得的值，此题得以求解．
【解答】解：由题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
该长方形的面积为，
故选：．
【点评】此题考查了运用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据图形准确列式并计算．
8．（2021秋•舞钢市期中）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，能表示该几何体从左面看到的形状图是
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【分析】由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3．
【解答】解：左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3，
故选：．
【点评】本题考查几何体的三视图画法．以及几何体的表面积，由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
9．（2021秋•永春县期中）一块三角形玻璃不慎碰破，成了四片完整碎片（如图所示），假如只带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅切一块与以前一样的玻璃，你认为下列说法正确的是
A．带其中的任意两块去都可以B．带1、4或2、3去就可以
C．带1、3或3、4去就可以D．带1、4或2、4去就可以
【考点】全等三角形的应用
【分析】带2、4虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带1、4可以用“角边角”确定三角形；带3、4也可以用“角边角”确定三角形．
【解答】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，
带1、4可以用“角边角”确定三角形，
带2、4可以延长还原出原三角形，
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．
10．（2021秋•福州期中）在中，将圆心绕着圆周上一点旋转一定角度，使旋转后的圆心落在上，则的值可以是
A．B．C．D．
【考点】旋转的性质
【分析】首先依据题意画出图形，然后依据等边三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：如图所示：
由旋转的性质可知：，
，
为等边三角形．
．
故选：．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．（2021秋•谢家集区期中）如图，与△关于直线对称，为上任一点不与共线），下列结论中错误的是
A．
B．与△面积相等
C．垂直平分
D．直线，的交点不一定在上
【考点】三角形的面积；轴对称的性质；线段垂直平分线的性质
【分析】据对称轴的定义，与△关于直线对称，为上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．
【解答】解：与△关于直线对称，为上任意一点，
，
△是等腰三角形，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，、、选项正确；
直线，关于直线对称，因此交点一定在上．错误；
故选：．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
12．（2021秋•三元区期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则
A．25B．20C．9D．5
【考点】勾股定理
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．
【解答】解：如图，
根据勾股定理的几何意义，可知：
；
即；
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
13．（2021秋•邓州市期中）如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点、两点均不与端点重合），作，交边于点．若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为
A．2B．2.5C．3D．4
【考点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】先证明；利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于的一元二次方程，再判别式，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
满足条件的点有且只有一个，
方程有两个相等的实数根，
△，
．
故选：．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
14．（2021春•雁塔区期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，利用图1可以得到，那么利用图2所得到的数学等式为
A．
B．
C．
D．
【考点】单项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【分析】图2的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和．
【解答】解：图2的面积可表示为：
或
则有：
故选：．
【点评】本题考查了整式的几何意义，体现数形结合的思想，
15．（2021秋•海曙区校级期中）如图，所有矩形都是正方形，设最大正方形的边长是最小正方形边长的倍，则的值为
A．B．8C．D．9
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】如图，、、、为正方形的顶点，作，交大正方形的边于点，于是得到，而这两个相似三角形的相似比恰好是，再设最小正方形的边长为，可以列方程求出的值，得出答案．
【解答】解：如图，、、、为正方形的顶点，作，交大正方形的边于点，
，
，
，
，
设最小正方形的边长为，则，，，
，
，
解得，
故选：．
【点评】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，再根据相似三角形的性质推出相等关系．
16．（2021春•罗湖区校级期中）在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是
A．B．
C．D．
【考点】平方差公式的几何背景
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
17．（2018春•太原期末）如图，小明用长为的10个全等的小长方形拼成一个无重叠，无缝隙的大长方形，这个大长方形的面积为
A．B．C．D．
【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】结合图形分析出小长方形的宽，从而计算大长方形的面积即可．
【解答】解：设小长方形的宽为，结合图形可得，；
结合图形得大长方形的长为，宽为
大长方形的面积为
故选：．
【点评】这道题主要考查整式的乘法，难度较低，数形结合是解决此题的关键．
二．填空题（共7小题）
18．（2021秋•平昌县期末）三国时期，数学家赵爽绘制了“勾股圆方图”，又叫“赵爽弦图”，如图所示，、、和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形，如果，，那么四边形的面积等于 100 ．
【考点】勾股定理的证明；数学常识
【分析】在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，则可得出答案．
【解答】解：，
，
四边形都是正方形，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得到：，
四边形的面积．
故答案为：100．
【点评】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角三角形的两直角边的长度．
19．（2021秋•沂水县期末）有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将、并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形，的面积之和为 11 ．
【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，由图形得出关系式求解即可．
【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
由图甲得即，
由图乙得，，
所以，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．
20．（2021秋•雁塔区校级月考）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为 ．
【考点】解直角三角形
【分析】过作于，根据正切函数的定义求解可得．
【解答】解：过作于，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是构建直角三角形并掌握正切函数的定义．
21．（2021秋•朝阳区校级月考）如图，在中，，，，且，则 ．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】由条件可先求得，再根据等腰三角形的性质可求得即可．
【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线相互重合是解题的关键．
22．（2021秋•秦都区月考）已知几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．（结果保留
【考点】由三视图判断几何体
【分析】根据三视图确定该几何体是圆锥，再根据圆锥的体积公式计算圆锥的体积即可求解．
【解答】解：这个几何体的体积为，
故答案为：．
【点评】此题考查三视图，关键是根据圆锥的体积公式计算圆锥的体积．
23．（2021秋•思明区校级期中）4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．
（1）若，，则 11 ．
（2）若，求与满足关系： ．
【考点】完全平方公式的几何背景；完全平方式
【分析】（1）根据题目条件计算5部分空白面积的和即可；
（2）由题意列式并整理即可．
【解答】解：（1）由题意得，
，
当，时，
，
故答案为：11；
（2）由（1）结果，可得，
，
整理得，，
即，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了运用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据图形准确列式，并运用完全平方公式进行运算．
24．（2021秋•襄汾县月考）有若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为 8 ．
【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】设小长方形的长为，宽为，由图1可得，由图2可得，从而可求得，则可计算出每个小长方形的面积为8．
【解答】解：设小长方形的长为，宽为，由图1可得，
，
由图2可得，
，
，
从而可求得，
解得，
故答案为：8．
【点评】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能结合图形列出算式并计算．
三．解答题（共11小题）
25．（2021秋•东海县期中）如图1，在平面直角坐标系中，的半径为1，点．已知点是上一动点，点关于点的对称点为点，我们称点为点关于的反射点，请解决下列问题：
（1）在点，，，中，不是点关于的反射点的是
；（只填写对应字母）
（2）若点从逆时针运动到，试求点关于的反射点的运动路径长；
（3）若在直线上存在点关于的反射点，求的取值范围．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）当点在上运动时，点关于的反射点的运动轨迹是，且，将，，，分别画到图中，由图形可直观观察到不是点关于的反射点的是，
（2）当点从逆时针运动到，点关于的反射点从点逆时针运动到点，即运动了圆，所以运动路径长为：．
（3）根据题意可知，临界状态为：直线与相切，如下图所示：①直线与相切时，②直线与相切时，结合等腰直角三角形的性质可分别求出和的值，进而得出结论．
【解答】解：（1）如图所示：当点在上运动时，点关于的反射点的运动轨迹是，且，
将，，，分别画到图中，
由图可知，不是点关于的反射点的是，
故答案为：．
（2）当点从逆时针运动到，点关于的反射点从点逆时针运动到点，
即运动了圆，
运动路径长为：．
（3）根据题意可知，临界状态为：直线与相切，如下图所示：
①直线与相切时，
可知，
，，
，，代入解析式可得，
②直线与相切时，
可知，
，，
，，代入解析式可得，
若在直线上存在点关于的反射点，的取值范围为．
【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、轴对称变换、中心对称等知识，解题的关键是学会利用特殊点，特殊位置解决问题，学会画出图形解决问题，属于中考压轴题．
26．（2021春•萧山区期中）两个边长分别为和的正方形如图放置，其未叠合部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图，两个小正方形叠合部分（阴影）面积．
（1）用含，的代数式分别表示，；
（2）若，，求的值；
（3）当时，求出图3中阴影部分的面积．
【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】（1）根据面积公式的和差关系可得答案；
（2）利用整式的运算法则计算即可得到答案；
（3）根据面积公式的和差关系可得答案．
【解答】（1）由图可得，
．
（2）．
，，
．
（3）由图可得，
，
．
【点评】此题考查的是完全平方公式，掌握整式的运算法则是解决此题关键．
27．（2021春•临渭区期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式．
（2）用4个全等的长和宽分别为、的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这三个代数式、、之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，完成下列问题：
①当，时，则的值为 ．
②设，，计算：的结果．
【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】（1）根据图形面积直接得出即可；
（2）用两种方法表示阴影部分的面积可得结论；
（3）①根据（2）中的等量关系代入计算可得结论；
②同理根据（2）中的公式代入可得结论．
【解答】解：（1）图；
图；
图，
（2）图；
（3）①由（2）知：，
，，
，
，
，
故答案为：；
②，，
．
【点评】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形．
28．（2020秋•延边州期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，则 ．
（3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则 ．
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；完全平方式；认识立体图形
【分析】（1）依据正方形的面积；正方形的面积，可得等式；
（2）依据，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：，而，即可得到，，的值．
（4）根据原几何体的体积新几何体的体积，列式可得结论．
【解答】解：（1）由图2得：正方形的面积；正方形的面积，
，（2分）
故答案为：；
（2），
，，
，
，
故答案为：30；（4分）
（3）由题意得：，
，
，
，
故答案为：9；（6分）
（4）原几何体的体积，新几何体的体积，
．
故答案为：．（8分）
【点评】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
29．（2020春•邗江区期末）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图
（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若，，则 ；
（3）拓展应用：若，求的值．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【分析】（1）由图可知，图1的面积为，图2中白色部分的面积为，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）根据（1）中的结论，可知，将，代入计算即可得出答案；
（3）将等式两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．
【解答】解：（1）由图可知，图1的面积为，图2中白色部分的面积为，
图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
，
故答案为：；
（2）根据（1）中的结论，可知，
，，
，
，
故答案为：；
（3），
，
，
，
；
．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键．
30．（2021秋•鼓楼区校级期中）我们将进行变形，如：，等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知，，则 4 ．
（2）已知，若满足，求的值．
（3）如图，长方形，，，，，连接，，若，则图中阴影部分的面积为 ．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【分析】（1）由可计算此题结果；
（2）由可计算此题结果；
（3）设，，根据可计算图中阴影部分的面积为．
【解答】解：（1）由题意得，，
故答案为：4；
（2）由得，
；
（3）设，，根据可得，
图中阴影部分的面积为：
，
故答案为：10．
【点评】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据完全平方公式的变形解决相关问题．
31．（2021秋•光泽县期中）如图所示，已知长方形的长为米，宽为米，半圆半径为米．
（1）这个长方形的面积等于 平方米；
（2）用代数式表示阴影部分的面积；
（3）当，，时，求阴影部分的面积（结果保留．
【考点】列代数式；代数式求值
【分析】本题应根据长方形和圆的面积公式进行计算．
【解答】解：（1）因为长方形面积长宽，
故长方形的面积平方米．
（2）因为圆的面积，
故平方米．
（3）当，，时，平方米．
【点评】本题必须熟练掌握长方形和圆的面积计算公式，然后准确计算．
32．（2021秋•南安市期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：．
（1）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：，请画出图形．
（2）已知：，，求的值；
（3）已知，求的值；
（4）已知，求的值．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【分析】（1）结合算式拼图即可；
（2）由可推导出进行计算即可；
（3）由代入计算即可；
（4）设，，则，由，可推得，代入即可计算出结果为31．
【解答】解：（1）如图，可以验证：；
（2）
，
，
又，，
；
（3）设，，则，
，
，
，
，
即；
（4）设，，则，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决整式计算的能力，关键是能利用几何图形列出、推理整式并进行运算．
33．（2021秋•西城区校级期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题．
构图一，小函同学从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（1），然后拼成一个平行四边形（如图（2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为 ．
．．．．
构图二、小云同学在数学课上画了一个腰长为的等腰直角三角形，如图3，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于、的等式．
【考点】平方差公式的几何背景
【分析】（1）根据图（1）中阴影部分面积和图（2）图形面积的不同表示方法，可得；
（2）通过表示图（3）中梯形面积，可推导出等式．
【解答】解：构图一，图（1）中阴影部分面积为：，
图（2）的面积为：：，
可得等式为；，
故选；
构图二、用两种方式表示梯形的面积，
可得到，
也可表示为：，
可得等式，
即．
【点评】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列出算式并计算．
34．（2021春•高邮市期中）【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值；
（3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则 ；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式： ．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；认识立体图形
【分析】（1）依据大正方形的面积，各部分面积之和，从而可得答案；
（2）依据，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：，而，比较系数可得答案．
（4）根据原几何体的体积新几何体的体积，列式可得结论．
【解答】解：（1）最外层正方形的面积为：，
分部分来看，有三个正方形和六个长方形，
其和为：
总体看的面积和分部分求和的面积相等．
故答案为：．
（2），，
的值为45．
（3）
，，
故答案为：9．
（4）大立方体的体积等于，挖去的长方体的体积为，从而剩余部分的体积为；
重新拼成的新长方体体积为：
两者体积相等．
故答案为：．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，明确相关图形的面积或体积计算公式，数形结合，正确列式是解题的关键．
35．（2019春•雨花区校级月考）许多代数恒等式可以借助图形的面积关系直观表达，如图①，根据图中面积关系可以得到：
（1）如图②，根据图中面积关系，写出一个关于、的等式 ；
（2）利用（1）中的等式求解：，，则 ；
（3）小明用8个面积一样大的长方形（宽，长拼图拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个大的正方形，中间的阴影部分是边长为3的小正方形；图案乙是一个大的长方形，求，的值．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【分析】（1）由图②中大正方形的面积等于各个小正方形和小长方形面积之和，可得等式；
（2）由（1）中等式可得：，将，代入可得答案；
（3）由图甲和图乙各得一个关于和的二元一次方程，解方程组即可．
【解答】解：（1）由图②中大正方形的面积等于各个小正方形和小长方形面积之和，可得等式：
故答案为：．
（2）由（1）中等式可得：
，，
故答案为：9．
（3）由题意得：
整理得：
①②得；
把代入②得：
，．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、牢记相关公式并正确列方程组，是解题的关键．
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