中考数学解题技巧（6）坐标系里求坐标

这是一份中考数学解题技巧（6）坐标系里求坐标，共20页。试卷主要包含了已知抛物线和等内容，欢迎下载使用。

中考数学108攻略（六）、坐标系里求坐标
(马铁汉)

中考数学压轴题，是在平面直角坐标系中，以二次函数为背景，涉及到一次函数、三角函数、几何等知识的综合考题。一般由易到难设置3问，第一问是基础，很容易；第二问是小综合，不是很难；第三问较难或较麻烦。想考出理想的成绩，在做第24题时，前2问，同学们一定要做对。第3问能做就做，做得怎样是怎样，尽力就可以了，做不出来也很正常，时间太紧了，给你充足的时间，我相信你也做得出来。
坐标系里求坐标，是坐标几何题的常考问题。
求点的坐标时，注重运用数学思想：方程思想、函数思想、从特殊到一般思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、建模思想。熟练掌握点的坐标与线段长度相互转换。
求点坐标的方法较多，要根据题目条件，灵活选择，熟练运用。
求点坐标常用的方法有代数法、三角函数法、几何法。
（1） 代数法指的是
①根据函数定义，求点的坐标；
②列一元二次方程，求点的坐标；
③列方程组，求点的坐标；
④建立函数分析最值，求点的坐标。
（2） 三角函数法指的是
发现相等的角，用三角函数对应的比值相等列方程，求点的坐标。
（类似于相似三角形对应线段的比值相等）。
（3）几何法指的是
①找相等线段或比例线段列方程，求点的坐标；
②构造全等三角形得相等线段列方程，求点的坐标；
③构造相似三角形得比例线段列方程，求点的坐标；
④在直角三角形中用勾股定理列方程，求点的坐标。
找相等的线段、比例线段，尽量找与坐标轴平行的线段（或转化到与坐标轴平行）；
构造全等三角形或相似三角形时，尽量有边与坐标轴平行为好；这样方便表示线段长度。
求点的坐标，经常用到参数，方便运用方程思想、函数思想思考问题、解决问题。
如果遇到某些问题用勾股定理、三角函数和相似列方程都能解答，那么首选用三角函数关系得比例式列方程，其次用相似，最后用勾股定理。
下面举例介绍，求点坐标常用方法的具体运用。





例1、（2022武汉）24.（本小题满分12分）
抛物线交轴于，两点（在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点.

（1） 直接写出，两点的坐标；
分析：（解一元二次方程，求点的坐标）
第一问求抛物线与轴交点的坐标，是根据二次函数与一元二次方程的关系求点的坐标。当二次函数值为0时，求自变量的值，就得到抛物线与轴交点的横坐标。即将二次函数问题转化为一元二次方程的问题了。
解：


∴
∴A(-1，0),B(3，0)
（2） 如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
分析：（解方程组，求点的坐标）
如图1，OA=OP，∴P(0，1)。直线AC解析式可求，
为. A(-1,0),B(3,0),∴AB=4，
OA=OP,∴∠BAP=45°,点B到直线AC的距离可求，
求得是.
抛物线上到直线AC的距离等于的点是有的。
在哪里呢？怎么求呢？如图1，画草图，分析特性。
图中与点B位于直线AC同侧，且到直线AC的距离相等，直线与直线AC平行，作⊥AC垂足为则=，且点与点B到直线AC的铅锤距离等于BQ=4
（∵∠PAO=45°，∴AB=BQ=4）（为什么要求点B到直线AC的铅锤距离呢？为了好求平移后直线的方程，我们都是将直线上、下平移的）。这就知道点是直线AC向下平移4个单位后与抛物线的交点之一。而抛物线与轴交点纵坐标是-3，此点到点P的距离刚好是4，所以点就是抛物线与轴的交点。
图中点与点B位于直线AC的两侧，同理可知是直线AC向上平移4个单位后与抛物线的交点。只要求出直线的方程，与二次函数解析式联立起来解方程组，就可以求出点的横坐标了。
解：
作BQ⊥轴交直线AC于点Q.
∵OA=OP,∴∠BAQ=45°
∴BQ=AB=4
作B∥AC交抛物线于另一点.
易求AC：，
B是AC向下平移4个单位得到的。
∴B：
解方程组

得（舍去）
∴
将直线AC向上平移4个单位，与抛物线交于点
：
解方程组

得,
∴,
（3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为.求的值（用含的式子表示）.
解：
易求AC：得P(0,)
再求BP:
与联立起来求点E的横坐标为

∵

∴
∵
∴
∴

例2、（2021武汉）24．（本小题满分12分）
抛物线y＝x2－1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．

（1）□ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上．
①如图（1），若点C的坐标是(0，3)，点E的横坐标是，直接写出点A，D的坐标；
分析：
二次函数y＝x2－1，当函数值y为0时，求出自变量x的值，可得点A的坐标；
根据平行四边形的性质，对边平行且相等，构造全等三角形，可求点D的坐标。
解：
二次函数y＝x2－1，当y=0时，得到关于x一元二次方程：
x2－1=0
解得
∴A(-1,0), B（1,0）
∵ C的坐标是(0，3)，∴OC=3.
将点E的横坐标,代入y＝x2－1得点E的纵坐标是.
根据£ACDE的性质，AE∥CD，AE=CD构造右图中的全等三角形，
即△AEP≌△CDQ
∴DQ=EP=,CQ=AP=-(-1)=
∴D点的横坐标是，纵坐标是DQ+CO=+3=
∴ D
说明：构造全等三角形时，一般是构造两条直角边分别与坐标轴平行的直角三角形。这样能通过对应相等线段，快速求出点的坐标。

②如图（2），若点D在抛物线上，且□ACDE的面积是12，求点E的坐标；
分析：
还是跟第（1）问一样，构造全等三角形，按要求画出草图，如下图。跟第（1）问不同的是不知点C的坐标（不能计算求坐标），点D也在抛物线上，但知道£ACDE的面积是12，那么△ACE的面积是6，点E的坐标设参数字母，根据△ACE面积
是6，列方程，求点的坐标。
解：
设点E，则D
求OC长度：
点D的纵坐标-DQ
=点D的纵坐标-EP
=点D的纵坐标-点E的纵坐标
∴OC=
∴C.
求OH长度：
∵∠HAO=∠EAP，（根据等角正切函数值相等，列比例式，写出表示OH的代数式。）
∴,
∴OH=
H
∴CH=
∵£ACDE的面积是12，那么△ACE的面积是6，
∴ （三角形的面积=水平宽×铅锤高÷2 此公式经常用于求坐标系中斜三角形的面积）
∴
∴ （舍去）
∴ E(2,3)
说明：也可以按列方程，求点的坐标。
（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FG＋FH的值是定值．
解：
设联立抛物线解析式

，有两个相等的实数根
∴

AF:，BF:
由得，由得
由 得，由得
∴




例3、（2020武汉）抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．
（1） 直接写出抛物线L的解析式；
解：

（2） 如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
解：
y=kx﹣k+4，当时，。
∴ 直线MN过定点G（1,4），如图1。
设M、N横坐标分别为、
（设过渡字母，根据△BMN的面积等于1，列方程求k值）
y=kx﹣k+4与联立起来，得

，

∵


=
\ =1
∴
解之得 ，（舍去）
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
解：
如图2，
设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，=，
∴=，
∴t2﹣（1+m）t+2=0；
②当△PCD∽△POF时，=，
∴=，
∴t=（m+1）；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△=（1+m）2﹣8=0，
解得：m=2﹣1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1=t2=，
方程②有一个实数根t=，
∴m=2﹣1，
此时点P的坐标为（0，）和（0，）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，
解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，
方程①有一个实数根t=1，
∴m=2，
此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．

例4、（2019武汉.24）已知抛物线和。
（1） 如何将抛物线平移得到抛物线?
解：顶点（1，-4）→（0,0）
（2） 如图1，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点A，交抛物线于另一点B。请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥轴交抛物线于点Q，连接AQ.
①若AP=AQ，求点P的坐标；
②若PA=PQ,直接写出点P的坐标；
解：
将A（3,0）代入
解得b=4
∴
①AP=AQ时，PH=HQ
（相等线段转化后列的方程简单）
设P(，)，Q（，）
∴（用线段相等列方程，求点的坐标）
∴
∴
②PA=PQ时，由tan∠BAO=4:3，得

∴（用三角函数得到简单的等式，为列简单方程做准备）

，
∴
说明：这里充分运用了tan∠BAO=4:3
（3） 如图2，△MNE的顶点M,N在抛物线上，点M在点N右边，两条直线ME,NE与抛物线均有唯一公共点，ME,NE均与轴不平行.若△MNE的面积为2，设M,N两点的横坐标分别为，，求与的数量关系。
解：
ME:设，M代入得
，
∴ME:

∴
∵直线与抛物线有唯一交点，
∴△=0 即 ∴
∴ME:
同理可得，NE:

解得E
求得MN:
∴F
∴FE=
由得
得

例5、（2022随州）24．（本题满分12分）
如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，
且，P为抛物线上一动点．
（1） 直接写出抛物线的解析式；
解：A（-3,0），C（0,3），
（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
分析：
如图，四边形PABC分成两个三角形，其中△ABC面积不变；斜△PAC的的水平宽不变，等于AO，铅垂高PH是变化的，所以△PAC面积随点PH的变化而变化，当PH最大时，△PAC的面积最大，从而四边形PABC的面积最大。
建立PH长度关于点P横坐标函数关系，找最大值，求点的坐标。
解：
易求AC:
设P(，)，则H（，），
PH=-（）==
∴当时，即点P坐标为（）时PH最大。
此时四边形PABC面积的最大：
。
（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：
先画草图，画出符合要求的几种情况。点N在纵轴上，有2种；点N在横轴上有2种。
在每种情况下，构造全等或相似的直角三角形，用相等线段或比例线段的关系，求点的坐标。
解：
①如右图的特殊位置，四边形PNCM是正方形。
符合题意
易得P(-1,4),N(0,4)
②如图，△OBC∽△ONB（点P与点B重合）
∴
∴
∴P（1,0），N（0，）
③如图，P（，）
∆MRC≌∆NKP∴MR=KN=1，
∴RC=PK=
ON=OK-KN = --1
∆MRC∽∆CON∴
∴，
解之得，
,

∴P(,),N( ,0)
④如图，同③求得
P（，），
N（，0）
例6、（2021随州.24.）在平面直角坐标系中，抛物线 与轴
交于点A（-1,0）和点B,与轴交于点C，顶点D的坐标为（1，-4）.
（1） 直接写出抛物线的解析式；
解：抛物线的解析式为： y = x2 - 2x -3
（2） 如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB=∠CBD,求点P的坐标；
分析：根据要求画草图，有2中情况；建立方程组，求点的坐标。
解：
由 B(3,0) 和D(1，- 4) 可知直线 BD 的解析式为： y = 2x -6
①如图1，过点 C 作 CP1 ∥BD，交抛物线于点 P1 ，
易知直线 CP1 的解析式为y = 2x -3 ,
联立抛物线y = x2 - 2x -3
解之得，（舍去）
将代入y = x2 - 2x -3 ，得
∴P1（4,5）.
②如图1，由 OB=OC 可知四边形 OBGC 为正方形，
设 CP1 与x 轴交于点E，易得E(, 0) ，
在 BC 下方作CP1 关于BC的对称直线，交BG 于点F, 交抛物线于点,
由对称性，知△OEC≌△GFC，故 FG = OE = ，
∴F (3, - ) ，又 C(0, -3) ，可得直线 CF 的解析式为y = x - 3 ，
联立抛物线y = x2 - 2x -3
解之得：（舍去）
将代入y = x2 - 2x -3得
∴（）
（3） 如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当ΔQMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标.
解：
M1 ，- ))| , Q1 - , - ))| ；
M 2 ，))| , Q2 - , ))| ；
M3 (5，2), Q3 (-5,12) ；
M4 (2，- 1), Q4 (0, -3)；
M5 (1，- 2), Q5 (0, -3) ；
M6 (7，4), Q6 (-7,18) .
∠M=90° ∠N=90°

∠Q=90°只能显示第（1）图，第（2）图略




例7、（2019随州.24.）
如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与轴交于点A（0,6），与轴交于点B（-2,0），C（6,0）.
（1） 直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
解：

对称轴是x=2
（2） 如图2，连接AB,AC,设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交轴于点G.设线段DG的长为，求与的函数关系式，并注明的取值范围；
解：
如右图，作PH⊥OC,垂足为H。
∠PDH=∠OCA=
\PH=DH=
∵PG∥AB
∴∠ABO=∠PGH
∴
(等角余切值相等)

（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为，
①求点P的坐标；
解;

②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由.
分析：
按直角所在顶点位置，分三类4种情况，如图所示。
用等腰直角三角形的性质，求点的坐标；
把两条直线解析式联立起来，求交点坐标。
解：充分运用45°角求点的坐标：
(Ⅰ)∠ARS=90°有等腰直角∆.

当y=6时，
∴x=4,
∴(4,6)
此时，(4,2)
易求AP：
:
联立起来解方程组，求得点(6,3)
(Ⅱ)∠ASR=90°有等腰直角∆.
由上面解答过程知，(4,6)，（2,4）.
易求：
与AP：联立起来求得点（）
(Ⅲ)∠SAR=90°有等腰直角∆ 和∆.
关于等腰直角∆：(2,8)，（2,4）.∴（）.
关于等腰直角∆：(2,8)，（-2,8）.
易求 :
与AP：联立起来求得点（）







例8、（2020随州）24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1） 直接写出抛物线的解析式和的度数；
解：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，则b=-3a，
∵抛物线经过点B（4，0），
∴16a+4b+1=0，将b=-3a代入，
解得：a=，b=，
抛物线的解析式为：，
令y=0，解得：x=4或-1，
令x=0，则y=1，
∴A（-1，0），C（0，1），
∴tan∠CAO=,
∴；
（2） 动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；
分析：
过点N作于E，过点D作于F，构造全等三角形：，得到，从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；
解：
由（1）易知，
过点N作于E，过点D作于F，
∵∠DMN=90°，
∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°，
∴∠DMF=∠ENM，
， ，
（AAS），
，
由题意得：，，，
，
，
，
，又，
故可解得：t=或0（舍），
经检验，当t=时，点均未到达终点，符合题意，
此时D点坐标为.
（3）在（2）的条件下，设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
分析：
设点P（m，），当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，根据△CPQ∽△MDB，得到，从而求出m值，再证明△CPQ∽△MDB，求出CQ长度，从而得到点Q坐标，同理可求出其余点P和点Q坐标.
解：
由（2）可知：D，
t=时，M（，0），B（4，0），C（0，1），
设点P（m，），
如图，当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，
过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，
则PR=m，DS=，
若△CPQ∽△MDB，
∴，则，
，解得：m=0（舍）或1或5（舍），
故点P的坐标为：，
∵△CPQ∽△MDB，
∴，
当点P时，，解得：CQ=，，
∴点Q坐标为（0，），
；
同理可得：点P和点Q的坐标为：
； ；
； ；
；；
；
；；
； .
【说明】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数表达式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，难度较大，计算量较大，解题时注意结合函数图像，找出符合条件的情形.